連続自然数積の和
数学ⅡB既習者(難関大対策) ★★★
上の画像にあるようなシグマ計算は，入試でたまに見かけます．余裕がある人は，規則的で覚えやすいので，いざというときに知っていると強いでしょう．
このシグマ計算を当サイトでは連続自然数積の和とネーミングし，証明も含めて解説します．
連続自然数積の和と証明
連続自然数積の和
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}$ (よく出る)
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}$ (たまに出る)
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ (ここから先はほぼ出ない)
$\vdots$
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m-1)=\frac{1}{m+1}n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(n+m)}$
連続自然数の個数が1つ増えるたび，右辺の分母が1つ大きくなり，かける項も増えます．
ちなみに $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ は連続自然数積の和ではありませんが，同じ規則に従っていますね．
1番上の公式の証明を付けておきます．2番目以降も方法は同じです．やはり，差の形を作ります．
証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ の証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{-(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)\}$
$=(-0\cdot1\cdot2+1\cdot2\cdot3)+(-1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4)+\cdots+\{-(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)\}$
$=n(n+1)(n+2) \ \cdots$ ①
一方で
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}$
$=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1) \ \cdots$ ②
① $=$ ②より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$
証明をすれば堂々と使えますね．
入試の答案における使用の解釈
入試や模試の記述式の答案として使うのはやはり減点リスクがありますが，答えのみやマーク式で使うといいと思います．
例題と練習問題
例題
例題
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)$ を求めよ．
講義
普通の記述式のシグマ計算の問題を想定します．つまり今回はいきなり上の式を書いてはいけないとし，上の式を証明します．
解答
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{-(k-1)k(k+1)(k+2)+k(k+1)(k+2)(k+3)\}$
$=(-0\cdot1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4)+(-1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5)+\cdots+\{-(n-1)n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n+2)(n+3)\}$
$=n(n+1)(n+2)(n+3) \ \cdots$ ①
一方で
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}$
$=4\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2) \ \cdots$ ②
① $=$ ②より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\boldsymbol{\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}$
※ 慣れていれば普通にシグマ公式を使うより速いでしょうか．
練習問題
練習
$x$，$y$，$z$ は $0$ 以上の整数とする．$x+y+z \leqq 9$ を満たす $x$，$y$，$z$ の組の総数は (ア) ．
練習の解答 出典：2016北里大医学部
$n(x+y+z \leqq 9)$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}n(x+y+z=k)$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}\dfrac{(k+2)!}{k!2!}$ ←$k$ 個の区別がつかないボールを3人に配る重複組合せ
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}$$ _{k+2}$$\rm C$$_{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}\dfrac{1}{2}(k+1)(k+2)$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}k(k+1)$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3} \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12$
$=\boldsymbol{220}$