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重複組合せ

場合の数(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

重複組合せの問題を扱います.

検定教科書では発展に含まれることが多いですが,定期試験や入試で頻出です.



重複組合せ

区別がつかない $6$ 個のメロンを $3$ 人(X,Y,Z)に分ける問題を考えます.

○ ○ ○ ○ ○ ○

メロンに区別がないので,メロンを $3$ つの領域に分けることさえできれば,それぞれの取り分を決定できます.つまり,$\boldsymbol{3}$ つの領域に分けるための仕切りが $\boldsymbol{2}$ 本必要です.

左の仕切りの左 $\cdots$ Xの取り分

2つの仕切りの間 $\cdots$ Yの取り分

右の仕切りの右 $\cdots$ Zの取り分

と決定すれば,個数配分と図は,仕切りを|とすると例として以下のようになります.

(X,Y,Z) $=$ ( $2$,$2$,$2$ )のとき

X  Y  Z

○ ○ | ○ ○ | ○ ○

(X,Y,Z) $=$ ( $4$,$0$,$2$ )のとき

X   Y Z

○ ○ ○ ○ | | ○ ○

(X,Y,Z) $=$ ( $0$,$0$,$6$ )のとき

X Y    Z      

| | ○ ○ ○ ○ ○ ○

のように,どんな個数配分でも○と|で表現できまるので画期的です.つまり,○と|の同じものを含む順列で総数が求められます.

ポイント

重複組合せ

区別がつかないモノを○とし,仕切り|を用いて同じものを含む順列で考える.

例題と練習問題

例題

例題

次の場合の数は何通りか.

(1) 区別がつかない $7$ 個のみかんを $3$ 人に分ける.$1$ 個ももらえない人がいてもよい.

(2) 区別がつかない $7$ 個のみかんを $3$ 人に分ける.$1$ 個ももらえない人はいない.

(3) $x+y+z=8$,$x\geqq0$,$y\geqq0$,$z\geqq0$ を満たす整数 $x$,$y$,$z$ の組は何組あるか.

(4) $x+y+z=8$,$x\geqq 1$,$y\geqq 1$,$z\geqq 1$ を満たす整数 $x$,$y$,$z$ の組は何組あるか.


講義

(1) $7$ 個の○を $3$ 人に分けます.|が $2$ 本必要です.

(2) 事前に $3$ 人に $1$ 個ずつ○を配ってから,残り○ $4$ 個で(1)と同じように考えます.

(3) $8$ 個の○を $3$ 人に分ける問題と同じです.|が $2$ 本必要です.

(3) $8$ 個の○を $3$ 人に分ける問題と同じです.事前に $1$ 個ずつ○を配っておきます.


解答

(1)

X   Y  Z

○ ○ ○ | ○ ○ | ○ ○

○ × $7$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{9!}{7!2!}= \hspace{-0.5mm} _{9}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{36(通り)}$


(2)

X○  Y○ Z○

○ ○ | ○ | ○

○ × $4$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{6!}{4!2!}= \hspace{-0.5mm} _{6}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{15(通り)}$


(3)

$x$    $y$    $z$

○ ○ ○ | ○ ○ ○ | ○ ○

○ × $8$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{10!}{8!2!}= \hspace{-0.5mm} _{10}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{45(通り)}$


(4)

$x$○  $y$○ $z$○

○ ○ | ○ ○ | ○

○ × $5$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{7!}{5!2!}= \hspace{-0.5mm} _{7}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{21(通り)}$

練習問題

練習

次の場合の数は何通りか.

(1) $3$ 人の候補者に対して $10$ 人の選挙人が無記名で投票するとき,票の割れ方は何通りあるか.

(2) $(a+b+c+d)^{5}$ の展開式の異なる項の数を求めよ.

(3) $x+y+z=6$,$x\geqq0$,$y\geqq0$,$z\geqq0$ を満たす整数 $x$,$y$,$z$ の組は何組あるか.

(4) $x+y+z=6$,$x\geqq 2$,$y\geqq 1$,$z\geqq 0$ を満たす整数 $x$,$y$,$z$ の組は何組あるか.

解答

(1)

X    Y   Z

○ ○ ○ ○ | ○ ○ ○ | ○ ○ ○

○ × $10$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{12!}{10!2!}= \hspace{-0.5mm} _{12}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{66(通り)}$


(2)

 $a$  $b$  $c$  $d$

○ ○ | ○ | ○ | ○

○ × $5$,| × $3$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{8!}{5!3!}= \hspace{-0.5mm} _{8}{\rm C}_{3}=\boldsymbol{56(通り)}$


(3)

$x$   $y$    $z$

○ ○ | ○ ○ | ○ ○

○ × $6$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{8!}{6!2!}= \hspace{-0.5mm} _{8}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{28(通り)}$


(4)

$x$○○ $y$○ $z$ 

○ | ○ | ○

○ × $3$,| × $2$ の同じものを含む順列より

 $\dfrac{5!}{3!2!}= \hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{10(通り)}$