重複組合せ
場合の数(教科書範囲) ★★★
重複組合せの問題を扱います．
検定教科書では発展に含まれることが多いですが，定期試験や入試で頻出です．
重複組合せ
区別がつかない $6$ 個のメロンを $3$ 人(X，Y，Z)に分ける問題を考えます．
○ ○ ○ ○ ○ ○
メロンに区別がないので，メロンを $3$ つの領域に分けることさえできれば，それぞれの取り分を決定できます．つまり，$\boldsymbol{3}$ つの領域に分けるための仕切りが $\boldsymbol{2}$ 本必要です．
左の仕切りの左 $\cdots$ Xの取り分
2つの仕切りの間 $\cdots$ Yの取り分
右の仕切りの右 $\cdots$ Zの取り分
と決定すれば，個数配分と図は，仕切りを|とすると例として以下のようになります．
(X，Y，Z) $=$ ( $2$，$2$，$2$ )のとき
X Y Z
○ ○ | ○ ○ | ○ ○
(X，Y，Z) $=$ ( $4$，$0$，$2$ )のとき
X Y Z
○ ○ ○ ○ | | ○ ○
(X，Y，Z) $=$ ( $0$，$0$，$6$ )のとき
X Y Z
| | ○ ○ ○ ○ ○ ○
のように，どんな個数配分でも○と|で表現できまるので画期的です．つまり，○と|の同じものを含む順列で総数が求められます．
重複組合せ
区別がつかないモノを○とし，仕切り|を用いて同じものを含む順列で考える．
例題と練習問題
例題
例題
次の場合の数は何通りか．
(1) 区別がつかない $7$ 個のみかんを $3$ 人に分ける．$1$ 個ももらえない人がいてもよい．
(2) 区別がつかない $7$ 個のみかんを $3$ 人に分ける．$1$ 個ももらえない人はいない．
(3) $x+y+z=8$，$x\geqq0$，$y\geqq0$，$z\geqq0$ を満たす整数 $x$，$y$，$z$ の組は何組あるか．
(4) $x+y+z=8$，$x\geqq 1$，$y\geqq 1$，$z\geqq 1$ を満たす整数 $x$，$y$，$z$ の組は何組あるか．
講義
(1) $7$ 個の○を $3$ 人に分けます．|が $2$ 本必要です．
(2) 事前に $3$ 人に $1$ 個ずつ○を配ってから，残り○ $4$ 個で(1)と同じように考えます．
(3) $8$ 個の○を $3$ 人に分ける問題と同じです．|が $2$ 本必要です．
(3) $8$ 個の○を $3$ 人に分ける問題と同じです．事前に $1$ 個ずつ○を配っておきます．
解答
(1)
X Y Z
○ ○ ○ | ○ ○ | ○ ○
○ × $7$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{9!}{7!2!}= \hspace{-0.5mm} _{9}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{36(通り)}$
(2)
X○ Y○ Z○
○ ○ | ○ | ○
○ × $4$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{6!}{4!2!}= \hspace{-0.5mm} _{6}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{15(通り)}$
(3)
$x$ $y$ $z$
○ ○ ○ | ○ ○ ○ | ○ ○
○ × $8$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{10!}{8!2!}= \hspace{-0.5mm} _{10}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{45(通り)}$
(4)
$x$○ $y$○ $z$○
○ ○ | ○ ○ | ○
○ × $5$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{7!}{5!2!}= \hspace{-0.5mm} _{7}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{21(通り)}$
練習問題
練習
次の場合の数は何通りか．
(1) $3$ 人の候補者に対して $10$ 人の選挙人が無記名で投票するとき，票の割れ方は何通りあるか．
(2) $(a+b+c+d)^{5}$ の展開式の異なる項の数を求めよ．
(3) $x+y+z=6$，$x\geqq0$，$y\geqq0$，$z\geqq0$ を満たす整数 $x$，$y$，$z$ の組は何組あるか．
(4) $x+y+z=6$，$x\geqq 2$，$y\geqq 1$，$z\geqq 0$ を満たす整数 $x$，$y$，$z$ の組は何組あるか．
解答
(1)
X Y Z
○ ○ ○ ○ | ○ ○ ○ | ○ ○ ○
○ × $10$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{12!}{10!2!}= \hspace{-0.5mm} _{12}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{66(通り)}$
(2)
$a$ $b$ $c$ $d$
○ ○ | ○ | ○ | ○
○ × $5$，| × $3$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{8!}{5!3!}= \hspace{-0.5mm} _{8}{\rm C}_{3}=\boldsymbol{56(通り)}$
(3)
$x$ $y$ $z$
○ ○ | ○ ○ | ○ ○
○ × $6$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{8!}{6!2!}= \hspace{-0.5mm} _{8}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{28(通り)}$
(4)
$x$○○ $y$○ $z$
○ | ○ | ○
○ × $3$，| × $2$ の同じものを含む順列より
$\dfrac{5!}{3!2!}= \hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{10(通り)}$