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同じものを含む順列

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

同じものを含む順列を扱います.順序の定まった順列,重複組み合わせ等,多くの概念の基本となるものです.



同じものを含む順列

$a$ が $3$ つ,$b$ が $2$ つあり,この $5$ 個を $1$ 列に並べる場合の数を考える.

このような文字列が $x$ 通りできるとする.例えばその $1$ つを

$a \ a \ b \ a \ b$

とする.

このとき,$3$ つの $a$ と $2$ つの $b$ に区別が付くとする.$3$ つの $a$ は $3!$ 通り,$2$ つの $b$ は $2!$ 通り,つまり $3!\times 2!$ 通り対応する

$a_{1} \ a_{2} \ b_{1} \ a_{3} \ b_{2}$  $a_{1} \ a_{2} \ b_{2} \ a_{3} \ b_{1}$

$a_{1} \ a_{3} \ b_{1} \ a_{2} \ b_{2}$  $a_{1} \ a_{3} \ b_{2} \ a_{2} \ b_{1}$

$a_{2} \ a_{1} \ b_{1} \ a_{3} \ b_{2}$  $a_{2} \ a_{1} \ b_{2} \ a_{3} \ b_{1}$

$a_{2} \ a_{3} \ b_{1} \ a_{1} \ b_{2}$  $a_{2} \ a_{3} \ b_{2} \ a_{1} \ b_{1}$

$a_{3} \ a_{1} \ b_{1} \ a_{2} \ b_{2}$  $a_{3} \ a_{1} \ b_{2} \ a_{2} \ b_{1}$

$a_{3} \ a_{2} \ b_{1} \ a_{1} \ b_{2}$  $a_{3} \ a_{2} \ b_{2} \ a_{1} \ b_{1}$

$x$ 通りのそれぞれに対して $3!\times 2!$ 通り対応させると,異なる $5$ つのものの順列になる.すなわち

$x\times 3!\times 2!=5!$

となるので

$x=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=10$ (通り)

である.これを一般化して以下に公式化する.

ポイント

同じものを含む順列

$n$ 個のものの中に,同じものが $p$ 個あり,また他の同じものが $q$ 個,さらに他の同じものが $r$ 個 $\cdots$ というように,いくつかの種類が同じものを含んでいるとき,これら $n$ 個を $1$ 列に並べてできる順列の総数は

$\color{red}{\boldsymbol{\dfrac{n!}{p!q!r!\cdots} \ \ \ (p+q+r+\cdots=n)}}$

である.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $a$,$a$,$b$,$b$ の $4$ 個すべてを並べた順列は何通りか.

(2) $1$,$1$,$1$,$2$,$3$,$4$,$4$ の $7$ 個の数字全部を使ってできる $7$ 桁の整数は,何個あるか.


講義

上の公式を適用するだけです.


解答

(1)

 $\dfrac{4!}{2!2!}=\boldsymbol{6(通り)}$


(2)

 $\dfrac{7!}{3!1!1!2!}=\boldsymbol{420(個)}$

※ 当然分母の $1!$ は省略可能です.

練習問題

練習

$a$,$a$,$a$,$a$,$b$,$b$,$c$ の $7$ 個を並べた順列について次のものは何通りか.

(1) 条件なし.

(2) 両端が $a$ である.

(3) 左右対称に並ぶ.

練習の解答



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