順序が定まった順列
場合の数(入試の標準) ★★
順序が定まった順列を扱います．
同じものを含む順列が既習であることが前提です．
順序が定まった順列
父親，母親，太郎，次郎，三郎を $1$ 列に並べるとします．さらにこの内の子供 $3$ 人が太郎，次郎，三郎の順に並ぶ場合は何通りか考えます．
並べた例として
母太次父三
太父次三母
などがあります．太郎，次郎，三郎だけで見ると常にこの順なので，重要なのは彼らが入る場所を確保することだけです．そこで，太郎，次郎，三郎を一旦□として並べ，後から太郎，次郎，三郎をこの順で入れていきます．
つまり，父，母，□，□，□の同じものを含む順列で並べ，□に左から順に太郎，次郎，三郎を並べるのは $1$ 通り．求める順列の総数は
$\dfrac{5!}{1!1!3!}\times 1=20$ (通り)
です．
以下に方針をまとめます．
順序が定まった順列
順序が定まったものは□に変換し，同じものを含む順列の考えで並べ，後から□にその順に並べる．
例題と練習問題
例題
例題
(1) $\rm W$，$\rm A$，$\rm S$，$\rm E$，$\rm D$，$\rm A$ を $1$ 列に並べるとき，$\rm W$，$\rm S$，$\rm D$ がこの順に並ぶのは何通りか．
(2) 松子，竹子，梅子，太郎，次郎，三郎の $6$ 人を $1$ 列に並べるとき，松子，竹子，梅子がこの順に，太郎，次郎，三郎がこの順に並ぶのは何通りか．
講義
順序が定まったものは□等に変換して並べます．
解答
(1)
$\rm W$，$\rm S$，$\rm D$ を□とする．□，□，□，$\rm A$，$\rm E$，$\rm A$ を $1$ 列に並べる．左から順に $\rm W$，$\rm S$，$\rm D$ を並べるのは $1$ 通り．求める総数は
$\dfrac{6!}{3!2!1!}\times 1=\boldsymbol{60(通り)}$
(2)
松子，竹子，梅子を□とする．太郎，次郎，三郎を△とする．□，□，□，△，△，△ を $1$ 列に並べる．左から順にそれぞれ松子，竹子，梅子，そして太郎，次郎，三郎と並べるのは $1$ 通り．求める総数は
$\dfrac{6!}{3!3!}\times 1=\boldsymbol{20(通り)}$
練習問題
練習
$\rm I$，$\rm K$，$\rm E$，$\rm B$，$\rm U$，$\rm K$，$\rm U$，$\rm R$，$\rm O$ を $1$ 列に並べるとき次のものは何通りか．
(1) 条件なし．
(2) $\rm I$，$\rm E$，$\rm U$，$\rm U$，$\rm O$ がこの順に並ぶ．
(3) $\rm I$，$\rm E$，$\rm U$，$\rm U$，$\rm O$ がこの順に並び，$\rm K$，$\rm B$，$\rm K$，$\rm R$ がこの順に並ぶ．
解答
(1)
$\dfrac{9!}{2!2!}=\boldsymbol{90720(通り)}$
(2) $\rm I$，$\rm E$，$\rm U$，$\rm U$，$\rm O$ を□とする．□，□，□，□，□，$\rm K$，$\rm B$，$\rm K$，$\rm R$ を $1$ 列に並べる．左から順に $\rm I$，$\rm E$，$\rm U$，$\rm U$，$\rm O$ を並べるのは $1$ 通り．求める総数は
$\dfrac{9!}{5!2!}\times 1=\boldsymbol{1512(通り)}$
(3) $\rm I$，$\rm E$，$\rm U$，$\rm U$，$\rm O$ を□，$\rm K$，$\rm B$，$\rm K$，$\rm R$ を△とする．□，□，□，□，□，△，△，△，△ を $1$ 列に並べる．左から順に $\rm I$，$\rm E$，$\rm U$，$\rm U$，$\rm O$，そして $\rm K$，$\rm B$，$\rm K$，$\rm R$ を並べるのは $1$ 通り．求める総数は
$\dfrac{9!}{5!4!}\times 1=\boldsymbol{126(通り)}$