おいしい数学HOMEへのリンク

順序が定まった順列

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

順序が定まった順列を扱います.

同じものを含む順列が既習であることが前提です.



順序が定まった順列

父親,母親,太郎,次郎,三郎を $1$ 列に並べるとする.さらに,子供 $3$ 人が太郎,次郎,三郎の順に並ぶ場合は何通りか.

並べた例として

太次

次三

などがある.太郎,次郎,三郎だけで見ると常にこの順なので,重要なのは彼らが入る場所を確保することだけである.そこで,太郎,次郎,三郎を一旦□として並べ,後から太郎,次郎,三郎をこの順で入れるだけでよい.

つまり,父,母,□,□,□の同じものを含む順列で並べ,□に左から順に太郎,次郎,三郎を並べるのは $1$ 通り.求める順列の総数は

$\dfrac{5!}{1!1!3!}\times 1=20$ (通り)

である.

以下に方針をまとめる.

ポイント

順序が定まった順列

順序が定まったものは□に変換し,同じものを含む順列の考えで並べ,後から□にその順に並べる.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $\rm W$,$\rm A$,$\rm S$,$\rm E$,$\rm D$,$\rm A$ を $1$ 列に並べるとき,$\rm W$,$\rm S$,$\rm D$ がこの順に並ぶのは何通りか.

(2) 松子,竹子,梅子,太郎,次郎,三郎の $6$ 人を $1$ 列に並べるとき,松子,竹子,梅子がこの順に,太郎,次郎,三郎がこの順に並ぶのは何通りか.


講義

順序が定まったものは□等に変換して並べます.


解答

(1)

$\rm W$,$\rm S$,$\rm D$ を□とする.□,□,□,$\rm A$,$\rm E$,$\rm A$ を $1$ 列に並べる.左から順に $\rm W$,$\rm S$,$\rm D$ を並べるのは $1$ 通り.求める総数は

 $\dfrac{6!}{3!2!1!}\times 1=\boldsymbol{60(通り)}$


(2)

松子,竹子,梅子を□とする.太郎,次郎,三郎を△とする.□,□,□,△,△,△ を $1$ 列に並べる.左から順にそれぞれ松子,竹子,梅子,そして太郎,次郎,三郎と並べるのは $1$ 通り.求める総数は

 $\dfrac{6!}{3!3!}\times 1=\boldsymbol{20(通り)}$

練習問題

練習

$\rm I$,$\rm K$,$\rm E$,$\rm B$,$\rm U$,$\rm K$,$\rm U$,$\rm R$,$\rm O$ を $1$ 列に並べるとき次のものは何通りか.

(1) 条件なし.

(2) $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ がこの順に並ぶ.

(3) $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ がこの順に並び,$\rm K$,$\rm B$,$\rm K$,$\rm R$ がこの順に並ぶ.

練習の解答