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2・10型(1次分数型)の漸化式

タイプ:難関大対策 $+\alpha$ レベル:★★★★★ 


アイキャッチ

隣接2項間漸化式で最高難度と言っていいでしょう.誘導なしでは出題されにくいでしょうが,例えば2015年には誘導なしで東工大で出題がありました.





例題と解法まとめ

例題

2・10型(1次分数型) $a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}+q}{ra_{n}+s}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=7$,$a_{n+1}=\dfrac{7a_{n}+3}{a_{n}+5}$


講義

$a_{n+1}$ と $a_{n}$ を $\alpha$ に変えた特性方程式

$\boldsymbol{\alpha=\dfrac{7\alpha+3}{\alpha+5}}$

を解く.これを解いた特性解を $\alpha_{1}=-1$,$\alpha_{2}=3$ とする.その後

$\boldsymbol{b_{n}=\dfrac{a_{n}-\alpha_{1}}{a_{n}-\alpha_{2}}}=\dfrac{a_{n}+1}{a_{n}-3}$

とおきます $\left(b_{n}=\dfrac{a_{n}-3}{a_{n}+1} \ でも\rm{OK}\right)$.

その後 $\{b_{n}\}$ は等比型になりますので,$\{b_{n}\}$ の一般項を出しましょう.

※ なぜ上のように特性方程式を作り,$b_{n}$ を作るといいかは下の補足ボタンに説明してあります.


解答

特性方程式

$\alpha=\dfrac{7\alpha+3}{\alpha+5}$

を解くと,$\alpha^{2}-2\alpha-3=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=-1$,$3$ .

$b_{n}=\dfrac{a_{n}+1}{a_{n}-3}$

とおく( $a_{n}=3$ とすると $a_{n+1}=3$ となり,$a_{1}=3$ となり矛盾.つまり $a_{n}\neq 3$).

 $b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-3}$

   $=\dfrac{\dfrac{7a_{n}+3}{a_{n}+5}+1}{\dfrac{7a_{n}+3}{a_{n}+5}-3}$

   $=\dfrac{7a_{n}+3+(a_{n}+5)}{7a_{n}+3-3(a_{n}+5)}$

   $=\dfrac{8a_{n}+8}{4a_{n}-12}=2b_{n}$ ←等比型

 $\therefore \ b_{n}=b_{1}2^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^{n}$

また

 $b_{n}=\dfrac{a_{n}+1}{a_{n}-3} \Longleftrightarrow (a_{n}-3)b_{n}=a_{n}+1$

 $\hspace{23mm} \Longleftrightarrow (b_{n}-1)a_{n}=3b_{n}+1$

 $\hspace{23mm} \Longleftrightarrow a_{n}=\dfrac{3b_{n}+1}{b_{n}-1}$

 $\hspace{23mm} \therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{3\cdot 2^{n}+1}{2^{n}-1}}$

補足(なぜ上のように特性方程式を立てるか)



解法まとめ

$a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}+q}{ra_{n}+s}$ の解法まとめ

① $a_{n+1}$ と $a_{n}$ を $\alpha$ に変えた特性方程式

$\boldsymbol{\alpha=\dfrac{p\alpha+q}{r\alpha+s}}$

として,この2次方程式を解く.

② (ⅰ) 上で異なる2つの解のとき,$\boldsymbol{b_{n}=\dfrac{a_{n}-\alpha_{1}}{a_{n}-\alpha_{2}}}$ とおいて,$b_{n+1}=Rb_{n}$ (等比型の漸化式)に持ち込み,$\{b_{n}\}$ の一般項を出す.

(ⅱ) 上で重解のとき,$\boldsymbol{b_{n}=a_{n}-\alpha}$ とおいて,逆数型の漸化式に持ち込み,$\{b_{n}\}$ の一般項を出す.

③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=\dfrac{3a_{n}+2}{a_{n}+4}$

(2) $a_{1}=5$,$a_{n+1}=\dfrac{4a_{n}-9}{a_{n}-2}$

練習の解答



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