2-2型(等比型)の漸化式

数列(教科書範囲)　★

等比数列型の漸化式について扱います．2-1型(等差型)の漸化式とともに，今後あらゆる漸化式の基礎となるものです．

例題と解法まとめ

2-2型(等比型)　$a_{n+1}=ra_{n}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

$a_{1}=3，a_{n+1}=2a_{n}$

講義

次の項になるのに毎回 $2$ かけられているので等比数列だとわかります．一般項は

$\boldsymbol{ a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}}$

です．

解答

初項 $3$，公比 $2$ の等比数列より

$\boldsymbol{a_{n}=3\cdot 2^{n-1}}$

$a_{n+1}=ra_{n}$ の解法まとめ

初項と公比を見抜いて

$\boldsymbol{ a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}}$

に当てはめるだけ．

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

(1) $a_{1}=2$，$a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}a_{n}$

(2) $a_{1}=10$，$a_{n+1}=-5a_{n}$

(3) $a_{5}=8$，$a_{n+1}=2a_{n}$

解答

(1)　$\boldsymbol{a_{n}=2\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}$

(2)　$\boldsymbol{a_{n}}=10(-5)^{n-1}\boldsymbol{=-2(-5)^n}$

(3)

$\boldsymbol{a_{n}}=a_{5}\cdot 2^{n-5}$

　$=8\cdot 2^{n-5}$

　$\boldsymbol{=2^{n-2}}$

※ (3)の1行目の式は詳しくは等比数列の一般項と和にあります．