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2・2型(等比型)の漸化式

数列(教科書範囲) 


アイキャッチ

2・1型(等比型)の漸化式とともに,今後あらゆる漸化式の基礎となるものです.



例題と解法まとめ

例題

2・2型(等比型) $a_{n+1}=ra_{n}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=3,a_{n+1}=2a_{n}$


講義

次の項になるのに毎回 $2$ かけられていることがわかります.$a_{1}=3$,$a_{2}=6$,$a_{3}=12$,$\cdots$ となる.等比数列の一般項と和にあるように,一般項は

$\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$

です.


解答

初項 $3$,公比 $2$ の等比数列より

$\boldsymbol{a_{n}=3\cdot 2^{n-1}}$

解法まとめ

$a_{n+1}=ra_{n}$ の解法まとめ

初項と公比を見抜いて

$a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$

に当てはめるだけ.

練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}a_{n}$

(2) $a_{1}=10$,$a_{n+1}=-5a_{n}$

(3) $a_{5}=8$,$a_{n+1}=2a_{n}$

解答

(1) $\boldsymbol{a_{n}=2\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}$

(2) $\boldsymbol{a_{n}}=10(-5)^{n-1}\boldsymbol{=-2(-5)^n}$

(3) $\boldsymbol{a_{n}}=a_{5}\cdot 2^{n-5}$

    $=8\cdot 2^{n-5}$

    $\boldsymbol{=2^{n-2}}$

※ (3)の1行目の式は詳しくは等比数列の一般項と和にあります.