2-1型(等差型)の漸化式

数列(教科書範囲)　★

等差数列型の漸化式について扱います．

例題と解法まとめ

2-1型(等差型)　$a_{n+1}=a_{n}+d$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

$a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+2$

講義

次の項になるのに毎回 $2$ 足されているので等差数列だとわかります．$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{3}=5$ となるのでこの場合は奇数列．一般項は

$\boldsymbol{ a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

です．

解答

初項 $1$，公差 $2$ の等差数列より

　$\boldsymbol{a_{n}}=1+(n-1)2\boldsymbol{=2n-1}$

$a_{n+1}=a_{n}+d$ の解法まとめ

初項と公差を見抜いて

$\boldsymbol{ a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

に当てはめるだけ．

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

(1) $a_{1}=3$，$a_{n+1}=a_{n}+5$

(2) $a_{1}=11$，$a_{n+1}=a_{n}-4$

(3) $a_{5}=4$，$a_{n+1}=a_{n}-\dfrac{1}{3}$

練習の解答

(1)　$\boldsymbol{a_{n}}=3+(n-1)5\boldsymbol{=5n-2}$

(2)　$\boldsymbol{a_{n}}=11+(n-1)(-4)\boldsymbol{=-4n+15}$

(3)

$\boldsymbol{a_{n}}=a_{5}+(n-5)\left(-\dfrac{1}{3}\right)$

　$=4+(n-5)\left(-\dfrac{1}{3}\right)$

　$\boldsymbol{=-\dfrac{1}{3}n+\dfrac{17}{3}}$

※ (3)の1行目の式は詳しくは等差数列の一般項と和にあります．