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2・1型(等差型)の漸化式

数列(教科書範囲) 


アイキャッチ

今後あらゆる漸化式の基礎となるものです.



例題と解法まとめ

例題

2・1型(等差型) $a_{n+1}=a_{n}+d$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+2$


講義

次の項になるのに毎回 $2$ 足されていることがわかります.$a_{1}=1$,$a_{2}=3$,$a_{3}=5$ となるのでこの場合は奇数列.等差数列の一般項と和にあるように,一般項は

$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

です.


解答

初項 $1$,公差 $2$ の等差数列より

 $\boldsymbol{a_{n}}=1+(n-1)2\boldsymbol{=2n-1}$

解法まとめ

$a_{n+1}=a_{n}+d$ の解法まとめ

初項と公差を見抜いて

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

に当てはめるだけ.

練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=3$,$a_{n+1}=a_{n}+5$

(2) $a_{1}=11$,$a_{n+1}=a_{n}-4$

(3) $a_{5}=4$,$a_{n+1}=a_{n}-\dfrac{1}{3}$

練習の解答

(1) $\boldsymbol{a_{n}}=3+(n-1)5\boldsymbol{=5n-2}$

(2) $\boldsymbol{a_{n}}=11+(n-1)(-4)\boldsymbol{=-4n+15}$

(3) $\boldsymbol{a_{n}}=a_{5}+(n-5)\left(-\dfrac{1}{3}\right)$

    $=4+(n-5)\left(-\dfrac{1}{3}\right)$

    $\boldsymbol{=-\dfrac{1}{3}n+\dfrac{17}{3}}$

※ (3)の1行目の式は詳しくは等差数列の一般項と和にあります.