3-1型の漸化式(隣接3項間漸化式の基本)
数列(入試の標準) ★★★
隣接3項間漸化式の基本的なタイプを扱います．
例題と解法まとめ
例題
3-1型 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=a_{n+1}+6a_{n}$
講義
$a_{n+2}$ を $\alpha^2$，$a_{n+1}$ を $\alpha$，$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式
$\boldsymbol{\alpha^2=\alpha+6}$
を解く．これを解いた特性解を $\alpha_{1}=-2$，$\alpha_{2}=3$ とする．その後与式を
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{2} a_{n+1}=\alpha_{1} (a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n})}\end{cases}$
と変形します(上の形を暗記しましょう)．$a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n}=b_{n}$，$a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n}=c_{n}$ などとおけば(下の解答では面倒なので置き換えしていませんが)
$\begin{cases} b_{n+1}=\alpha_{2}b_{n} \\ c_{n+1}=\alpha_{1} c_{n} \end{cases}$
となるので，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$ ともに等比型になるので，$a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n}=b_{n}$，$a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n}=c_{n}$ それぞれの一般項を出しましょう．
※ なぜ上のように特性方程式を作るといいかは下の補足ボタンに説明してあります．
解答
特性方程式
$\alpha^2=\alpha+6$
を解くと，$\alpha^{2}-\alpha-6=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=-2$，$3$ ．
与式を
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_{n})}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-3a_{n+1}=-2(a_{n+1}-3a_{n})}\end{cases}$
と変形すると，$\{a_{n+1}+2a_{n}\}$ は初項 $a_{2}+2a_{1}=4$，公比 $3$，$\{a_{n+1}-3a_{n}\}$ は初項 $a_{2}-3a_{1}=-1$，公比 $-2$のそれぞれ等比数列なので，一般項は
$\begin{cases} a_{n+1}+2a_{n}=4\cdot3^{n-1} \\ a_{n+1}-3a_{n}=-(-2)^{n-1}\end{cases}$
辺々引くと
$5a_{n}=4\cdot3^{n-1}+(-2)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{4}{5}\cdot3^{n-1}+\dfrac{1}{5}\cdot(-2)^{n-1}}$
補足
特性方程式の成り立ち
$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0 \ \cdots$ ☆
↓
$\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})}$ $\cdots$ ♪
と変形できれば，$\{a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n}\}$ は公比が $\alpha_{2}$ の等比数列になるのでこれを狙います．
♪ を変形すると
$a_{n+2}-(\alpha_{1}+\alpha_{2})a_{n+1}+\alpha_{1}\alpha_{2} a_{n}=0$
となるので ☆ と係数比較すると
$\alpha_{1}+\alpha_{2}=-p$， $\alpha_{1}\alpha_{2}=q$
となりますが，$\alpha_{1}$ と $\alpha_{2}$ は解と係数の関係より2次方程式 $\boldsymbol{\alpha^{2}+p\alpha+q=0}$ の解であるので，これを特性方程式とします．
逆に言えば，特性方程式 $\alpha^{2}+p\alpha+q=0$ を解いた特性解を使って $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$ を
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{2} a_{n+1}=\alpha_{1} (a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n})}\end{cases}$
と変形できますよね．
解法まとめ
$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$ の解法まとめ
① $a_{n+2}$ を $\alpha^2$，$a_{n+1}$ を $\alpha$，$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式
$\boldsymbol{\alpha^2+p\alpha+q=0}$
として，この2次方程式を解く．
↓
② (ⅰ) 上で異なる2つの解のとき
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{2} a_{n+1}=\alpha_{1} (a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n})}\end{cases}$
として，$\{a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n}\}$ と $\{a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n}\}$ の一般項を出して，辺々引いて $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
(ⅱ) 上で重解のとき
$\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\alpha a_{n})}$
として，$\{a_{n+1}-\alpha a_{n}\}$ の一般項を出して，指数型の漸化式に持ち込み， $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
練習問題
練習1
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=3$，$a_{2}=5$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}$
(2) $a_{1}=0$，$a_{2}=3$，$a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0$
(3) $a_{1}=1$，$a_{2}=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ (フィボナッチ数列)
練習1の解答
(1)
特性方程式
$\alpha^{2}=3\alpha-2$
を解くと，$\alpha^{2}-3\alpha+2=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=1$，$2$ ．
与式を
$\begin{cases} {a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})} \\ a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_{n}\end{cases}$
と変形すると，$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ は初項 $a_{2}-a_{1}=2$，公比 $2$，$\{a_{n+1}-2a_{n}\}$ は初項 $a_{2}-2a_{1}=-1$，公比 $1$のそれぞれ等比数列なので，一般項は
$\begin{cases} a_{n+1}-a_{n}=2\cdot2^{n-1} \\ a_{n+1}-2a_{n}=-1\end{cases}$
辺々引くと
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2^{n}+1}$
(2)
特性方程式
$\alpha^{2}-6\alpha+9=0$
を解くと，$\alpha=3$．
与式を
$a_{n+2}-3a_{n+1}=3(a_{n+1}-3a_{n})$
と変形すると，$\{a_{n+1}-3a_{n}\}$ は初項 $a_{2}-3a_{1}=3$，公比 $3$ の等比数列なので，一般項は
$a_{n+1}-3a_{n}=3\cdot3^{n-1}$
変形すると
$a_{n+1}=3a_{n}+3^{n}$
両辺 $3^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+\dfrac{1}{3}$
$\left\{\dfrac{a_{n}}{3^{n}}\right\}$ は初項 $\dfrac{a_{1}}{3^{1}}=0$，公差 $\dfrac{1}{3}$ の等差数列より
$\dfrac{a_{n}}{3^{n}}=0+(n-1)\dfrac{1}{3}=\dfrac{n-1}{3}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=(n-1)\cdot3^{n-1}}$
(3)
特性方程式
$\alpha^{2}=\alpha+1$
$\Longleftrightarrow \ \alpha^{2}-\alpha-1=0$
の解を，$\alpha=\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$ とおく．
与式を
$\begin{cases} {a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})} \\ a_{n+2}-\alpha_{2} a_{n+1}=\alpha_{1} (a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n})\end{cases}$
と変形すると，$\{a_{n+1}-\alpha_{1}a_{n}\}$ は初項 $a_{2}-\alpha_{1}a_{1}=1-\alpha_{1}$，公比 $\alpha_{2}$，$\{a_{n+1}-\alpha_{2}a_{n}\}$ は初項 $a_{2}-\alpha_{2}a_{1}=1-\alpha_{2}$，公比 $\alpha_{1}$ のそれぞれ等比数列なので，一般項は
$\begin{cases} a_{n+1}-\alpha_{1}a_{n}=(1-\alpha_{1})\cdot\alpha_{2}^{n-1} \\ a_{n+1}-\alpha_{2}a_{n}=(1-\alpha_{2})\cdot\alpha_{1}^{n-1}\end{cases}$
辺々引くと
$(\alpha_{2}-\alpha_{1})a_{n}=\left\{(1-\alpha_{1})\alpha_{2}^{n-1}-(1-\alpha_{2})\alpha_{1}^{n-1}\right\}$
ここで，$\alpha_{1}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\alpha_{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ として
$\sqrt{5}a_{n}=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\}}$
これ以下は上の解き方をマスターした上級者向けです．
おまけ：特性方程式が異なる2解のとき素早く求める方法(マーク式や答えのみで有効)
特性方程式が異なる2解のとき，マーク式や答えのみで，迅速に求める方法があります．
上と同じ例題を使います．
例題
例題 3-1型 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=a_{n+1}+6a_{n}$
講義
唐突ですが，$a_{n}=\alpha^{n-1}$ $(\alpha \neq 0)$を考えます．$a_{n+2}=a_{n+1}+6a_{n} \ \cdots$ ★ に代入すると
$\alpha^{n+1}=\alpha^{n}+6\alpha^{n-1}$
$\Longleftrightarrow \ \alpha^{n-1}(\alpha^{2}-\alpha-6)=0$
$\Longleftrightarrow \ \alpha^{2}-\alpha-6=0$ ←特性方程式
つまり，これを解くと $\alpha=-2$，$3$ より，$a_{n}=(-2)^{n-1}$，$3^{n-1}$ は 与えられた $a_{1}$ や $a_{2}$ を無視すれば★の一般項(特殊解)であると言えます．
ここで，$a_{1}=1$，$a_{2}=2$ という条件を満たすために，★の一般項(一般解)
$\boldsymbol{a_{n}=C_{1}\cdot(-2)^{n-1}+C_{2}\cdot3^{n-1}}$
を用意します(これは★を満たします)．
$n=1$，$2$を代入すると
$\begin{cases} a_{1}=C_{1}+C_{2}=1 \\ a_{2}=-2C_{1}+3C_{2}=2 \end{cases}$
となります．これを解くと $C_{1}=\dfrac{1}{5}$，$C_{2}=\dfrac{4}{5}$ となるので，$a_{1}=1$，$a_{2}=2$ と★を満たした一般項が
$\boldsymbol{a_{n}=\dfrac{1}{5}(-2)^{n-1}+\dfrac{4}{5}\cdot3^{n-1}}$
と言えます．
※記述式で上のくだりを書くと冗長ですし，$a_{n}=\alpha^{n-1}$ とおくことに飛躍があるので減点の可能性があります．マーク式や答えのみの問題で記述は意識せず素早く解答しましょう．
解答
特性方程式
$\alpha^2=\alpha+6$
を解くと，$\alpha^{2}-\alpha-6=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=-2$，$3$ ．
$\{a_{n}\}$ の一般項を
$\boldsymbol{a_{n}=C_{1}\cdot(-2)^{n-1}+C_{2}\cdot3^{n-1}}$
とおく(これは漸化式を満たす)．
$n=1$，$2$を代入すると
$\begin{cases} a_{1}=C_{1}+C_{2}=1 \\ a_{2}=-2C_{1}+3C_{2}=2 \end{cases}$
となる．これを解くと $C_{1}=\dfrac{1}{5}$，$C_{2}=\dfrac{4}{5}$ となるので一般項は
$\boldsymbol{a_{n}=\dfrac{1}{5}(-2)^{n-1}+\dfrac{4}{5}\cdot3^{n-1}}$
解法まとめ
$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$ の解法まとめ(特性方程式が異なる2解で答えのみの形式)
① $a_{n+2}$ を $\alpha^2$，$a_{n+1}$ を $\alpha$，$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式
$\boldsymbol{\alpha^2+p\alpha+q=0}$
として，この2次方程式を解いたら異なる2解 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$ だった．
↓
②
$\boldsymbol{a_{n}=C_{1}\cdot\alpha_{1}^{n-1}+C_{2}\cdot\alpha_{2}^{n-1}}$
とおき，$n=1，2$ を代入して $a_{1}$，$a_{2}$ の値を使って，$C_{1}$，$C_{2}$ の連立方程式を解く．
↓
③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
おまけ：練習問題
練習2
$a_{1}=1$，$a_{2}=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_{n}$ $(n=1,2,\cdots)$ によって定められる数列 $\{a_{n}\}$ の一般項は $a_{n}=$ (あ) である．
練習2の解答
出典：2012慶應義塾大医学部
特性方程式
$\alpha^2=-\alpha+2$
を解くと，$\alpha^{2}+\alpha-2=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=-2$，$1$．
与式を
$a_{n}=C_{1}\cdot(-2)^{n-1}+C_{2}$
とおく．
$n=1$，$2$を代入すると
$\begin{cases} a_{1}=C_{1}+C_{2}=1 \\ a_{2}=-2C_{1}+C_{2}=4 \end{cases}$
となる．これを解くと $C_{1}=-1$，$C_{2}=2$ となるので一般項は
$\boldsymbol{a_{n}=-(-2)^{n-1}+2}$