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3・2型の漸化式(隣接3項間漸化式の応用)

タイプ:難関大対策 $+\alpha$ レベル:★★★★★ 


アイキャッチ

隣接3項間漸化式の応用のタイプになります.例えば2017年の順天堂大医学部など,難関大で稀に出題されます.難関大志望者,漸化式を徹底的に学んで武器にしたい人はここまでやっておきましょう.





例題と解法まとめ

例題

3・2型 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=r$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=1$,$a_{2}=4$,$a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}-2$


講義

解法は3・1型の漸化式とほとんど同じです.

$a_{n+2}$ を $\alpha^2$,$a_{n+1}$ を $\alpha$,$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式

$\alpha^2=4\alpha-3$

を解く.これを解いた特性解を $\alpha_{1}=1$,$\alpha_{2}=3$ とする.その後与式を

$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})-2}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-3a_{n+1}=a_{n+1}-3a_{n}-2}\end{cases}$

と変形します.$a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$,$a_{n+1}-3a_{n}=c_{n}$ などとおけば

$\begin{cases} b_{n+1}=3b_{n}-2 \\ c_{n+1}=c_{n}-2 \end{cases}$

となるので,$\{b_{n}\}$,$\{c_{n}\}$ は今回はそれぞれ特性方程式型の漸化式等差型の漸化式になりますね.

$\{b_{n}\}$,$\{c_{n}\}$ の一般項が出せれば $\{a_{n}\}$ の一般項も出せるでしょう.


解答

特性方程式

$\alpha^2=4\alpha-3$

を解くと,$\alpha^{2}-4\alpha+3=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=1$,$3$ .

与式を

$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})-2}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-3a_{n+1}=a_{n+1}-3a_{n}-2}\end{cases}$

と変形すると,$a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$,$a_{n+1}-3a_{n}=c_{n}$ とおけば

$\begin{cases} b_{n+1}=3b_{n}-2 \hspace{6mm} b_{1}=a_{2}-a_{1}=3 \\ c_{n+1}=c_{n}-2 \hspace{6mm} c_{1}=a_{2}-3a_{1}=1 \end{cases}$

となる.$b_{n+1}-1=3(b_{n}-1)$ とできるので,$\{b_{n}-1\}$,$\{c_{n}\}$ の一般項は

$\begin{cases} b_{n}-1=(b_{1}-1)\cdot3^{n-1}=2\cdot3^{n-1} \\ c_{n}=c_{1}+(n-1)(-2)=-2n+3\end{cases}$

つまり

$\begin{cases} b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=2\cdot3^{n-1}+1 \\ c_{n}=a_{n+1}-3a_{n}=-2n+3\end{cases}$

辺々引くと

$2a_{n}=2\cdot3^{n-1}+2n-2$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=3^{n-1}+n-1}$



解法まとめ

$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=r$ の解法まとめ

① $a_{n+2}$ を $\alpha^2$,$a_{n+1}$ を $\alpha$,$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式

$\boldsymbol{\alpha^2+p\alpha+q=0}$

として,この2次方程式を解く.



② (ⅰ) 上で異なる2つの解のとき

$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})-r}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{2} a_{n+1}=\alpha_{1} (a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n})-r}\end{cases}$

として,$\{a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n}\}$ と $\{a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n}\}$ の一般項を出して,辺々引いて $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.


(ⅱ) 上で重解のとき

$\boldsymbol{1+p+q\neq 0}$ のとき

 $\boldsymbol{a_{n}-k=b_{n}}$ などとおいて強引に3・1型の漸化式に持ち込むように $k$ を決定する.

$\boldsymbol{1+p+q=0}$ のとき

 このとき $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=r$ しかないので($D=p^{2}-4q=0$ と $1+p+q=0$ 解くとわかる)

$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+r$

として,$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ の一般項を,等差型の漸化式で出して, $\{a_{n}\}$ の一般項を階差型の漸化式で出します.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=1$,$a_{2}=2$,$a_{n+2}=a_{n+1}+2a_{n}+2$

(2) $a_{1}=1$,$a_{2}=2$,$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_{n}+6$

(3) $a_{1}=1$,$a_{2}=2$,$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+10$

練習の解答



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