3-2型の漸化式(隣接3項間漸化式の応用)
数列(難関大対策＋) ★★★★★
隣接3項間漸化式の応用のタイプになります．例えば2017年の順天堂大医学部など，難関大で稀に出題されます．難関大志望者，数列を武器にしたい人向けです．
例題と解法まとめ
例題
3-2型 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=r$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1$，$a_{2}=4$，$a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}-2$
講義
解法は3-1型の漸化式とほとんど同じです．
$a_{n+2}$ を $\alpha^2$，$a_{n+1}$ を $\alpha$，$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式
$\boldsymbol{\alpha^2=4\alpha-3}$
を解く．これを解いた特性解を $\alpha_{1}=1$，$\alpha_{2}=3$ とする．その後与式を
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})-2}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-3a_{n+1}=a_{n+1}-3a_{n}-2}\end{cases}$
と変形します．$a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$，$a_{n+1}-3a_{n}=c_{n}$ などとおけば
$\begin{cases} b_{n+1}=3b_{n}-2 \\ c_{n+1}=c_{n}-2 \end{cases}$
となるので，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$ は今回はそれぞれ特性方程式型の漸化式，等差型の漸化式になりますね．
$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$ の一般項が出せれば $\{a_{n}\}$ の一般項も出せるでしょう．
解答
特性方程式
$\alpha^2=4\alpha-3$
を解くと，$\alpha^{2}-4\alpha+3=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=1$，$3$ ．
与式を
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})-2}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-3a_{n+1}=a_{n+1}-3a_{n}-2}\end{cases}$
と変形すると，$a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$，$a_{n+1}-3a_{n}=c_{n}$ とおけば
$\begin{cases} b_{n+1}=3b_{n}-2 \hspace{6mm} b_{1}=a_{2}-a_{1}=3 \\ c_{n+1}=c_{n}-2 \hspace{6mm} c_{1}=a_{2}-3a_{1}=1 \end{cases}$
となる．$b_{n+1}-1=3(b_{n}-1)$ とできるので，$\{b_{n}-1\}$，$\{c_{n}\}$ の一般項は
$\begin{cases} b_{n}-1=(b_{1}-1)3^{n-1}=2\cdot3^{n-1} \\ c_{n}=c_{1}+(n-1)(-2)=-2n+3\end{cases}$
つまり
$\begin{cases} b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=2\cdot3^{n-1}+1 \\ c_{n}=a_{n+1}-3a_{n}=-2n+3\end{cases}$
辺々引くと
$2a_{n}=2\cdot3^{n-1}+2n-2$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=3^{n-1}+n-1}$
解法まとめ
$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=r$ の解法まとめ
① $a_{n+2}$ を $\alpha^2$，$a_{n+1}$ を $\alpha$，$a_{n}$ を $1$ に変えた特性方程式
$\boldsymbol{\alpha^2+p\alpha+q=0}$
として，この2次方程式を解く．
↓
② (ⅰ) 上で異なる2つの解のとき
$\begin{cases} {\boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{1} a_{n+1}=\alpha_{2} (a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n})+r}} \\ \boldsymbol{a_{n+2}-\alpha_{2} a_{n+1}=\alpha_{1} (a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n})+r}\end{cases}$
として，$\{a_{n+1}-\alpha_{1} a_{n}\}$ と $\{a_{n+1}-\alpha_{2} a_{n}\}$ の一般項を出して，辺々引いて $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
(ⅱ) 上で重解のとき
$\boldsymbol{1+p+q\neq 0}$ のとき
$\boldsymbol{a_{n}-k=b_{n}}$ などとおいて強引に3-1型の漸化式に持ち込むように $\boldsymbol{k}$ を決定する．
$\boldsymbol{1+p+q=0}$ のとき
このとき $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=r$ しかないので( $D=p^{2}-4q=0$ と $1+p+q=0$ 解くとわかる)
$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+r$
として，$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ の一般項を，等差型の漸化式で出して， $\{a_{n}\}$ の一般項を階差型の漸化式で出します．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=a_{n+1}+2a_{n}+2$
(2) $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_{n}+6$
(3) $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+10$
練習の解答
(1)
特性方程式
$\alpha^2=\alpha+2$
を解くと，$\alpha^{2}-\alpha-2=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=-1$，$2$ ．
与式を
$\begin{cases} a_{n+2}+a_{n+1}=2(a_{n+1}+a_{n})+2 \\ a_{n+2}-2a_{n+1}=-(a_{n+1}-2a_{n})+2\end{cases}$
と変形すると，$b_{n}=a_{n+1}+a_{n}$，$c_{n}=a_{n+1}-2a_{n}$ とおけば
$\begin{cases} b_{n+1}=2b_{n}+2 \hspace{6mm} b_{1}=a_{2}+a_{1}=3 \\ c_{n+1}=-c_{n}+2 \hspace{6mm} c_{1}=a_{2}-2a_{1}=0 \end{cases}$
となる．
$\begin{cases} b_{n+1}+2=2(b_{n}+2) \\ c_{n+1}-1=-(c_{n}-1) \end{cases}$
となる．$\{b_{n}+2\}$，$\{c_{n}-1\}$ の一般項は
$\begin{cases} b_{n}+2=(b_{1}+2)2^{n-1}=5\cdot2^{n-1} \\ c_{n}-1=(c_{1}-1)(-1)^{n-1}=(-1)^{n}\end{cases}$
つまり
$\begin{cases} b_{n}=a_{n+1}+a_{n}=5\cdot2^{n-1}-2 \\ c_{n}=a_{n+1}-2a_{n}=(-1)^{n}+1\end{cases}$
辺々引くと
$3a_{n}=5\cdot2^{n-1}-(-1)^{n}-3$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{5\cdot2^{n-1}+(-1)^{n-1}-3}{3}}$
(2)
$a_{n}-k=b_{n} \ \Longleftrightarrow \ a_{n}=b_{n}+k$ とすると
$b_{n+2}+k=4(b_{n+1}+k)-4(b_{n}+k)+6$
$\Longleftrightarrow \ b_{n+2}-4b_{n+1}+4b_{n}=6-k$
ここで，$k=6$ とおくと，$b_{1}=a_{1}-6=-5$，$b_{2}=a_{2}-6=-4$．
さらに
$b_{n+2}-2b_{n+1}=2(b_{n+1}-2b_{n})$
と変形すると，$\{b_{n+1}-2b_{n}\}$ は初項 $b_{2}-2b_{1}=6$，公比 $2$ の等比数列なので，一般項は
$b_{n+1}-2b_{n}=6\cdot2^{n-1}$
変形すると
$b_{n+1}=2b_{n}+3\cdot 2^{n}$
両辺 $2^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{b_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{b_{n}}{2^{n}}+\dfrac{3}{2}$
$\left\{\dfrac{b_{n}}{2^{n}}\right\}$ は初項 $\dfrac{b_{1}}{2^{1}}=-\dfrac{5}{2}$，公差 $\dfrac{3}{2}$ の等差数列より
$\dfrac{b_{n}}{2^{n}}=-\dfrac{5}{2}+(n-1)\dfrac{3}{2}=\dfrac{3n-8}{2}$
$\therefore \ b_{n}=\dfrac{3n-8}{2}\cdot 2^{n}=(3n-8)2^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=b_{n}+6\boldsymbol{=(3n-8)\cdot 2^{n-1}+6}$
(3)
特性方程式
$\alpha^2=2\alpha-1$
を解くと，$\alpha^{2}-2\alpha+1=0 \ \Longleftrightarrow \ \alpha=1$．
与式を
$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+10$
と変形すると，$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ とおけば
$b_{n+1}=b_{n}+10 \hspace{5mm} b_{1}=a_{2}-a_{1}=1$
となる．
$b_{n}=1+(n-1)10=10n-9$
$\therefore \ a_{n+1}=a_{n}+10n-9$
$n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(10k-9)$
$\displaystyle =1+10\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n-9(n-1)$
$\displaystyle =5n^{2}-14n+10$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$\boldsymbol{a_{n}=5n^{2}-14n+10}$