練習の解答

(1)

与式の $n$ のナンバリングを上にずらして，与式と辺々引くと

$S_{n+1}=\dfrac{3}{2}a_{n+1}+3-4(n+1)$

$\underline{-)　S_{n}=\dfrac{3}{2}a_{n}+3-4n　　　　}$

$a_{n+1}=\dfrac{3}{2}a_{n+1}-\dfrac{3}{2}a_{n}-4$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=3a_{n}+8$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}+4=3(a_{n}+4)$

$a_{1}$ を得るには与式に $n=1$ を代入すれば

$S_{1}=a_{1}=\dfrac{3}{2}a_{1}+3-4$ $\Longleftrightarrow $ $a_{1}=2$

となるから，$\{a_{n}+4\}$ の一般項は

$a_{n}+4=(a_{1}+4)3^{n-1}=6\cdot3^{n-1}=2\cdot3^{n}$

$\boldsymbol {\therefore a_{n}=2\cdot3^{n}-4}$

(2)

与式の $n$ のナンバリングを下にずらしてみます．$S_{0}$ は定義できないので 必然的に $n\geqq 2$ になるのに注意です．

$S_{n}-4S_{n-1}=3^{n}-2　\boldsymbol{\color{red}{(n\geqq 2)}}$

与式と辺々引くと

$S_{n+1}-4S_{n}=3^{n+1}-2$　　　

$\underline{ -)　S_{n}-4S_{n-1}=3^{n}-2　\boldsymbol{\color{red}{(n\geqq 2)}}}$　　

$a_{n+1}-4a_{n}=2\cdot 3^{n}　\boldsymbol{\color{red}{(n\geqq 2)}} \ \cdots$ ①

これが $n=1$ でも成り立つか確認します．そのために $a_{2}$ を求めます．

$S_{2}=4S_{1}+3^{2}-2=15$　$\therefore $ $a_{2}=13$

つまり

$a_{2}-4a_{1}=13-4S_{1}=5\neq 2\cdot3$

より ①は $n=1$ では成り立ちません．

①の両辺 $3^{n+1}$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{4}{3}\dfrac{a_{n}}{3^{n}}=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}+2=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+2\right)$

となるから，$\left\{\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+2\right\}$ の一般項は，$n\geqq 2$ であることを踏まえ

$\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+2=\left(\dfrac{a_{\color{red}{2}}}{3^{\color{red}{2}}}+2\right) \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-\color{red}{2}}=\dfrac{31}{9} \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-2}$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{a_{n}}{3^{n}}=\dfrac{31}{9} \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-2}-2$

$\Longleftrightarrow \ a_{n}=31\cdot 4^{n-2}-2\cdot3^{n}$

$n=1$ のときも考慮すると

$\boldsymbol {\therefore a_{n}=\begin{cases} \boldsymbol {31\cdot 4^{n-2}-2\cdot3^{n} \ (n\geqq 2)} \\ \boldsymbol {2 \hspace{3.2cm} (n=1)} \end{cases}}$