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和を含んだ漸化式

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

今回は和を含んだ漸化式の解説です.







例題と解法まとめ

例題

和を含んだ漸化式

数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする.

$S_{n}=7a_{n}-3-3n$

上の式を満たすとき,一般項 $a_{n}$ を求めよ.


講義

$a_{n}$ を $S_{n}$ で表現した公式

$\boldsymbol{a_{n}=} \begin{cases} {\boldsymbol{S_{n}-S_{n-1} \hspace{4.5mm} (n\geqq 2)}} \\ \boldsymbol{S_{1} \hspace{2cm} (n=1)}\end{cases}$

を使うために,与式の $n$ のナンバリングをずらして引きます.今回はナンバリングを上げてずらして引いて,見慣れた $a_{n}$ の漸化式にします.

初項は $\boldsymbol{a_{1}=S_{1}}$ から出します.


解答

与式の $n$ のナンバリングを上にずらして,与式と辺々引くと

    $S_{\color{red}{n+1}}=7a_{\color{red}{n+1}}-3-3\color{red}{(n+1)}$

   $\underline{- \ ) \ \ S_{n}=7a_{n}-3-3n \ \hspace{11mm} \ }$

    $\boldsymbol{\color{red}{a_{n+1}}}=7a_{n+1}-7a_{n}-3$

  $\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{7}{6}a_{n}+\dfrac{1}{2}$

  $\Longleftrightarrow \ a_{n+1}+3=\dfrac{7}{6}(a_{n}+3)$

ここで与式に $n=1$ を代入すると

$S_{1}=7a_{1}-3-3 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{a_{1}}=7a_{1}-6$

$\therefore \ a_{1}=1$

となり,$\{a_{n}+3\}$ の一般項は

$a_{n}+3=(a_{1}+3)\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=4\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n-1}-3}$



解法まとめ

和を含んだ漸化式の解法まとめ

与式の $n$ のナンバリングをずらして引く.

$\boldsymbol{a_{n}=} \begin{cases} {\boldsymbol{S_{n}-S_{n-1} \hspace{4.5mm} (n\geqq 2)}} \\ \boldsymbol{S_{1} \hspace{2cm} (n=1)}\end{cases}$

を使って $\{a_{n}\}$ の漸化式を作る.$a_{1}$ は 与式に $n=1$ を代入して $\boldsymbol{a_{1}=S_{1}}$ を使って調達.

③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.


※注意

・ナンバリングを下に下げる場合は $n$ の範囲に注意(練習(2))




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.ただし数列 $\{a_{n}\}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする.

(1) $S_{n}=\dfrac{3}{2}a_{n}+3-4n$

(2) $S_{1}=2$,$S_{n+1}-4S_{n}=3^{n+1}-2$

練習の解答



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