和を含んだ漸化式
タイプ：入試の標準 レベル：★★★
今回は和を含んだ漸化式の解説です．
例題と解法まとめ
例題
和を含んだ漸化式
数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする．
$S_{n}=7a_{n}-3-3n$
上の式を満たすとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．
講義
$a_{n}$ を $S_{n}$ で表現した公式
$\boldsymbol{a_{n}=} \begin{cases} {\boldsymbol{S_{n}-S_{n-1} \hspace{4.5mm} (n\geqq 2)}} \\ \boldsymbol{S_{1} \hspace{2cm} (n=1)}\end{cases}$
を使うために，与式の $n$ のナンバリングをずらして引きます．今回はナンバリングを上げてずらして引いて，見慣れた $a_{n}$ の漸化式にします．
初項は $\boldsymbol{a_{1}=S_{1}}$ から出します．
解答
与式の $n$ のナンバリングを上にずらして，与式と辺々引くと
$S_{\color{red}{n+1}}=7a_{\color{red}{n+1}}-3-3\color{red}{(n+1)}$
$\underline{- \ ) \ \ S_{n}=7a_{n}-3-3n \ \hspace{11mm} \ }$
$\boldsymbol{\color{red}{a_{n+1}}}=7a_{n+1}-7a_{n}-3$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{7}{6}a_{n}+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}+3=\dfrac{7}{6}(a_{n}+3)$
ここで与式に $n=1$ を代入すると
$S_{1}=7a_{1}-3-3 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{a_{1}}=7a_{1}-6$
$\therefore \ a_{1}=1$
となり，$\{a_{n}+3\}$ の一般項は
$a_{n}+3=(a_{1}+3)\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=4\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n-1}-3}$
解法まとめ
和を含んだ漸化式の解法まとめ
① 与式の $n$ のナンバリングをずらして引く．
↓
②
$\boldsymbol{a_{n}=} \begin{cases} {\boldsymbol{S_{n}-S_{n-1} \hspace{4.5mm} (n\geqq 2)}} \\ \boldsymbol{S_{1} \hspace{2cm} (n=1)}\end{cases}$
を使って $\{a_{n}\}$ の漸化式を作る．$a_{1}$ は 与式に $n=1$ を代入して $\boldsymbol{a_{1}=S_{1}}$ を使って調達．
↓
③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
※注意
・ナンバリングを下に下げる場合は $n$ の範囲に注意(練習(2))
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．ただし数列 $\{a_{n}\}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする．
(1) $S_{n}=\dfrac{3}{2}a_{n}+3-4n$
(2) $S_{1}=2$，$S_{n+1}-4S_{n}=3^{n+1}-2$
練習の解答