和を含んだ漸化式
数列(入試の標準) ★★★
和を含んだ漸化式を扱います．
例題と解法まとめ
例題
和を含んだ漸化式
数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする．
$S_{n}=7a_{n}-3-3n$
上の式を満たすとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．
講義
$a_{n}$ を $S_{n}$ で表現した公式
$\boldsymbol{a_{n}=} \begin{cases} {\boldsymbol{S_{n}-S_{n-1} \hspace{4.5mm} (n\geqq 2)}} \\ \boldsymbol{S_{1} \hspace{2cm} (n=1)}\end{cases}$
を使うために，与式の $\boldsymbol{n}$ のナンバリングをずらして引きます．今回はナンバリングを上げてずらして引いて，見慣れた $a_{n}$ の漸化式にします．
初項は $\boldsymbol{a_{1}=S_{1}}$ から出します．
解答
与式の $n$ のナンバリングを上にずらして，与式と辺々引くと
$S_{\color{red}{n+1}}=7a_{\color{red}{n+1}}-3-3\color{red}{(n+1)}$
$\underline{- \ ) \ \ S_{n}=7a_{n}-3-3n \ \hspace{11mm} \ }$
$\boldsymbol{\color{red}{a_{n+1}}}=7a_{n+1}-7a_{n}-3$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{7}{6}a_{n}+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}+3=\dfrac{7}{6}(a_{n}+3)$
ここで与式に $n=1$ を代入すると
$S_{1}=7a_{1}-3-3 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{a_{1}}=7a_{1}-6$
$\therefore \ a_{1}=1$
となり，$\{a_{n}+3\}$ の一般項は
$a_{n}+3=(a_{1}+3) \left(\dfrac{7}{6}\right)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=4 \left(\dfrac{7}{6}\right)^{n-1}-3}$
解法まとめ
和を含んだ漸化式の解法まとめ
① 与式の $\boldsymbol{n}$ のナンバリングをずらして引く．
↓
②
$\boldsymbol{a_{n}=} \begin{cases} {\boldsymbol{S_{n}-S_{n-1} \hspace{4.5mm} (n\geqq 2)}} \\ \boldsymbol{S_{1} \hspace{2cm} (n=1)}\end{cases}$
を使って $\{a_{n}\}$ の漸化式を作る．$a_{1}$ は 与式に $n=1$ を代入して $\boldsymbol{a_{1}=S_{1}}$ を使って調達．
↓
③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
※ $n$ のナンバリングを下に下げる場合は $n$ の範囲に注意(練習(2))
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．ただし数列 $\{a_{n}\}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする．
(1) $S_{n}=\dfrac{3}{2}a_{n}+3-4n$
(2) $S_{1}=2$，$S_{n+1}-4S_{n}=3^{n+1}-2$
練習の解答
(1)
与式の $n$ のナンバリングを上にずらして，与式と辺々引くと
$S_{n+1}=\dfrac{3}{2}a_{n+1}+3-4(n+1)$
$\underline{-) S_{n}=\dfrac{3}{2}a_{n}+3-4n }$
$a_{n+1}=\dfrac{3}{2}a_{n+1}-\dfrac{3}{2}a_{n}-4$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=3a_{n}+8$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}+4=3(a_{n}+4)$
$a_{1}$ を得るには与式に $n=1$ を代入すれば
$S_{1}=a_{1}=\dfrac{3}{2}a_{1}+3-4$ $\Longleftrightarrow $ $a_{1}=2$
となるから，$\{a_{n}+4\}$ の一般項は
$a_{n}+4=(a_{1}+4)3^{n-1}=6\cdot3^{n-1}=2\cdot3^{n}$
$\boldsymbol {\therefore a_{n}=2\cdot3^{n}-4}$
(2)
与式の $n$ のナンバリングを下にずらしてみます．$S_{0}$ は定義できないので 必然的に $n\geqq 2$ になるのに注意です．
$S_{n}-4S_{n-1}=3^{n}-2 \boldsymbol{\color{red}{(n\geqq 2)}}$
与式と辺々引くと
$S_{n+1}-4S_{n}=3^{n+1}-2$
$\underline{ -) S_{n}-4S_{n-1}=3^{n}-2 \boldsymbol{\color{red}{(n\geqq 2)}}}$
$a_{n+1}-4a_{n}=2\cdot 3^{n} \boldsymbol{\color{red}{(n\geqq 2)}} \ \cdots$ ①
これが $n=1$ でも成り立つか確認します．そのために $a_{2}$ を求めます．
$S_{2}=4S_{1}+3^{2}-2=15$ $\therefore $ $a_{2}=13$
つまり
$a_{2}-4a_{1}=13-4S_{1}=5\neq 2\cdot3$
より ①は $n=1$ では成り立ちません．
①の両辺 $3^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{a_{n}}{3^{n}}=\dfrac{2}{3}$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}+2=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+2\right)$
となるから，$\left\{\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+2\right\}$ の一般項は，$n\geqq 2$ であることを踏まえ
$\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+2=\left(\dfrac{a_{2}}{3^{2}}+2\right) \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-2}=\dfrac{31}{9} \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-2}$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{a_{n}}{3^{n}}=\dfrac{31}{9} \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-2}-2$
$\therefore \ a_{n}=31\cdot 4^{n-2}-2\cdot3^{n}$
$n=1$ のときも考慮すると
$\boldsymbol {a_{n}=\begin{cases} \boldsymbol {31\cdot 4^{n-2}-2\cdot3^{n} \ (n\geqq 2)} \\ \boldsymbol {2 \hspace{3.2cm} (n=1)} \end{cases}}$