連立漸化式
タイプ：入試の標準 レベル：★★★
$a_{n}$ と $b_{n}$ の2つが含まれた漸化式です．
解法が複数ありますが，ベストだと思える方法のみを扱います．
例題と解法まとめ
例題
和を含んだ漸化式
数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$\begin{cases}a_{1}=6，b_{1}=1 \\ a_{n+1}=a_{n}+3b_{n} \\ b_{n+1}=2a_{n}+2b_{n}\end{cases}$
講義
ずらして隣接3項間にしたり，旧過程では行列を使ったり，解法はいくつかありますが，与式を
$\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})}$
と変形できれば $\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ は公比が $\beta$ の等比数列になります．このことを利用するのが一番楽です．
解答
$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$ とおく．左辺に与式を代入すると
$a_{n}+3b_{n}+\alpha(2a_{n}+2b_{n})=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$
$\Longleftrightarrow \ (1+2\alpha)a_{n}+(3+2\alpha)b_{n}=\beta a_{n}+\beta \alpha b_{n}$
両辺係数比較して
$\begin{cases} {1+2\alpha=\beta} \\ 3+2\alpha=\beta \alpha\end{cases}$
これを解くと
$(\alpha,\beta)=(-1,-1)，\left(\dfrac{3}{2},4\right)$
より与式を
$\begin{cases}a_{n+1}- b_{n+1}=-(a_{n}- b_{n}) \\ a_{n+1}+\dfrac{3}{2}b_{n+1}=4\left(a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}\right) \end{cases}$
と変形できるから，$\{a_{n}-b_{n}\}$，$\left\{a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}\right\}$ の一般項は
$\begin{cases}a_{n}- b_{n}=(a_{1}-b_{1})\cdot (-1)^{n-1}=5\cdot (-1)^{n-1} \\ a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}=\left(a_{1}+\dfrac{3}{2}b_{1}\right)\cdot 4^{n-1}=\dfrac{15}{2}\cdot 4^{n-1} \end{cases}$
辺々引くと
$-\dfrac{5}{2}b_{n}=-\dfrac{15}{2}\cdot 4^{n-1}+5\cdot (-1)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{b_{n}=3\cdot4^{n-1}-2\cdot (-1)^{n-1}}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=b_{n}+5(-1)^{n-1}\boldsymbol{=3\cdot4^{n-1}+3\cdot (-1)^{n-1}}$
解法まとめ
和を含んだ漸化式の解法まとめ
① $\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})}$ を用意して左辺に与式を代入する．
↓
② 係数比較して $\alpha$ と $\beta$ を出す．
(ⅰ) $\alpha$ と $\beta$ が2組のとき
$\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ の一般項を2組出して，辺々引いて $\{b_{n}\}$，そして $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
(ⅱ) $\alpha$ と $\beta$ が1組のとき
$\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ の一般項を出して，与式に代入することで $\{a_{n}\}$ または $\{b_{n}\}$ の指数型の漸化式を作って，$\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ の一般項を出していく．
練習問題
練習
数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=4$，$b_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+3b_{n}$，$b_{n+1}=3a_{n}+b_{n}$
(2) $a_{1}=1$，$b_{1}=2$，$a_{n+1}=2a_{n}-b_{n}$，$b_{n+1}=a_{n}+4b_{n}$
練習の解答