連立漸化式
数列(入試の標準) ★★★
$a_{n}$ と $b_{n}$ の2つが含まれた漸化式です.
解法が複数ありますが,ベストだと思える方法のみを扱います.
例題と解法まとめ
例題
連立漸化式
数列 $\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ.
$\begin{cases}a_{1}=6,b_{1}=1 \\ a_{n+1}=a_{n}+3b_{n} \\ b_{n+1}=2a_{n}+2b_{n}\end{cases}$
講義
ずらして隣接3項間にしたり,旧過程では行列を使ったり,解法はいくつかありますが,与式を
$\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})}$
と変形できれば $\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ は公比が $\beta$ の等比数列になります.このことを利用するのが一番楽です.
解答
$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$ とおく.左辺に与式を代入すると
$a_{n}+3b_{n}+\alpha(2a_{n}+2b_{n})=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$
$\Longleftrightarrow \ (1+2\alpha)a_{n}+(3+2\alpha)b_{n}=\beta a_{n}+\beta \alpha b_{n}$
両辺係数比較して
$\begin{cases} {1+2\alpha=\beta} \\ 3+2\alpha=\beta \alpha\end{cases}$
これを解くと
$(\alpha,\beta)=(-1,-1),\left(\dfrac{3}{2},4\right)$
より与式を
$\begin{cases}a_{n+1}- b_{n+1}=-(a_{n}- b_{n}) \\ a_{n+1}+\dfrac{3}{2}b_{n+1}=4\left(a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}\right) \end{cases}$
と変形できるから,$\{a_{n}-b_{n}\}$,$\left\{a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}\right\}$ の一般項は
$\begin{cases}a_{n}- b_{n}=(a_{1}-b_{1}) (-1)^{n-1}=5 (-1)^{n-1} \\ a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}=\left(a_{1}+\dfrac{3}{2}b_{1}\right) 4^{n-1}=\dfrac{15}{2}\cdot 4^{n-1} \end{cases}$
辺々引くと
$-\dfrac{5}{2}b_{n}=-\dfrac{15}{2}\cdot 4^{n-1}+5 (-1)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{b_{n}=3\cdot4^{n-1}-2 (-1)^{n-1}}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=b_{n}+5(-1)^{n-1}\boldsymbol{=3\cdot4^{n-1}+3 (-1)^{n-1}}$
解法まとめ
連立漸化式の解法まとめ
① $\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})}$ を用意して左辺に与式を代入する.
↓
② 係数比較して $\alpha$ と $\beta$ を出す.
(ⅰ) $\alpha$ と $\beta$ が2組のとき
$\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ の一般項を2組出して,辺々引いて $\{b_{n}\}$,そして $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.
(ⅱ) $\alpha$ と $\beta$ が1組のとき
$\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ の一般項を出して,与式に代入することで $\{a_{n}\}$ または $\{b_{n}\}$ の指数型の漸化式を作って,$\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ の一般項を出していく.
練習問題
練習
数列$\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$の一般項を求めよ.
(1) $a_{1}=4$,$b_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+3b_{n}$,$b_{n+1}=3a_{n}+b_{n}$
(2) $a_{1}=1$,$b_{1}=2$,$a_{n+1}=2a_{n}-b_{n}$,$b_{n+1}=a_{n}+4b_{n}$
練習の解答
(1)
$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$ とおく.左辺に与式を代入すると
$a_{n}+3b_{n}+\alpha(3a_{n}+b_{n})=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$
$\Longleftrightarrow \ (1+3\alpha)a_{n}+(3\alpha)b_{n}=\beta a_{n}+\beta \alpha b_{n}$
両辺係数比較して
$\begin{cases} 1+3\alpha=\beta \\ 3+\alpha=\beta \alpha\end{cases}$
これを解くと
$(\alpha,\beta)=(-1,-2),\left(1,4\right)$
より与式を
$\begin{cases}a_{n+1}- b_{n+1}=-2(a_{n}- b_{n}) \\ a_{n+1}+b_{n+1}=4\left(a_{n}+b_{n}\right) \end{cases}$
と変形できるから,$\{a_{n}-b_{n}\}$,$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ の一般項は
$\begin{cases}a_{n}- b_{n}=(a_{1}-b_{1}) (-2)^{n-1}=3 (-2)^{n-1} \\ a_{n}+b_{n}=\left(a_{1}+b_{1}\right)4^{n-1}=5\cdot 4^{n-1} \end{cases}$
辺々足すと
$2a_{n}=3 (-2)^{n-1}+5\cdot4^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{1}{2}\left\{3 (-2)^{n-1}+5\cdot4^{n-1}\right\}}$
辺々引くと
$-2b_{n}=3 (-2)^{n-1}+5\cdot4^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{b_{n}=\dfrac{1}{2}\left\{5\cdot4^{n-1}-3 (-2)^{n-1}\right\}}$
(2)
$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$ とおく.左辺に与式を代入すると
$2a_{n}-b_{n}+\alpha(a_{n}+4b_{n})=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$
$\Longleftrightarrow \ (2+\alpha)a_{n}+(-1+4\alpha)b_{n}=\beta a_{n}+\beta \alpha b_{n}$
両辺係数比較して
$\begin{cases} 2+\alpha=\beta \\ -1+4\alpha=\beta \alpha\end{cases}$
これを解くと
$(\alpha,\beta)=\left(1,3\right)$
より与式を
$a_{n+1}+b_{n+1}=3(a_{n}+b_{n})$
と変形できるから,$\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ の一般項は
$a_{n}+b_{n}=(a_{1}+b_{1})3^{n-1}=3^{n}$
与式に代入すると
$a_{n+1}=2a_{n}+a_{n}-3^{n}=3a_{n}-3^{n}$
両辺で $3^{n+1}$ 割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}-\dfrac{1}{3}$
これより
$\dfrac{a_{n}}{3^{n}}=\dfrac{a_{1}}{3^{1}}+(n-1)\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}n+\dfrac{2}{3}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=(-n+2) 3^{n-1}}$
$\boldsymbol{b_{n}}=3^{n}-(-n+2)3^{n-1}\boldsymbol{=(n+1) 3^{n-1}}$