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連立漸化式

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

$a_{n}$ と $b_{n}$ の2つが含まれた漸化式です.

解法が複数ありますが,ベストだと思える方法のみを扱います.





例題と解法まとめ

例題

和を含んだ漸化式

数列 $\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$\begin{cases}a_{1}=6,b_{1}=1 \\ a_{n+1}=a_{n}+3b_{n} \\ b_{n+1}=2a_{n}+2b_{n}\end{cases}$


講義

ずらして隣接3項間にしたり,旧過程では行列を使ったり,解法はいくつかありますが,与式を

$\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})}$

と変形できれば $\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ は公比が $\beta$ の等比数列になります.このことを利用するのが一番楽です.


解答

$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$ とおく.左辺に与式を代入すると

$a_{n}+3b_{n}+\alpha(2a_{n}+2b_{n})=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})$

$\Longleftrightarrow \ (1+2\alpha)a_{n}+(3+2\alpha)b_{n}=\beta a_{n}+\beta \alpha b_{n}$

両辺係数比較して

$\begin{cases} {1+2\alpha=\beta} \\ 3+2\alpha=\beta \alpha\end{cases}$

これを解くと

$(\alpha,\beta)=(-1,-1),\left(\dfrac{3}{2},4\right)$

より与式を

$\begin{cases}a_{n+1}- b_{n+1}=-(a_{n}- b_{n}) \\ a_{n+1}+\dfrac{3}{2}b_{n+1}=4\left(a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}\right) \end{cases}$

と変形できるから,$\{a_{n}-b_{n}\}$,$\left\{a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}\right\}$ の一般項は

$\begin{cases}a_{n}- b_{n}=(a_{1}-b_{1})(-1)^{n-1}=5(-1)^{n-1} \\ a_{n}+\dfrac{3}{2}b_{n}=\left(a_{1}+\dfrac{3}{2}b_{1}\right)4^{n-1}=\dfrac{15}{2}\cdot 4^{n-1} \end{cases}$

辺々引くと

$-\dfrac{5}{2}b_{n}=-\dfrac{15}{2}\cdot 4^{n-1}+5(-1)^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{b_{n}=3\cdot4^{n-1}-2(-1)^{n-1}}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=b_{n}+5(-1)^{n-1}=3\cdot4^{n-1}+3(-1)^{n-1}}$



解法まとめ

和を含んだ漸化式の解法まとめ

$\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}+\alpha b_{n})}$ を用意して左辺に与式を代入する.

② 係数比較して $\alpha$ と $\beta$ を出す.

(ⅰ) $\alpha$ と $\beta$ が2組のとき

$\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ の一般項を2組出して,辺々引いて $\{b_{n}\}$,そして $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.


(ⅱ) $\alpha$ と $\beta$ が1組のとき

$\{a_{n}+\alpha b_{n}\}$ の一般項を出して,与式に代入することで $\{a_{n}\}$ または $\{b_{n}\}$ の指数型の漸化式を作って,$\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ の一般項を出していく.




練習問題

練習

数列$\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=4$,$b_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+3b_{n}$,$b_{n+1}=3a_{n}+b_{n}$

(2) $a_{1}=1$,$b_{1}=2$,$a_{n+1}=2a_{n}-b_{n}$,$b_{n+1}=a_{n}+4b_{n}$

練習の解答



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