漸化式の応用(確率漸化式)
数列(入試の標準) ★★★
このページでは漸化式の応用問題として確率漸化式を扱います．
確率漸化式の主要パターンを整理し，すべてのパターンの例題と練習問題を用意しました．
確率漸化式の主なパターン
確率漸化式の問題では，時刻における状態の推移(遷移)を図にすることで解くとわかりやすいです．
どれもある時刻でのすべての状態の確率の和は $1$ になることを利用します．
ポイント
高校数学での確率漸化式の種類(イメージ)
基本的な解きやすいタイプです．漸化式を立てるのが問題で，漸化式を解くこと自体は簡単なことが多いです．
難関大学でよく出るタイプです．漸化式を立てるのが難しく，連立漸化式の解法を使うケースもあります．
※このタイプは圧倒的に出題頻度が少ない上に，Ⅰ，Ⅱの問題として解くことができる問題もあります．時間的余裕がなければ割愛していいと思います．
考え方
重要なことは，未来( $\boldsymbol{n+1}$ 回目) の確率は，現在 ( $\boldsymbol{n}$ 回目) (Ⅲでは $\boldsymbol{n-1}$ 回目も必要)のみによって決定するということです．これは大学の確率論の用語でマルコフ性といい，大学入試ではマルコフ性に従ったもの(マルコフ過程)しか出題されません．
身近な点で言うと，明日の天気や，企業の株価，インターネットのサイトの遷移等は，何年も前の事象の影響を受けるとは思えず，重要なのは直近の事象のみです．身の回りの事象でも，確率漸化式で記述できるモデルは多かったりします(大学では，応用数学科や経営システム工学科等で学べます)．
Ⅰ 隣接2項間で状態が2種類の基本的なタイプ
例題
例題1 Ⅰ 隣接2項間で状態が2種類のタイプ
Aの袋には赤玉1個と黒玉3個が，Bの袋には黒玉だけが3個入っている．それぞれの袋から同時に1個ずつ玉を取り出して入れかえる操作を繰り返す．この操作を $n$ 回繰り返した後にAの袋に赤玉が入っている確率を $a_{n}$ とする．
(1) $a_{1}$，$a_{2}$ を求めよ．
(2) $a_{n+1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ．
(3) $a_{n}$ を $n$ の式で表せ．
講義
確率推移図は以下のように，簡略化して書くといいと思います．
ここから $a_{n+1}$ を $a_{n}$ で表して漸化式を作ります．
解答
(1)と(2)
1回目にAから黒玉を取れば良いので，$\boldsymbol{a_{1}=\dfrac{3}{4}}$ ．
$n$ 回目と $n+1$ 回目の推移図を書くと
となるので
$\boldsymbol{a_{n+1}=}\dfrac{3}{4}a_{n}+\dfrac{1}{3}(1-a_{n})=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}a_{n}+\dfrac{1}{3}}$ ．
これに $n=1$ を代入して $\boldsymbol{a_{2}=\dfrac{31}{48}}$ ．
(3) (2)の式は
$a_{n+1}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{5}{12}\left(a_{n}-\dfrac{4}{7}\right)$
と変形できるから，$\left\{a_{n}-\dfrac{4}{7}\right\}$ の一般項は
$a_{n}-\dfrac{4}{7}=\left(a_{1}-\dfrac{4}{7}\right)\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n-1}=\dfrac{5}{28}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n-1}$
$\left\{a_{n}\right\}$ の一般項は
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n}+\dfrac{4}{7}}$
練習問題
練習1
正三角形 $\rm ABC$ の頂点上を点 $\rm P$ が次の規則Ⅰ，Ⅱに従って移動する．
Ⅰ：時刻 $0$ に $\rm P$ は $\rm A$ にいる．
Ⅱ：$1$ 秒ごとに，$\rm P$ は確率 $\dfrac{1}{5}$ で今いる頂点にとどまり，等確率で今いる頂点以外の他の2頂点のどちらかに移動する．
$n$ 秒後に $\rm P$ が $\rm A$ にいる確率を $p_{n}$ とする
(1) $p_{n}$ を用いて $p_{n+1}$ を表せ．
(2) $p_{n}$ を $n$ の式で表せ．
練習1の解答
(1) 出典：2015日本医科大改
となるので
$\boldsymbol{p_{n+1}=}\dfrac{1}{5}p_{n}+\dfrac{2}{5}(1-p_{n})=\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}p_{n}+\dfrac{2}{5}}$
(2) (1)の式は
$p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{5}\left(p_{n}-\dfrac{1}{3}\right)$
と変形できるから，$\left\{p_{n}-\dfrac{1}{3}\right\}$ の一般項は
$p_{n}-\dfrac{1}{3}=\left(p_{1}-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}=-\dfrac{2}{15}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$
$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項は
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}}$
Ⅱ 隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ
例題
例題2 Ⅱ 隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ
玉が2個ずつ入った2つの袋A，Bがあるとき，袋Bから玉を1個取り出して袋Aに入れ，次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる，という操作を1回の操作と数えることにする．Aに赤玉が2個，Bに白玉が2個入った状態から始め，この操作を $n$ 回繰り返した後に袋Bに入っている赤玉の個数が $k$ 個である確率を $P_{n}(k)$ $(n=1,2,3,\cdots)$ とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $k=0,1,2$ に対する $P_{1}(k)$ を求めよ．
(2) $k=0,1,2$ に対する $P_{n}(k)$ を求めよ．
講義
Bに赤が$0$，$1$，$2$ 個のときの3つの状態があります．必ずどれかの状態になるので，すべての状態の確率の和が $1$ になる( $\boldsymbol{P_{n}(0)+P_{n}(1)+P_{n}(2)=1}$ )のがポイントです．
解答 出典：2016名古屋大理系
(1) 最初にBからAに白を渡すことになる．Aが赤赤白となるので，$\boldsymbol{P_{1}(0)=\dfrac{1}{3}}$，$\boldsymbol{P_{1}(1)=\dfrac{2}{3}}$，$\boldsymbol{P_{1}(2)=0}$
(2) $n$ 回目と $n+1$ 回目の推移図を書くと
(※ $P_{n+1}(2)$ は 表には不要です)
ここで，上の確率 $\alpha$ は，BからAに赤を渡して，A(赤赤白)からBに白を渡せばいいので，$\alpha=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$．
上の確率 $\beta$ は，BからAに赤を渡して，A(赤赤白)からBに赤，または，BからAに白を渡して，A(赤白白)からBに白を渡せばいいので，$\beta=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$．
ゆえに
$\begin{cases} P_{n+1}(0)=\dfrac{1}{3}P_{n}(0)+\dfrac{1}{6} P_{n}(1) \ \cdots ☆ \\ P_{n+1}(1)=\dfrac{2}{3}P_{n}(0)+\dfrac{2}{3} P_{n}(1)+\dfrac{2}{3} P_{n}(2) \end{cases}$
が成り立つが，$\boldsymbol{P_{n}(0)+P_{n}(1)+P_{n}(2)=1}$ より
$P_{n+1}(1)=\dfrac{2}{3} \ \therefore \ \boldsymbol{P_{n}(1)=\dfrac{2}{3}}$
$☆$ に戻すと，$P_{n+1}(0)=\dfrac{1}{3}P_{n}(0)+\dfrac{1}{9}$
$\Longleftrightarrow \ P_{n+1}(0)-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\left(P_{n}(0)-\dfrac{1}{6}\right)$
$\therefore \ P_{n}(0)-\dfrac{1}{6}=\left(P_{1}(0)-\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{P_{n}(0)=\dfrac{1}{6}\left\{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}$
$\boldsymbol{P_{n}(2)=}1-P_{n}(0)-P_{n}(1)=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}$
練習問題
練習2
最初A，B，Cの3人が，Aを先頭にA，B，Cの順で一列に並んでいる．さいころを投げるたびに，以下の操作を行う．
・1の目が出たら，先頭の人と2番目の人を入れ替える．
・2の目が出たら，2番目の人と3番目の人を入れ替える．
・1，2以外の目が出たら，入れ替えを行わない．
$n$ を自然数とする．$n$ 回さいころを投げた後にAが先頭にいる確率を $p_{n}$ ，Aが2番目にいる確率を $q_{n}$ とする．以下の問に答えよ．
(1) $p_{1}$ ，$q_{1}$ を求めよ．
(2) $p_{n}$ ，$q_{n}$ を用いて $p_{n+1}$ ，$q_{n+1}$ をそれぞれ表せ．
(3) $p_{n}$ ，$q_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表せ．
練習2の解答
(1) 出典：2018岐阜大改
$\boldsymbol{p_{1}=\dfrac{5}{6}}$，$\boldsymbol{q_{1}=\dfrac{1}{6}}$
(2)
上の図から
$\boldsymbol{p_{n+1}=\dfrac{5}{6}p_{n}+\dfrac{1}{6} q_{n}}$
$\boldsymbol{q_{n+1}=}\dfrac{1}{6}p_{n}+\dfrac{2}{3} q_{n}+\dfrac{1}{6} (1-p_{n}-q_{n})=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} q_{n}+\dfrac{1}{6}}$
(3) (2)の2行目の式は
$q_{n+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\left(q_{n}-\dfrac{1}{3}\right)$
と変形できるから，$\left\{q_{n}-\dfrac{1}{3}\right\}$ の一般項は
$q_{n}-\dfrac{1}{3}=\left(q_{1}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
$\left\{q_{n}\right\}$ の一般項は
$\therefore \ \boldsymbol{q_{n}=\dfrac{1}{3}\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right\}}$
(2)の1行目の式に代入すると
$p_{n+1}=\dfrac{5}{6}p_{n}+\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
ここで，$p_{n}-\dfrac{1}{3}=a_{n} \Longleftrightarrow p_{n}=a_{n}+\dfrac{1}{3}$ とすると
$a_{n+1}=\dfrac{5}{6}a_{n}-\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
$\Longleftrightarrow \ 2^{n+1}a_{n+1}=\dfrac{5}{3}\cdot2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{9}$
$\Longleftrightarrow \ 2^{n+1}a_{n+1}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{3}\left(2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{6}\right)$
$\left\{2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{6}\right\}$ の一般項は
$2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{6}=\left(2^{1}a_{1}-\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{5}{6}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n}$
$\therefore \ 2^{n}a_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{6}$
$\therefore \ a_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}}$
Ⅲ 隣接3項間のタイプ
例題
例題3 Ⅲ 隣接3項間のタイプ
数直線上の原点Oを出発点とする．硬貨を投げるたびに，表が出たら2，裏が出たら1だけ正の方向へ進むものとする．点 $n$ に到達する確率を $p_{n}$ とする．ただし，$n$ は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 3以上の $n$ について，$p_{n}$，$p_{n-1}$，$p_{n-2}$の関係式を求めよ．
(2) 3以上の $n$ について，$p_{n}$ を求めよ．
講義
素直に3項間の漸化式を立てましょう．
別解として2項間で解くこともできます．
解答 出典：2015横浜市立大医学部
(1)
上のような推移図となるので(推移図を書かなくてもOKですが)
$\boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{2}p_{n-1}+\dfrac{1}{2}p_{n-2}}$ ．
ちなみに $p_{1}=\dfrac{1}{2}$，$p_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$
(2) 特性方程式 $\alpha^{2}=\dfrac{1}{2}\alpha+\dfrac{1}{2}$ を解くと $\alpha=1$，$-\dfrac{1}{2}$ より
$\begin{cases} p_{n}-p_{n-1}=-\dfrac{1}{2}\left(p_{n-1}-p_{n-2}\right) \\ p_{n}+\dfrac{1}{2}p_{n-1}=p_{n-1}+\dfrac{1}{2}p_{n-2} \end{cases}$
と変形できる．上の左辺のそれぞれの一般項は
$\begin{cases} p_{n+1}-p_{n}=\left(p_{2}-p_{1}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\ p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}=p_{2}+\dfrac{1}{2}p_{1}=1\end{cases}$
辺々引いて，$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項を出すと
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{2}{3}}$
(※別解ですが，点 $n$ に到達しないのは，点 $n-1$ で表を出すといいので，(2)だけなら $1-p_{n}=\dfrac{1}{2}p_{n-1}$ から解くこともできます．)
練習問題
練習3
どの目も出る確率が $\dfrac{1}{6}$ のさいころを1つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
さいころを投げ，出た目が1,2,3のときは文字列AAを書き，4のときは文字Bを，5のときは文字Cを，6のときは文字Dを書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，AA，B，C，Dをすでにある文字列の右側につないで書いていく．
例えば，さいころを5回投げ，その出た目が順に2，5，6，3，4であったとすると，得られる文字列は，
AACDAAB
となる．このとき，左から4番目の文字はD，5番目の文字はAである．
(1) $n$ を正の整数とする．$n$ 回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から $n$ 番目の文字がAとなる確率を求めよ．
(2) $n$ を2以上の整数とする．$n$ 回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から $n-1$ 番目の文字がAで，かつ $n$ 番目の文字がBとなる確率を求めよ．
練習3の解答
(1) 出典：2015東大
文字列の左から $n$ 番目の文字がAとなる確率を $p_{n}$ とおく．
1回目のさいころの目で場合分けします．
(ⅰ)1回目が1，2，3のとき，$n+2$ 回目にAが出るのは
A A | ? ? $\cdots$ A
となるが，3回目〜 $n+2$ 回目の出る確率は，改めて3回目を1回目とみれば $p_{n}$ と等しい．
(ⅱ)1回目が4，5，6のとき，$n+2$ 回目にAが出るのは
□ | ? ? ? $\cdots$ A
となるが(□はA以外)，2回目〜 $n+2$ 回目の出る確率は，改めて2回目を1回目とみれば $p_{n+1}$ と等しい．
(ⅰ)(ⅱ)より
$p_{n+2}=\dfrac{1}{2}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}$
ちなみに $p_{1}=\dfrac{1}{2}$，$p_{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$．上の式を
$\begin{cases} p_{n+2}-p_{n-1}=-\dfrac{1}{2}\left(p_{n+1}-p_{n}\right) \\ p_{n+2}+\dfrac{1}{2}p_{n+1}=p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n} \end{cases}$
と変形すると
$\begin{cases} p_{n+1}-p_{n}=\left(p_{2}-p_{1}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\ p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}=p_{2}+\dfrac{1}{2}p_{1}=1\end{cases}$
辺々引いて，$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項を出すと
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right\}}$
(2)
文字列の左から $n-1$ 番目の文字がAで，かつ $n$ 番目の文字がBとなる確率を $q_{n}$ とおく．
(1)と同様に考えると
$q_{n+2}=\dfrac{1}{2}q_{n+1}+\dfrac{1}{2}q_{n}$
$q_{2}=0$，$q_{3}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$ であるので，(1)と途中まで同様にすると
$\begin{cases} q_{n+1}-q_{n}=\left(q_{3}-q_{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n} \\ q_{n+1}+\dfrac{1}{2}q_{n}=q_{3}+\dfrac{1}{2}q_{2}=\dfrac{1}{12}\end{cases}$
辺々引いて，$\left\{q_{n}\right\}$ の一般項を出すと
$\therefore \ \boldsymbol{q_{n}=\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{9}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}}$
※(1)は別解として，さいころで1，2，3が出たときに出るAAを $\rm A_{左}A_{右}$ のように設定し，以下のようにⅡ隣接2項間で状態が3種類以上のタイプで解いてもOKです．
(2)は $n-1$ 文字目がA$_{右}$ で，次のさいころで4を出せばいいので，$q_{n-1}\cdot \dfrac{1}{6}$ で出せます．