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漸化式の応用問題(確率漸化式)

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

このページでは漸化式の応用問題として確率漸化式を扱います.

確率漸化式の主なパターンを整理し,すべてのパターンの例題と練習問題を用意しました.







確率漸化式の主なパターン

ポイント

確率漸化式の種類(イメージ)

隣接2項間で状態が2種類の基本的なタイプ

確率漸化式基本

解きやすいタイプです.まずはこのタイプを演習しましょう.


隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ

確率漸化式の状態が3つ

難関大学でよく出るタイプです.漸化式を立てるのが難しく,漸化式を解くこと自体は意外と簡単だったりします.


隣接3項間のタイプ

確率漸化式の隣接3項間のタイプ

※このタイプは圧倒的に出題頻度が少ない上に,①,②の問題として解くことができる問題もあります.時間的余裕がなければ割愛していいと思います.




考え方

確率漸化式の問題では,状態の推移(遷移)を図にすることで解くとわかりやすいです.

重要なことは,未来( $\boldsymbol{n+1}$ 回目) の確率は,現在 ( $\boldsymbol{n}$ 回目) (③では $\boldsymbol{n-1}$ 回目も必要)のみによって決定するということです.これは大学の確率論の用語でマルコフ性といい,大学入試ではマルコフ性に従ったもの(マルコフ過程)しか出題されません.

身近な点で言うと,明日の天気や,企業の株価,インターネットのサイトの遷移等は,どう考えても何年も前の事象の影響を受けるとは思えず,重要なのは,直近の事象のみです.身の回りの事象でも,確率漸化式で記述できるモデルは多かったりします(より専門的には,大学の応用数学科や経営システム工学科等で学べます).




① 隣接2項間で状態が2種類の基本的なタイプ

例題

例題1 ① 隣接2項間で状態が2種類の基本的なタイプ

Aの袋には赤玉1個と黒玉4個が,Bの袋には黒玉だけが5個入っている.それぞれの袋から同時に1個ずつ玉を取り出して入れかえる操作を繰り返す.この操作を $n$ 回繰り返した後にAの袋に赤玉が入っている確率を $a_{n}$ とする.

(1) $a_{1}$,$a_{2}$ を求めよ.

(2) $a_{n+1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ.

(3) $a_{n}$ を $n$ の式で表せ.


講義

確率推移図は以下のようになります.

確率漸化式例題1講義

$a_{n+1}$ を求めるのに必要なものだけ書きます.実際には以下の解答のように,簡略して書くといいと思います.


解答

(1) (2)1回目にAから黒玉を取れば良いので,$\boldsymbol{a_{1}=\dfrac{4}{5}}$ .

$n$ 回目と $n+1$ 回目の推移図を書くと

確率漸化式例題1解答

となるので

$\boldsymbol{a_{n+1}=}\dfrac{4}{5}a_{n}+\dfrac{1}{5}(1-a_{n})=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}a_{n}+\dfrac{1}{5}}$ .

これに $n=1$ を代入して $\boldsymbol{a_{2}=\dfrac{17}{25}}$ .


(3) (2)の式は

$a_{n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{5}\left(a_{n}-\dfrac{1}{2}\right)$

と変形できるから,$\left\{a_{n}-\dfrac{1}{2}\right\}$ の一般項は

$a_{n}-\dfrac{1}{2}=\left(a_{1}-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n-1}=\dfrac{3}{10}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n-1}$

$\left\{a_{n}\right\}$ の一般項は

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{3}{10}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{2}}$



練習問題

練習1

正三角形ABCの頂点上を点Pが次の規則①,②に従って移動する.

①時刻 $0$ にPはAにいる.

② $1$ 秒ごとに,Pは確率 $\dfrac{1}{4}$ で今いる頂点にとどまり,等確率で今いる頂点以外の他の2頂点のどちらかに移動する.

$n$ 秒後にPがAにいる確率を $p_{n}$ とする

(1) $p_{n}$ を用いて $p_{n+1}$ を表せ.

(2) $p_{n}$ を $n$ の式で表せ.

練習1の解答




② 隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ

例題

例題2 ② 隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ

玉が2個ずつ入った2つの袋A,Bがあるとき,袋Bから玉を1個取り出して袋Aに入れ,次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる,という操作を1回の操作と数えることにする.Aに赤玉が2個,Bに白玉が2個入った状態から始め,この操作を $n$ 回繰り返した後に袋Bに入っている赤玉の個数が $k$ 個である確率を $P_{n}(k)$ $(n=1,2,3,\cdots)$ とする.このとき,次の問に答えよ.

(1) $k=0,1,2$ に対する $P_{1}(k)$ を求めよ.

(2) $k=0,1,2$ に対する $P_{n}(k)$ を求めよ.


講義

Bに赤が$0$,$1$,$2$ 個のときの3つの状態があります.必ずどれかの状態になるので,すべての状態の確率の和が $1$ になる( $\boldsymbol{P_{n}(0)+P_{n}(1)+P_{n}(2)=1}$ )のがポイントです.


解答 出典:2016名古屋大理系

(1) 最初にBからAに白を渡すことになる.Aが赤赤白となるので,$\boldsymbol{P_{1}(0)=\dfrac{1}{3}}$,$\boldsymbol{P_{1}(1)=\dfrac{2}{3}}$,$\boldsymbol{P_{1}(2)=0}$


(2) $n$ 回目と $n+1$ 回目の推移図を書くと

確率漸化式例題2解答

(※ $P_{n+1}(2)$ は 表には不要です)

ここで,上の確率 $\alpha$ は,BからAに赤を渡して,A(赤赤白)からBに白を渡せばいいので,$\alpha=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$.

上の確率 $\beta$ は,BからAに赤を渡して,A(赤赤白)からBに赤,または,BからAに白を渡して,A(赤白白)からBに白を渡せばいいので,$\beta=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$.

ゆえに

$\begin{cases} P_{n+1}(0)=\dfrac{1}{3}P_{n}(0)+\dfrac{1}{6} P_{n}(1) \ \cdots ☆ \\ P_{n+1}(1)=\dfrac{2}{3}P_{n}(0)+\dfrac{2}{3} P_{n}(1)+\dfrac{2}{3} P_{n}(2) \end{cases}$

が成り立つが,$\boldsymbol{P_{n}(0)+P_{n}(1)+P_{n}(2)=1}$ より

$P_{n+1}(1)=\dfrac{2}{3} \ \therefore \ \boldsymbol{P_{n}(1)=\dfrac{2}{3}}$

$☆$ に戻すと,$P_{n+1}(0)=\dfrac{1}{3}P_{n}(0)+\dfrac{1}{9}$

$\Longleftrightarrow \ P_{n+1}(0)-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\left(P_{n}(0)-\dfrac{1}{6}\right)$

$\therefore \ P_{n}(0)-\dfrac{1}{6}=\left(P_{1}(0)-\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{P_{n}(0)=\dfrac{1}{6}\left\{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}$

$\boldsymbol{P_{n}(2)=}1-P_{n}(0)-P_{n}(1)=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}$



練習問題

練習2

最初A,B,Cの3人が,Aを先頭にA,B,Cの順で一列に並んでいる.さいころを投げるたびに,以下の操作を行う.

・1の目が出たら,先頭の人と2番目の人を入れ替える.

・2の目が出たら,2番目の人と3番目の人を入れ替える.

・1,2以外の目が出たら,入れ替えを行わない.

$n$ を自然数とする.$n$ 回さいころを投げた後にAが先頭にいる確率を $p_{n}$ ,Aが2番目にいる確率を $q_{n}$ とする.以下の問に答えよ.

(1) $p_{1}$ ,$q_{1}$ を求めよ.

(1) $p_{n}$ ,$q_{n}$ を用いて $p_{n+1}$ ,$q_{n+1}$ をそれぞれ表せ.

(2) $p_{n}$ ,$q_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表せ.

練習2の解答







③ 隣接3項間のタイプ

例題

例題3 ③ 隣接3項間のタイプ

数直線上の原点Oを出発点とする.硬貨を投げるたびに,表が出たら2,裏が出たら1だけ正の方向へ進むものとする.点 $n$ に到達する確率を $p_{n}$ とする.ただし,$n$ は自然数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 3以上の $n$ について,$p_{n}$,$p_{n-1}$,$p_{n-2}$の関係式を求めよ.

(2) 3以上の $n$ について,$p_{n}$ を求めよ.


講義

素直に3項間の漸化式を立てましょう.

別解として2項間で解くこともできます.


解答 出典:2015横浜市立大医学部

(1)

確率漸化式例題3解答

上のような推移図となるので(推移図を書かなくてもOKですが)

$\boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{2}p_{n-1}+\dfrac{1}{2}p_{n-2}}$ .

ちなみに $p_{1}=\dfrac{1}{2}$,$p_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$


(2) 特性方程式 $\alpha^{2}=\dfrac{1}{2}\alpha+\dfrac{1}{2}$ を解くと $\alpha=1$,$-\dfrac{1}{2}$ より

$\begin{cases} p_{n}-p_{n-1}=-\dfrac{1}{2}\left(p_{n-1}-p_{n-2}\right) \\ p_{n}+\dfrac{1}{2}p_{n-1}=p_{n-1}+\dfrac{1}{2}p_{n-2} \end{cases}$

と変形できる.上の左辺のそれぞれの一般項は

$\begin{cases} p_{n+1}-p_{n}=\left(p_{2}-p_{1}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\ p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}=p_{2}+\dfrac{1}{2}p_{1}=1\end{cases}$

辺々引いて,$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項を出すと

$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{2}{3}}$

(※別解ですが,点 $n$ に到達しないのは,点 $n-1$ で表を出すといいので,(2)だけなら $1-p_{n}=\dfrac{1}{2}p_{n-1}$ から解くこともできます.)



練習問題

練習3

どの目も出る確率が $\dfrac{1}{6}$ のさいころを1つ用意し,次のように左から順に文字を書く.

さいころを投げ,出た目が1,2,3のときは文字列AAを書き,4のときは文字Bを,5のときは文字Cを,6のときは文字Dを書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,AA,B,C,Dをすでにある文字列の右側につないで書いていく.

例えば,さいころを5回投げ,その出た目が順に2,5,6,3,4であったとすると,得られる文字列は,

AACDAAB

となる.このとき,左から4番目の文字はD,5番目の文字はAである.

(1) $n$ を正の整数とする.$n$ 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から $n$ 番目の文字がAとなる確率を求めよ.

(2) $n$ を2以上の整数とする.$n$ 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から $n-1$ 番目の文字がAで,かつ $n$ 番目の文字がBとなる確率を求めよ.

練習3の解答




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