漸化式の応用(確率漸化式)
数列(入試の標準) ★★★

このページでは漸化式の応用問題として確率漸化式を扱います.
確率漸化式の主要パターンを整理し,すべてのパターンの例題と練習問題を用意しました.
確率漸化式の主なパターン
確率漸化式の問題では,時刻における状態の推移(遷移)を図にすることで解くとわかりやすいです.
どれもある時刻でのすべての状態の確率の和は $1$ になることを利用します.
ポイント
高校数学での確率漸化式の種類(イメージ)

基本的な解きやすいタイプです.漸化式を立てるのが問題で,漸化式を解くこと自体は簡単なことが多いです.

難関大学でよく出るタイプです.漸化式を立てるのが難しく,連立漸化式の解法を使うケースもあります.

※このタイプは圧倒的に出題頻度が少ない上に,Ⅰ,Ⅱの問題として解くことができる問題もあります.時間的余裕がなければ割愛していいと思います.
考え方
重要なことは,未来( $\boldsymbol{n+1}$ 回目) の確率は,現在 ( $\boldsymbol{n}$ 回目) (Ⅲでは $\boldsymbol{n-1}$ 回目も必要)のみによって決定するということです.これは大学の確率論の用語でマルコフ性といい,大学入試ではマルコフ性に従ったもの(マルコフ過程)しか出題されません.
身近な点で言うと,明日の天気や,企業の株価,インターネットのサイトの遷移等は,何年も前の事象の影響を受けるとは思えず,重要なのは直近の事象のみです.身の回りの事象でも,確率漸化式で記述できるモデルは多かったりします(大学では,応用数学科や経営システム工学科等で学べます).
Ⅰ 隣接2項間で状態が2種類の基本的なタイプ
例題
例題1 Ⅰ 隣接2項間で状態が2種類のタイプ
Aの袋には赤玉1個と黒玉3個が,Bの袋には黒玉だけが3個入っている.それぞれの袋から同時に1個ずつ玉を取り出して入れかえる操作を繰り返す.この操作を $n$ 回繰り返した後にAの袋に赤玉が入っている確率を $a_{n}$ とする.
(1) $a_{1}$,$a_{2}$ を求めよ.
(2) $a_{n+1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ.
(3) $a_{n}$ を $n$ の式で表せ.
講義
確率推移図は以下のように,簡略化して書くといいと思います.

ここから $a_{n+1}$ を $a_{n}$ で表して漸化式を作ります.
解答
(1)と(2)
1回目にAから黒玉を取れば良いので,$\boldsymbol{a_{1}=\dfrac{3}{4}}$ .
$n$ 回目と $n+1$ 回目の推移図を書くと

となるので
$\boldsymbol{a_{n+1}=}\dfrac{3}{4}a_{n}+\dfrac{1}{3}(1-a_{n})=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}a_{n}+\dfrac{1}{3}}$ .
これに $n=1$ を代入して $\boldsymbol{a_{2}=\dfrac{31}{48}}$ .
(3) (2)の式は
$a_{n+1}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{5}{12}\left(a_{n}-\dfrac{4}{7}\right)$
と変形できるから,$\left\{a_{n}-\dfrac{4}{7}\right\}$ の一般項は
$a_{n}-\dfrac{4}{7}=\left(a_{1}-\dfrac{4}{7}\right)\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n-1}=\dfrac{5}{28}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n-1}$
$\left\{a_{n}\right\}$ の一般項は
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n}+\dfrac{4}{7}}$
練習問題
練習1
正三角形 $\rm ABC$ の頂点上を点 $\rm P$ が次の規則Ⅰ,Ⅱに従って移動する.
Ⅰ:時刻 $0$ に $\rm P$ は $\rm A$ にいる.
Ⅱ:$1$ 秒ごとに,$\rm P$ は確率 $\dfrac{1}{5}$ で今いる頂点にとどまり,等確率で今いる頂点以外の他の2頂点のどちらかに移動する.
$n$ 秒後に $\rm P$ が $\rm A$ にいる確率を $p_{n}$ とする
(1) $p_{n}$ を用いて $p_{n+1}$ を表せ.
(2) $p_{n}$ を $n$ の式で表せ.
練習1の解答
(1) 出典:2015日本医科大改

となるので
$\boldsymbol{p_{n+1}=}\dfrac{1}{5}p_{n}+\dfrac{2}{5}(1-p_{n})=\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}p_{n}+\dfrac{2}{5}}$
(2) (1)の式は
$p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{5}\left(p_{n}-\dfrac{1}{3}\right)$
と変形できるから,$\left\{p_{n}-\dfrac{1}{3}\right\}$ の一般項は
$p_{n}-\dfrac{1}{3}=\left(p_{1}-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}=-\dfrac{2}{15}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$
$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項は
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}}$
Ⅱ 隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ
例題
例題2 Ⅱ 隣接2項間で状態が3種類以上のタイプ
玉が2個ずつ入った2つの袋A,Bがあるとき,袋Bから玉を1個取り出して袋Aに入れ,次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる,という操作を1回の操作と数えることにする.Aに赤玉が2個,Bに白玉が2個入った状態から始め,この操作を $n$ 回繰り返した後に袋Bに入っている赤玉の個数が $k$ 個である確率を $P_{n}(k)$ $(n=1,2,3,\cdots)$ とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $k=0,1,2$ に対する $P_{1}(k)$ を求めよ.
(2) $k=0,1,2$ に対する $P_{n}(k)$ を求めよ.
講義
Bに赤が$0$,$1$,$2$ 個のときの3つの状態があります.必ずどれかの状態になるので,すべての状態の確率の和が $1$ になる( $\boldsymbol{P_{n}(0)+P_{n}(1)+P_{n}(2)=1}$ )のがポイントです.
解答 出典:2016名古屋大理系
(1) 最初にBからAに白を渡すことになる.Aが赤赤白となるので,$\boldsymbol{P_{1}(0)=\dfrac{1}{3}}$,$\boldsymbol{P_{1}(1)=\dfrac{2}{3}}$,$\boldsymbol{P_{1}(2)=0}$
(2) $n$ 回目と $n+1$ 回目の推移図を書くと

(※ $P_{n+1}(2)$ は 表には不要です)
ここで,上の確率 $\alpha$ は,BからAに赤を渡して,A(赤赤白)からBに白を渡せばいいので,$\alpha=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$.
上の確率 $\beta$ は,BからAに赤を渡して,A(赤赤白)からBに赤,または,BからAに白を渡して,A(赤白白)からBに白を渡せばいいので,$\beta=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$.
ゆえに
$\begin{cases} P_{n+1}(0)=\dfrac{1}{3}P_{n}(0)+\dfrac{1}{6} P_{n}(1) \ \cdots ☆ \\ P_{n+1}(1)=\dfrac{2}{3}P_{n}(0)+\dfrac{2}{3} P_{n}(1)+\dfrac{2}{3} P_{n}(2) \end{cases}$
が成り立つが,$\boldsymbol{P_{n}(0)+P_{n}(1)+P_{n}(2)=1}$ より
$P_{n+1}(1)=\dfrac{2}{3} \ \therefore \ \boldsymbol{P_{n}(1)=\dfrac{2}{3}}$
$☆$ に戻すと,$P_{n+1}(0)=\dfrac{1}{3}P_{n}(0)+\dfrac{1}{9}$
$\Longleftrightarrow \ P_{n+1}(0)-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\left(P_{n}(0)-\dfrac{1}{6}\right)$
$\therefore \ P_{n}(0)-\dfrac{1}{6}=\left(P_{1}(0)-\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{P_{n}(0)=\dfrac{1}{6}\left\{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}$
$\boldsymbol{P_{n}(2)=}1-P_{n}(0)-P_{n}(1)=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}$
練習問題
練習2
最初A,B,Cの3人が,Aを先頭にA,B,Cの順で一列に並んでいる.さいころを投げるたびに,以下の操作を行う.
・1の目が出たら,先頭の人と2番目の人を入れ替える.
・2の目が出たら,2番目の人と3番目の人を入れ替える.
・1,2以外の目が出たら,入れ替えを行わない.
$n$ を自然数とする.$n$ 回さいころを投げた後にAが先頭にいる確率を $p_{n}$ ,Aが2番目にいる確率を $q_{n}$ とする.以下の問に答えよ.
(1) $p_{1}$ ,$q_{1}$ を求めよ.
(2) $p_{n}$ ,$q_{n}$ を用いて $p_{n+1}$ ,$q_{n+1}$ をそれぞれ表せ.
(3) $p_{n}$ ,$q_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表せ.
練習2の解答
(1) 出典:2018岐阜大改
$\boldsymbol{p_{1}=\dfrac{5}{6}}$,$\boldsymbol{q_{1}=\dfrac{1}{6}}$
(2)

上の図から
$\boldsymbol{p_{n+1}=\dfrac{5}{6}p_{n}+\dfrac{1}{6} q_{n}}$
$\boldsymbol{q_{n+1}=}\dfrac{1}{6}p_{n}+\dfrac{2}{3} q_{n}+\dfrac{1}{6} (1-p_{n}-q_{n})=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} q_{n}+\dfrac{1}{6}}$
(3) (2)の2行目の式は
$q_{n+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\left(q_{n}-\dfrac{1}{3}\right)$
と変形できるから,$\left\{q_{n}-\dfrac{1}{3}\right\}$ の一般項は
$q_{n}-\dfrac{1}{3}=\left(q_{1}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
$\left\{q_{n}\right\}$ の一般項は
$\therefore \ \boldsymbol{q_{n}=\dfrac{1}{3}\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right\}}$
(2)の1行目の式に代入すると
$p_{n+1}=\dfrac{5}{6}p_{n}+\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
ここで,$p_{n}-\dfrac{1}{3}=a_{n} \Longleftrightarrow p_{n}=a_{n}+\dfrac{1}{3}$ とすると
$a_{n+1}=\dfrac{5}{6}a_{n}-\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
$\Longleftrightarrow \ 2^{n+1}a_{n+1}=\dfrac{5}{3}\cdot2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{9}$
$\Longleftrightarrow \ 2^{n+1}a_{n+1}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{3}\left(2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{6}\right)$
$\left\{2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{6}\right\}$ の一般項は
$2^{n}a_{n}-\dfrac{1}{6}=\left(2^{1}a_{1}-\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{5}{6}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n}$
$\therefore \ 2^{n}a_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{6}$
$\therefore \ a_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}}$
Ⅲ 隣接3項間のタイプ
例題
例題3 Ⅲ 隣接3項間のタイプ
数直線上の原点Oを出発点とする.硬貨を投げるたびに,表が出たら2,裏が出たら1だけ正の方向へ進むものとする.点 $n$ に到達する確率を $p_{n}$ とする.ただし,$n$ は自然数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 3以上の $n$ について,$p_{n}$,$p_{n-1}$,$p_{n-2}$の関係式を求めよ.
(2) 3以上の $n$ について,$p_{n}$ を求めよ.
講義
素直に3項間の漸化式を立てましょう.
別解として2項間で解くこともできます.
解答 出典:2015横浜市立大医学部
(1)

上のような推移図となるので(推移図を書かなくてもOKですが)
$\boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{2}p_{n-1}+\dfrac{1}{2}p_{n-2}}$ .
ちなみに $p_{1}=\dfrac{1}{2}$,$p_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$
(2) 特性方程式 $\alpha^{2}=\dfrac{1}{2}\alpha+\dfrac{1}{2}$ を解くと $\alpha=1$,$-\dfrac{1}{2}$ より
$\begin{cases} p_{n}-p_{n-1}=-\dfrac{1}{2}\left(p_{n-1}-p_{n-2}\right) \\ p_{n}+\dfrac{1}{2}p_{n-1}=p_{n-1}+\dfrac{1}{2}p_{n-2} \end{cases}$
と変形できる.上の左辺のそれぞれの一般項は
$\begin{cases} p_{n+1}-p_{n}=\left(p_{2}-p_{1}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\ p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}=p_{2}+\dfrac{1}{2}p_{1}=1\end{cases}$
辺々引いて,$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項を出すと
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{2}{3}}$
(※別解ですが,点 $n$ に到達しないのは,点 $n-1$ で表を出すといいので,(2)だけなら $1-p_{n}=\dfrac{1}{2}p_{n-1}$ から解くこともできます.)
練習問題
練習3
どの目も出る確率が $\dfrac{1}{6}$ のさいころを1つ用意し,次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ,出た目が1,2,3のときは文字列AAを書き,4のときは文字Bを,5のときは文字Cを,6のときは文字Dを書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,AA,B,C,Dをすでにある文字列の右側につないで書いていく.
例えば,さいころを5回投げ,その出た目が順に2,5,6,3,4であったとすると,得られる文字列は,
AACDAAB
となる.このとき,左から4番目の文字はD,5番目の文字はAである.
(1) $n$ を正の整数とする.$n$ 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から $n$ 番目の文字がAとなる確率を求めよ.
(2) $n$ を2以上の整数とする.$n$ 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から $n-1$ 番目の文字がAで,かつ $n$ 番目の文字がBとなる確率を求めよ.
練習3の解答
(1) 出典:2015東大
文字列の左から $n$ 番目の文字がAとなる確率を $p_{n}$ とおく.
1回目のさいころの目で場合分けします.
(ⅰ)1回目が1,2,3のとき,$n+2$ 回目にAが出るのは
A A | ? ? $\cdots$ A
となるが,3回目〜 $n+2$ 回目の出る確率は,改めて3回目を1回目とみれば $p_{n}$ と等しい.
(ⅱ)1回目が4,5,6のとき,$n+2$ 回目にAが出るのは
□ | ? ? ? $\cdots$ A
となるが(□はA以外),2回目〜 $n+2$ 回目の出る確率は,改めて2回目を1回目とみれば $p_{n+1}$ と等しい.
(ⅰ)(ⅱ)より
$p_{n+2}=\dfrac{1}{2}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}$
ちなみに $p_{1}=\dfrac{1}{2}$,$p_{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$.上の式を
$\begin{cases} p_{n+2}-p_{n-1}=-\dfrac{1}{2}\left(p_{n+1}-p_{n}\right) \\ p_{n+2}+\dfrac{1}{2}p_{n+1}=p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n} \end{cases}$
と変形すると
$\begin{cases} p_{n+1}-p_{n}=\left(p_{2}-p_{1}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\ p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_{n}=p_{2}+\dfrac{1}{2}p_{1}=1\end{cases}$
辺々引いて,$\left\{p_{n}\right\}$ の一般項を出すと
$\therefore \ \boldsymbol{p_{n}=\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right\}}$
(2)
文字列の左から $n-1$ 番目の文字がAで,かつ $n$ 番目の文字がBとなる確率を $q_{n}$ とおく.
(1)と同様に考えると
$q_{n+2}=\dfrac{1}{2}q_{n+1}+\dfrac{1}{2}q_{n}$
$q_{2}=0$,$q_{3}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$ であるので,(1)と途中まで同様にすると
$\begin{cases} q_{n+1}-q_{n}=\left(q_{3}-q_{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n} \\ q_{n+1}+\dfrac{1}{2}q_{n}=q_{3}+\dfrac{1}{2}q_{2}=\dfrac{1}{12}\end{cases}$
辺々引いて,$\left\{q_{n}\right\}$ の一般項を出すと
$\therefore \ \boldsymbol{q_{n}=\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{9}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}}$
※(1)は別解として,さいころで1,2,3が出たときに出るAAを $\rm A_{左}A_{右}$ のように設定し,以下のようにⅡ隣接2項間で状態が3種類以上のタイプで解いてもOKです.

(2)は $n-1$ 文字目がA$_{右}$ で,次のさいころで4を出せばいいので,$q_{n-1}\cdot \dfrac{1}{6}$ で出せます.