2-6型(逆数型)の漸化式
数列(入試の標準) ★★★
こちらも検定教科書に完全には記載がないので，誘導付きで出題されるケースが多くなります．
例題と解法まとめ
例題
2-6型(逆数型) $a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}+3}$
講義
両辺の逆数をとると解決します．
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+1$
$b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと
$b_{n+1}=3b_{n}+1$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$
となり，2-4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます．
後は $b_{n}$ の一般項を出して，$a_{n}$ の一般項を出します．
※ 念のため逆数をとる前に，$a_{n}\neq 0$ であることを断ると無難です．
解答
$a_{1}$ および漸化式の形から，$a_{n}\neq 0$．両辺の逆数をとると
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+1$
ここで $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと，
$b_{n+1}=3b_{n}+1$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$
$\Longleftrightarrow b_{n+1}+\dfrac{1}{2}=3\left(b_{n}+\dfrac{1}{2}\right)$ ←特性解 $-\dfrac{1}{2}$
よって，$\left\{b_{n}+\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項 $b_{1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，公比 $3$ の等比数列なので
$b_{n}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \cdot 3^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=\dfrac{3^{n}-1}{2}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=\dfrac{1}{b_{n}}\boldsymbol{=\dfrac{2}{3^{n}-1}}$
解法まとめ
$a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$ の解法まとめ
① $a_{n}\neq 0$ であることを断り，両辺の逆数をとる．
↓
② $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す．その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{4a_{n}+3}$
(2) $a_{1}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{2-a_{n}}$
(3) $a_{1}=3$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{na_{n}+1}$
練習の解答
(1)
$a_{1}$ および漸化式の形から，$a_{n}\neq 0$．両辺の逆数をとると
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{4a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+4$
ここで $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと，
$b_{n+1}=3b_{n}+4$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$
ここでこの式を
$b_{n+1}+2=3\left(b_{n}+2\right)$ ←特性解 $-2$
と変形すると
$b_{n}+2=(b_{1}+2) \cdot 3^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=3^{n}-2$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=\dfrac{1}{b_{n}}\boldsymbol{=\boldsymbol{\dfrac{1}{3^{n}-2}}}$
(2)
$a_{1}$ および漸化式の形から，$a_{n}\neq 0$．両辺の逆数をとると
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2-a_{n}}{a_{n}}=2\cdot\dfrac{1}{a_{n}}-1$
ここで $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと，
$b_{n+1}=2b_{n}-1$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=2$
ここでこの式を
$b_{n+1}-1=2\left(b_{n}-1\right)$ ←特性解 $1$
と変形すると
$b_{n}-1=(b_{1}-1) \cdot 2^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=2^{n-1}+1$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=\dfrac{1}{b_{n}}\boldsymbol{=\boldsymbol{\dfrac{1}{2^{n-1}+1}}}$
(3)
$a_{1}$ および漸化式の形から，$a_{n}\neq 0$．両辺の逆数をとると
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{na_{n}+1}{a_{n}}=\dfrac{1}{a_{n}}+n$
ここで $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと，
$b_{n+1}=b_{n}+n$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=\dfrac{1}{3}$ ←階差型
$n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle b_{n}=\dfrac{1}{3}+\sum_{k=1}^{n-1}k$
$\displaystyle =\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}(n-1)n$
$\displaystyle =\dfrac{3n^{2}-3n+2}{6}$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$b_{n}=\dfrac{3n^{2}-3n+2}{6}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=\dfrac{1}{b_{n}}\boldsymbol{=\boldsymbol{\dfrac{6}{3n^{2}-3n+2}}}$