2・6型(逆数型)の漸化式
タイプ：入試の標準 レベル：★★★
こちらも難関大受験者にとっては常識ですが，教科書に完全には記述がないので，誘導付きで出題されるケースが多くなります．
例題と解法まとめ
例題
2・6型(逆数型) $a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}+3}$
講義
両辺の逆数をとると解決します．
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+1$
$b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと
$b_{n+1}=3b_{n}+1$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$
となり，2・4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます．
後は $b_{n}$ の一般項を出して，$a_{n}$ の一般項を出して終わりです。
※ 念のため逆数をとる前に，$a_{n}\neq 0$ であることを断ると無難です．
解答
$a_{1}$ および漸化式の形から，$a_{n}\neq 0$．両辺の逆数をとると
$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+1$
ここで $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと，
$b_{n+1}=3b_{n}+1$，$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$
$\Longleftrightarrow b_{n+1}+\dfrac{1}{2}=3\left(b_{n}+\dfrac{1}{2}\right)$ ←特性解 $-\dfrac{1}{2}$
よって，$\left\{b_{n}+\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項 $b_{1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，公比 $3$ の等比数列なので
$b_{n}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \cdot 3^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=\dfrac{3^{n}-1}{2}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=\dfrac{1}{b_{n}}\boldsymbol{=\dfrac{2}{3^{n}-1}}$
解法まとめ
$a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$ の解法まとめ
① $a_{n}\neq 0$ であることを断り，両辺の逆数をとる．
↓
② $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す．その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{4a_{n}+3}$
(2) $a_{1}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{2-a_{n}}$
(3) $a_{1}=3$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{na_{n}+1}$
練習の解答