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2・6型(逆数型)の漸化式

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


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こちらも難関大受験者にとっては常識ですが,教科書に完全には記述がないので,誘導付きで出題されるケースが多くなります.





例題と解法まとめ

例題

2・6型(逆数型) $a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=1$,$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}+3}$


講義

両辺の逆数をとると解決します.

$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+1$

$b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと

$b_{n+1}=3b_{n}+1$,$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$

となり,2・4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます.

後は $b_{n}$ の一般項を出して,$a_{n}$ の一般項を出して終わりです。

※ 念のため逆数をとる前に,$a_{n}\neq 0$ であることを断ると無難です.


解答

$a_{1}$ および漸化式の形から,$a_{n}\neq 0$.両辺の逆数をとると

  $\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot\dfrac{1}{a_{n}}+1$

ここで $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおくと,

  $b_{n+1}=3b_{n}+1$,$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}=1$

$\Longleftrightarrow \ b_{n+1}+\dfrac{1}{2}=3\left(b_{n}+\dfrac{1}{2}\right)$ ←特性解 $-\dfrac{1}{2}$ より

よって,$\left\{b_{n}+\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項 $b_{1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$,公比 $3$ の等比数列なので

  $b_{n}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \cdot 3^{n-1}$

   $\therefore \ b_{n}=\dfrac{3^{n}-1}{2}$

  $\therefore \ a_{n}=\dfrac{1}{b_{n}}$

    $=\boldsymbol{\dfrac{2}{3^{n}-1}}$



解法まとめ

$a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$ の解法まとめ

① $a_{n}\neq 0$ であることを断り,両辺の逆数をとる.

② $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す.その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{4a_{n}+3}$

(2) $a_{1}=\dfrac{1}{2}$,$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{2-a_{n}}$

(3) $a_{1}=3$,$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{na_{n}+1}$

練習の解答



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