初手の変形の考察

$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

↓

$\boldsymbol{a_{n+1}-g(n+1)=p(a_{n}-g(n))}$

と変形せよと指示している参考書が多いです．これは，$a_{n}$ の特殊解が $g(n)$ であることを意味しているという点で重要です．

例えば例題の

$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$

では一般解( $a_{1}$ を不問にした解)が $a_{n}=C\cdot 2^{n-1}-4n-7$ になります．ここで $C=0$ にしたもの，$a_{n}=-4n-7$ が特殊解になります．これこそが $g(n)$ です．

以上の点で重要なのですが，計算の都合上，$\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$の方が計算しやすい(特に $g(n)$ が2次式の場合)，生徒の計算ミスが起きにくいという点で，こちらにしました．

どちらで指導すべきか悩ましいですね．

練習の解答

(1)

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$

として，これを与式と比較すると

$\begin{cases} \alpha=1 \\ -\alpha+\beta=-1 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=1，\beta=0$

つまり与式を $a_{n+1}+(n+1)=2(a_{n}+n)$ と変形できるので

$a_{n}+n=(a_{1}+1) \cdot 2^{n-1}=2^{n}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2^{n}-n}$

(2)

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=\dfrac{1}{2}(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}-\dfrac{1}{2}\alpha n-\alpha-\dfrac{1}{2}\beta$

として，これを与式と比較すると

$\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\alpha=1 \\ -\alpha-\dfrac{1}{2}\beta=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-2，\beta=4$

つまり与式を $a_{n+1}-2(n+1)+4=\dfrac{1}{2}(a_{n}-2n+4)$ と変形できるので

$a_{n}-2n+4=(a_{1}-2+4) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}+2n-4}$

(3) 注意：$f(n)$ が $2$ 次式なので，$g(n)$ も $2$ 次式にします↓

$a_{n+1}+\alpha(n+1)^{2}+\beta(n+1)+\gamma=2(a_{n}+\alpha n^{2}+\beta n+\gamma)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n^{2}+(-2\alpha+\beta)n-\alpha-\beta+\gamma$

として，これを与式と比較すると

$\begin{cases} \alpha=-1 \\ -\alpha+\beta=2 \\ -\alpha-\beta+\gamma=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-1，\beta=0，\gamma=-1$

つまり与式を $a_{n+1}-(n+1)^{2}-1=2(a_{n}-n^{2}-1)$ と変形できるので

$a_{n}-n^{2}-1=(a_{1}-1-1) \cdot 2^{n-1}=-2^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=-2^{n-1}+n^{2}+1}$