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2・7型( $n$ 次式スライド型)の漸化式

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

センター試験では2012年に誘導付きで出題されていますが,誘導なしで解けるようにしておくと強いです.





例題と解法まとめ

例題

2・7型( $n$ 次式スライド型) $a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=6$,$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$


講義

$f(n)$ は $n$ の多項式です.

今回は $a_{n}$ に $1$ 次式を足したもの(引いてもいい),つまり $\boldsymbol{a_{n}+\alpha n+\beta}$ が等比数列にならないか考えます.与式を

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$

とできれば,$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ とおくと

$b_{n+1}=2b_{n}$

となり,等比型の漸化式に帰着できます.

$\alpha$ と $\beta$ を出して,$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ の一般項を出せば,$a_{n}$ の一般項を出せます。


解答

 $a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$

これを与式と比較すると

  $\begin{cases} \alpha=4 \\ -\alpha+\beta=3 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=4,\beta=7$

つまり与式を $a_{n+1}+4(n+1)+7=2(a_{n}+4n+7)$ と変形できるので,$\left\{a_{n}+4n+7\right\}$ は初項 $a_{1}+4+7=17$,公比 $2$ の等比数列より

  $a_{n}+4n+7=17 \cdot 2^{n-1}$

  $\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=17 \cdot 2^{n-1}-4n-7}$



解法まとめ

$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$ の解法まとめ

$\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$ ($g(n)$ は $n$ 次式)として,変形して与式と係数比較して $g(n)$ を出す.

② $a_{n}+g(n)$ の一般項を出して,$\{a_{n}\}$ の一般項を出す.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=2a_{n}+n-1$

(2) $a_{1}=0$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+n$

(3) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+2n$

練習の解答



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