2-7型(関数スライド型)の漸化式
数列(入試の標準) ★★★
センター試験では2012年に誘導付きで出題されていますが，誘導なしで解けるようにしておくと強いです．
関数スライド型というネーミングは正式名称ではなく，当サイトの呼称です．
例題と解法まとめ
例題
2-7型(関数スライド型) $a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=6$，$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$
講義
$f(n)$ は $n$ の多項式です．
$a_{n}$ に $n$ の関数(今回は $n$ の1次式)を足したもの(引いてもいい)，つまり $a_{n}+\alpha n+\beta$ が等比数列にならないか考えます．与式を
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$
とできれば，$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ とおくと
$b_{n+1}=2b_{n}$
となり，等比型の漸化式に帰着できます．
$\alpha$ と $\beta$ を出して，$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ の一般項を出せば，$a_{n}$ の一般項を出せます。
解答
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$
として，これを与式と比較すると
$\begin{cases} \alpha=4 \\ -\alpha+\beta=3 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=4，\beta=7$
つまり与式を $a_{n+1}+4(n+1)+7=2(a_{n}+4n+7)$ と変形できるので，$\left\{a_{n}+4n+7\right\}$ は初項 $a_{1}+4+7=17$，公比 $2$ の等比数列より
$a_{n}+4n+7=17 \cdot 2^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=17 \cdot 2^{n-1}-4n-7}$
解法まとめ
$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$ の解法まとめ
① $\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$ ( $g(n)$ は $n$ の関数)として，変形して与式と係数比較して $g(n)$ を出す．
↓
② $a_{n}+g(n)$ の一般項を出して，$\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
数学の先生や意欲的な人向け
初手の変形の考察
$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$
↓
$\boldsymbol{a_{n+1}-g(n+1)=p(a_{n}-g(n))}$
と変形せよと指示している参考書が多いです．これは，$a_{n}$ の特殊解が $g(n)$ であることを意味しているという点で重要です．
例えば例題の
$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$
では一般解( $a_{1}$ を不問にした解)が $a_{n}=C\cdot 2^{n-1}-4n-7$ になります．ここで $C=0$ にしたもの，$a_{n}=-4n-7$ が特殊解になります．これこそが $g(n)$ です．
以上の点で重要なのですが，計算の都合上，$\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$の方が計算しやすい(特に $g(n)$ が2次式の場合)，生徒の計算ミスが起きにくいという点で，こちらにしました．
どちらで指導すべきか悩ましいですね．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=2a_{n}+n-1$
(2) $a_{1}=0$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+n$
(3) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+2n$
練習の解答
(1)
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$
として，これを与式と比較すると
$\begin{cases} \alpha=1 \\ -\alpha+\beta=-1 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=1，\beta=0$
つまり与式を $a_{n+1}+(n+1)=2(a_{n}+n)$ と変形できるので
$a_{n}+n=(a_{1}+1) \cdot 2^{n-1}=2^{n}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2^{n}-n}$
(2)
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=\dfrac{1}{2}(a_{n}+\alpha n+\beta)$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}-\dfrac{1}{2}\alpha n-\alpha-\dfrac{1}{2}\beta$
として，これを与式と比較すると
$\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\alpha=1 \\ -\alpha-\dfrac{1}{2}\beta=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-2，\beta=4$
つまり与式を $a_{n+1}-2(n+1)+4=\dfrac{1}{2}(a_{n}-2n+4)$ と変形できるので
$a_{n}-2n+4=(a_{1}-2+4)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}+2n-4}$
(3) $f(n)$ が $2$ 次式なので，$g(n)$ も $2$ 次式にします↓
$a_{n+1}+\alpha(n+1)^{2}+\beta(n+1)+\gamma=2(a_{n}+\alpha n^{2}+\beta n+\gamma)$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n^{2}+(-2\alpha+\beta)n-\alpha-\beta+\gamma$
として，これを与式と比較すると
$\begin{cases} \alpha=-1 \\ -2\alpha+\beta=2 \\ -\alpha-\beta+\gamma=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-1，\beta=0，\gamma=-1$
つまり与式を $a_{n+1}-(n+1)^{2}-1=2(a_{n}-n^{2}-1)$ と変形できるので
$a_{n}-n^{2}-1=(a_{1}-1-1)2^{n-1}=-2^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=-2^{n-1}+n^{2}+1}$