練習の解答

(1)

　$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$

として，これを与式と比較すると

　　$\begin{cases} \alpha=1 \\ -\alpha+\beta=-1 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=1，\beta=0$

つまり与式を $a_{n+1}+(n+1)=2(a_{n}+n)$ と変形できるので

　　$a_{n}+n=(a_{1}+1) \cdot 2^{n-1}=2^{n}$

　　$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2^{n}-n}$

(2)

　$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=\dfrac{1}{2}(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}-\dfrac{1}{2}\alpha n-\alpha-\dfrac{1}{2}\beta$

として，これを与式と比較すると

　　$\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\alpha=1 \\ -\alpha-\dfrac{1}{2}\beta=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-2，\beta=4$

つまり与式を $a_{n+1}-2(n+1)+4=\dfrac{1}{2}(a_{n}-2n+4)$ と変形できるので

　　$a_{n}-2n+4=(a_{1}-2+4) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$

　　$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}+2n-4}$

(3) 注意：$f(n)$ が $2$ 次式なので，$g(n)$ も $2$ 次式にします↓

$a_{n+1}+\alpha(n+1)^{2}+\beta(n+1)+\gamma=2(a_{n}+\alpha n^{2}+\beta n+\gamma)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n^{2}+(-2\alpha+\beta)n-\alpha-\beta+\gamma$

として，これを与式と比較すると

　　$\begin{cases} \alpha=-1 \\ -\alpha+\beta=2 \\ -\alpha-\beta+\gamma=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-1，\beta=0，\gamma=-1$

つまり与式を $a_{n+1}-(n+1)^{2}-1=2(a_{n}-n^{2}-1)$ と変形できるので

　　$a_{n}-n^{2}-1=(a_{1}-1-1) \cdot 2^{n-1}=-2^{n-1}$

　　$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=-2^{n-1}+n^{2}+1}$