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2-7型(関数スライド型)の漸化式

数列(入試の標準) ★★★

アイキャッチ

センター試験では2012年に誘導付きで出題されていますが,誘導なしで解けるようにしておくと強いです.

関数スライド型というネーミングは正式名称ではなく,当サイトの呼称です.

漸化式ガチャ

例題と解法まとめ

例題

2-7型(関数スライド型) $a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=6$,$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$


講義

$f(n)$ は $n$ の多項式です.

$a_{n}$ に $n$ の関数(今回は $n$ の1次式)を足したもの(引いてもいい),つまり $a_{n}+\alpha n+\beta$ が等比数列にならないか考えます.与式を

$\boldsymbol{a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)}$

とできれば,$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ とおくと

$b_{n+1}=2b_{n}$

となり,等比型の漸化式に帰着できます.

$\alpha$ と $\beta$ を出して,$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ の一般項を出せば,$a_{n}$ の一般項を出せます。


解答

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$

として,これを与式と比較すると

$\begin{cases} \alpha=4 \\ -\alpha+\beta=3 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=4,\beta=7$

つまり与式を $a_{n+1}+4(n+1)+7=2(a_{n}+4n+7)$ と変形できるので,$\left\{a_{n}+4n+7\right\}$ は初項 $a_{1}+4+7=17$,公比 $2$ の等比数列より

$a_{n}+4n+7=17 \cdot 2^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=17 \cdot 2^{n-1}-4n-7}$

解法まとめ

$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$ の解法まとめ

$\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$ ( $g(n)$ は $n$ の関数)として,変形して与式と係数比較して $g(n)$ を出す.

② $a_{n}+g(n)$ の一般項を出して,$\{a_{n}\}$ の一般項を出す.

数学の先生や意欲的な人向け

初手の変形の考察

$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

$\boldsymbol{a_{n+1}-g(n+1)=p(a_{n}-g(n))}$

と変形せよと指示している参考書が多いです.これは,$a_{n}$ の特殊解が $g(n)$ であることを意味しているという点で重要です.

例えば例題の

$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$

では一般解( $a_{1}$ を不問にした解)が $a_{n}=C\cdot 2^{n-1}-4n-7$ になります.ここで $C=0$ にしたもの,$a_{n}=-4n-7$ が特殊解になります.これこそが $g(n)$ です.

以上の点で重要なのですが,計算の都合上,$\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$の方が計算しやすい(特に $g(n)$ が2次式の場合),生徒の計算ミスが起きにくいという点で,こちらにしました.

どちらで指導すべきか悩ましいですね.

練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=2a_{n}+n-1$

(2) $a_{1}=0$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+n$

(3) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+2n$

練習の解答

(1)

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$

として,これを与式と比較すると

$\begin{cases} \alpha=1 \\ -\alpha+\beta=-1 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=1,\beta=0$

つまり与式を $a_{n+1}+(n+1)=2(a_{n}+n)$ と変形できるので

$a_{n}+n=(a_{1}+1) \cdot 2^{n-1}=2^{n}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2^{n}-n}$


(2)

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=\dfrac{1}{2}(a_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}-\dfrac{1}{2}\alpha n-\alpha-\dfrac{1}{2}\beta$

として,これを与式と比較すると

$\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\alpha=1 \\ -\alpha-\dfrac{1}{2}\beta=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-2,\beta=4$

つまり与式を $a_{n+1}-2(n+1)+4=\dfrac{1}{2}(a_{n}-2n+4)$ と変形できるので

$a_{n}-2n+4=(a_{1}-2+4)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}+2n-4}$


(3) $f(n)$ が $2$ 次式なので,$g(n)$ も $2$ 次式にします↓

$a_{n+1}+\alpha(n+1)^{2}+\beta(n+1)+\gamma=2(a_{n}+\alpha n^{2}+\beta n+\gamma)$

$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n^{2}+(-2\alpha+\beta)n-\alpha-\beta+\gamma$

として,これを与式と比較すると

$\begin{cases} \alpha=-1 \\ -2\alpha+\beta=2 \\ -\alpha-\beta+\gamma=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=-1,\beta=0,\gamma=-1$

つまり与式を $a_{n+1}-(n+1)^{2}-1=2(a_{n}-n^{2}-1)$ と変形できるので

$a_{n}-n^{2}-1=(a_{1}-1-1)2^{n-1}=-2^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=-2^{n-1}+n^{2}+1}$