2・7型(関数スライド型)の漸化式
タイプ:入試の標準 レベル:★★★

センター試験では2012年に誘導付きで出題されていますが,誘導なしで解けるようにしておくと強いです.
関数スライド型というネーミングは正式名称ではなく,当サイトの呼称です.
例題と解法まとめ
例題
2・7型(関数スライド型) $a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.
$a_{1}=6$,$a_{n+1}=2a_{n}+4n+3$
講義
$f(n)$ は $n$ の多項式です.
今回は $a_{n}$ に $n$ の1次式を足したもの(引いてもいい),つまり $\boldsymbol{a_{n}+\alpha n+\beta}$ が等比数列にならないか考えます.与式を
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$
とできれば,$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ とおくと
$b_{n+1}=2b_{n}$
となり,等比型の漸化式に帰着できます.
$\alpha$ と $\beta$ を出して,$b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta$ の一般項を出せば,$a_{n}$ の一般項を出せます。
解答
$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)$
$\Longleftrightarrow \ a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$
として,これを与式と比較すると
$\begin{cases} \alpha=4 \\ -\alpha+\beta=3 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=4,\beta=7$
つまり与式を $a_{n+1}+4(n+1)+7=2(a_{n}+4n+7)$ と変形できるので,$\left\{a_{n}+4n+7\right\}$ は初項 $a_{1}+4+7=17$,公比 $2$ の等比数列より
$a_{n}+4n+7=17 \cdot 2^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=17 \cdot 2^{n-1}-4n-7}$
解法まとめ
$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$ の解法まとめ
① $\boldsymbol{a_{n+1}+g(n+1)=p(a_{n}+g(n))}$ ( $g(n)$ は $n$ の関数)として,変形して与式と係数比較して $g(n)$ を出す.
↓
② $a_{n}+g(n)$ の一般項を出して,$\{a_{n}\}$ の一般項を出す.
数学の先生や意欲的な人向け
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.
(1) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=2a_{n}+n-1$
(2) $a_{1}=0$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+n$
(3) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+2n$
練習の解答