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2-8型(階比型)の漸化式

数列(難関大対策) ★★★★

アイキャッチ

難易度がやや高く,教えるのも難しいタイプです.

$f(n)$ を取り急ぎ階比数列と当サイトでは呼ぶことにします.

漸化式ガチャ

例題と解法まとめ

例題

2-8型(階比型) $a_{n+1}=f(n)a_{n}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=2$,$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_{n}$


講義

解法ですが,なんとか $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形します(ここが慣れが必要で難しい).

今回は両辺 $\boldsymbol{(n+1)(n+2)}$ で割ると

$\boldsymbol{\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}}$

となり,右辺の $n$ のナンバリングを1つ上げたものが左辺になります.

上で $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと

$b_{n+1}=b_{n}$

となるので,$b_{n}$,$a_{n}$ の順に一般項を出せます.


解答

両辺 $(n+1)(n+2)$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと

$b_{n+1}=b_{n}=b_{n-1}=\cdots=b_{1}=\dfrac{a_{1}}{1\cdot2}=1$

となるので

$a_{n}=n(n+1)b_{n}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=n(n+1)}$

解法まとめ

$a_{n+1}=f(n)a_{n}$ の解法まとめ

① なんとか $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形

$g(n+1)a_{n+1}=p \cdot g(n)a_{n}$

② $b_{n}=g(n)a_{n}$ とおいて,$\{b_{n}\}$ の一般項を出す.

③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.

※ 他にも,総乗記号 $\prod$ を用いて,階差型と同じ考えで解く方法もありますが,総乗記号が高校範囲でないのでこちらはiOS版漸化式ガチャに項目を設けて解説しています.

練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=2$,$na_{n+1}=\dfrac{1}{3}(n+1)a_{n}$

(2) $a_{1}=\dfrac{7}{2}$,$(n+2)a_{n+1}=7na_{n}$

(3) $a_{1}=1$,$a_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)a_{n-1}$ $(n\geqq 2)$

練習の解答

(1)

両辺 $n(n+1)$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a_{n}}{n}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n}$ とおくと

$b_{n+1}=\dfrac{1}{3}b_{n}$

となるので

$b_{n}=b_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{a_{1}}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2n\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}$


(2)

両辺 $n+1$ をかけると

$(n+2)(n+1)a_{n+1}=7(n+1)na_{n}$

ここで $b_{n}=(n+1)na_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=7b_{n}$

となるので

$b_{n}=b_{1}\cdot7^{n-1}=2\cdot1\cdot a_{1}\cdot7^{n-1}=7^{n}$

$a_{n}=\dfrac{b_{n}}{n(n+1)}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{7^n}{n(n+1)}}$


(3) 出典:2018帝京大医

$a_{n}=\dfrac{(n+1)(n-1)}{n^{2}}a_{n-1}$

両辺 $\dfrac{n}{n+1}$ をかけると

$\dfrac{n}{n+1}a_{n}=\dfrac{n-1}{n}a_{n-1}$

ここで $b_{n}=\dfrac{n}{n+1}a_{n}$ とおくと

$b_{n}=b_{n-1}=\cdots=b_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}=\dfrac{1}{2}$

となるので

$a_{n}=\dfrac{(n+1)b_{n}}{n}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{n+1}{2n}}$