2・8型(階比型)の漸化式

タイプ：難関大対策　レベル：★★★★　

難易度がやや高く，教えるのも難しいタイプです．

$f(n)$ を取り急ぎ階比数列と当サイトでは呼ぶことにします．

例題と解法まとめ

2・8型(階比型)　$a_{n+1}=f(n)a_{n}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

$a_{1}=2$，$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_{n}$

講義

解法ですがなんとか，$\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形します(ここが慣れが必要で難しい)．

今回は両辺 $(n+1)(n+2)$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$

となり，右辺の $\boldsymbol{n}$ のナンバリングを1つ上げたものが左辺になります．

上で $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと

$b_{n+1}=b_{n}$

となるので，$b_{n}$，$a_{n}$ の順に一般項を出せます．

解答

両辺 $(n+1)(n+2)$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと

$b_{n+1}=b_{n}=b_{n-1}=\cdots=b_{1}=\dfrac{a_{1}}{1\cdot2}=1$

となるので

$a_{n}=n(n+1)b_{n}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=n(n+1)}$

$a_{n+1}=f(n)a_{n}$ の解法まとめ

① なんとか $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形します

$g(n+1)a_{n+1}=p \cdot g(n)a_{n}$

↓

② $b_{n}=g(n)a_{n}$ とおいて，$\{b_{n}\}$ の一般項を出す．

↓

③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

(1) $a_{1}=2$，$na_{n+1}=\dfrac{1}{3}(n+1)a_{n}$

(2) $a_{1}=\dfrac{7}{2}$，$(n+2)a_{n+1}=7na_{n}$

(3) $a_{1}=1$，$a_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)a_{n-1}$　$(n\geqq 2)$

練習の解答