2-8型(階比型)の漸化式
数列(難関大対策) ★★★★
難易度がやや高く，教えるのも難しいタイプです．
$f(n)$ を取り急ぎ階比数列と当サイトでは呼ぶことにします．
例題と解法まとめ
例題
2-8型(階比型) $a_{n+1}=f(n)a_{n}$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=2$，$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_{n}$
講義
解法ですが，なんとか $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形します(ここが慣れが必要で難しい)．
今回は両辺 $\boldsymbol{(n+1)(n+2)}$ で割ると
$\boldsymbol{\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}}$
となり，右辺の $n$ のナンバリングを1つ上げたものが左辺になります．
上で $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと
$b_{n+1}=b_{n}$
となるので，$b_{n}$，$a_{n}$ の順に一般項を出せます．
解答
両辺 $(n+1)(n+2)$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$
ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと
$b_{n+1}=b_{n}=b_{n-1}=\cdots=b_{1}=\dfrac{a_{1}}{1\cdot2}=1$
となるので
$a_{n}=n(n+1)b_{n}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=n(n+1)}$
解法まとめ
$a_{n+1}=f(n)a_{n}$ の解法まとめ
① なんとか $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形
$g(n+1)a_{n+1}=p \cdot g(n)a_{n}$
↓
② $b_{n}=g(n)a_{n}$ とおいて，$\{b_{n}\}$ の一般項を出す．
↓
③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
※ 他にも，総乗記号 $\prod$ を用いて，階差型と同じ考えで解く方法もありますが，総乗記号が高校範囲でないのでこちらはiOS版漸化式ガチャに項目を設けて解説しています．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=2$，$na_{n+1}=\dfrac{1}{3}(n+1)a_{n}$
(2) $a_{1}=\dfrac{7}{2}$，$(n+2)a_{n+1}=7na_{n}$
(3) $a_{1}=1$，$a_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)a_{n-1}$ $(n\geqq 2)$
練習の解答
(1)
両辺 $n(n+1)$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a_{n}}{n}$
ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n}$ とおくと
$b_{n+1}=\dfrac{1}{3}b_{n}$
となるので
$b_{n}=b_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{a_{1}}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2n\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}$
(2)
両辺 $n+1$ をかけると
$(n+2)(n+1)a_{n+1}=7(n+1)na_{n}$
ここで $b_{n}=(n+1)na_{n}$ とおくと
$b_{n+1}=7b_{n}$
となるので
$b_{n}=b_{1}\cdot7^{n-1}=2\cdot1\cdot a_{1}\cdot7^{n-1}=7^{n}$
$a_{n}=\dfrac{b_{n}}{n(n+1)}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{7^n}{n(n+1)}}$
(3) 出典：2018帝京大医
$a_{n}=\dfrac{(n+1)(n-1)}{n^{2}}a_{n-1}$
両辺 $\dfrac{n}{n+1}$ をかけると
$\dfrac{n}{n+1}a_{n}=\dfrac{n-1}{n}a_{n-1}$
ここで $b_{n}=\dfrac{n}{n+1}a_{n}$ とおくと
$b_{n}=b_{n-1}=\cdots=b_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}=\dfrac{1}{2}$
となるので
$a_{n}=\dfrac{(n+1)b_{n}}{n}$
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=\dfrac{n+1}{2n}}$