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2・9型(対数型)の漸化式

タイプ:難関大対策 レベル:★★★★ 


アイキャッチ

$a_{n+1}$ と $a_{n}$ の次数が違うパターンです.







例題と解法まとめ

例題

2・9型(対数型) $a_{n+1}=pa_{n}^{q}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=2$,$a_{n+1}=16a_{n}^{5}$


講義

両辺の対数をとれば解決します.

ちなみに対数の底はどんな数字でも大丈夫ですが,$p$ や $a_{1}$ を底にすると楽です.


解答

両辺 $2$ を底とする対数をとると

$\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}16a_{n}^{5}=5\log_{2}a_{n}+4$

ここで $b_{n}=\log_{2}a_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=5b_{n}+4$,$b_{1}=\log_{2}a_{1}=1$

となり,(2・4型(特性方程式型)の漸化式に帰着)

$b_{n+1}+1=5(b_{n}+1)$

とすると

$b_{n}+1=(b_{1}+1)5^{n-1}=2\cdot 5^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=2\cdot 5^{n-1}-1$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2^{b_{n}}=2^{2\cdot 5^{n-1}-1}}$



解法まとめ

$a_{n+1}=pa_{n}^{q}$ の解法まとめ

① 両辺 $p$ や $a_{1}$ を底にする対数をとる.

② $\{a_{n}\}$ の対数をとったものを $b_{n}$ とおいて,$\{b_{n}\}$ の一般項を出す.

③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=a_{n}^{2}$

(2) $a_{1}=10$,$a_{n+1}=\sqrt{\sqrt{10a_{n}}}$

(3) $a_{1}=9$,$a_{n+1}=3^{n}a_{n}^{2}$

練習の解答



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