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2・9型(対数型)の漸化式

数列(難関大対策) ★★★★


アイキャッチ

$a_{n+1}$ と $a_{n}$ の次数が違うパターンです.



例題と解法まとめ

例題

2・9型(対数型) $a_{n+1}=pa_{n}^{q}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=2$,$a_{n+1}=16a_{n}^{5}$


講義

両辺の対数をとれば次数の違いが解消し,解決します.

ちなみに対数の底はどんな数字でも大丈夫ですが,$p$ や $a_{1}$ を底にすると楽です.

対数をとる前に,真数条件をクリアすることを断っておきます.


解答

$a_{1}$ および漸化式の形から $a_{n}>0$.両辺 $2$ を底とする対数をとると

$\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}16a_{n}^{5}=5\log_{2}a_{n}+4$

ここで $b_{n}=\log_{2}a_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=5b_{n}+4$,$b_{1}=\log_{2}a_{1}=1$

となり,(2・4型(特性方程式型)の漸化式に帰着)

$b_{n+1}+1=5(b_{n}+1)$

とすると

$b_{n}+1=(b_{1}+1)5^{n-1}=2\cdot 5^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=2\cdot 5^{n-1}-1$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=2^{b_{n}}\boldsymbol{=2^{2\cdot 5^{n-1}-1}}$

解法まとめ

$a_{n+1}=pa_{n}^{q}$ の解法まとめ

① 両辺 $p$ や $a_{1}$ を底にする対数をとる.

② $\{a_{n}\}$ の対数をとったものを $b_{n}$ とおいて,$\{b_{n}\}$ の一般項を出す.

③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.

練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=a_{n}^{2}$

(2) $a_{1}=10$,$a_{n+1}=\sqrt{\sqrt{10a_{n}}}$

(3) $a_{1}=9$,$a_{n+1}=3^{n}a_{n}^{2}$

練習の解答

(1)

$a_{1}$ および漸化式の形から $a_{n}>0$.両辺 $2$ を底とする対数をとると

$\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}a_{n}^{2}=2\log_{2}a_{n}$

ここで $b_{n}=\log_{2}a_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=2b_{n}$,$b_{1}=\log_{2}a_{1}=1$

となるので

$b_{n}=2^{n-1}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=2^{b_{n}}\boldsymbol{=2^{2^{n-1}}}$


(2)

$a_{1}$ および漸化式の形から $a_{n}>0$.両辺 $10$ を底とする対数をとると

$\hspace{10mm} \log_{10}a_{n+1}=\log_{10}\sqrt{\sqrt{10a_{n}}}$

$\hspace{29mm} =\log_{10}(10^{\frac{1}{4}}\cdot a_{n}^{\frac{1}{4}})$

$\hspace{29mm} =\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\log_{10}a_{n}$

ここで $b_{n}=\log_{10}a_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=\dfrac{1}{4}b_{n}+\dfrac{1}{4}$,$b_{1}=\log_{10}a_{1}=1$

となるので

$b_{n+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}\left(b_{n}-\dfrac{1}{3}\right)$

とすると

$b_{n}-\dfrac{1}{3}=\left(b_{1}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{3}$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=10^{b_{n}}\boldsymbol{=10^{\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}}}$


(3)

$a_{1}$ および漸化式の形から $a_{n}>0$.両辺 $3$ を底とする対数をとると

$\log_{3}a_{n+1}=\log_{3}3^{n}a_{n}^{2}=2\log_{3}a_{n}+n$

ここで $b_{n}=\log_{3}a_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=2b_{n}+n$,$b_{1}=\log_{3}a_{1}=2$

となるので(2・7型(関数スライド型)です)

$b_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(b_{n}+\alpha n+\beta)$

$\Longleftrightarrow \ b_{n+1}=2b_{n}+\alpha n-\alpha+\beta$

とすると

$\begin{cases} \alpha=1 \\ -\alpha+\beta=0 \end{cases} \ \ \therefore \alpha=1,\beta=1$

つまり $b_{n+1}+(n+1)+1=2(b_{n}+n+1)$ と変形できるので

$b_{n}+n+1=(b_{1}+1+1)2^{n-1}=4\cdot 2^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=2^{n+1}-n-1$

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}}=3^{b_{n}}\boldsymbol{=3^{2^{n+1}-n-1}}$