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合同式習得ページ

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

このページだけで,受験に必要な合同式が使いこなせるようになるための一通りの内容を書きました.

合同式が初めての人向けで,理屈よりも,わかりやすさ,使いこなせるかが優先です.







合同式とは

ポイント

合同式

$a$,$b$ を整数,$m$を自然数とする.

$a$ を $m$ で割ったときの余りが $b$ のとき,( $a$ や $b$ は $m$ より大きくても小さくてもいいし,負の数でも構わない.)

$\boldsymbol{a \equiv b \ (\hspace{-2mm}\mod m)}$

と表す.$a$ 合同 $b$ モッド $m$,$m$ を法として $a$ と $b$ は合同,と言ったりします.



$100$ を $7$ で割ると $14$ 余り $2$ なので

$100\equiv 2$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )

となります.簡単ですよね.しかし,$100$ を $7$ で割ると $13$ 余り $9$ と書けなくもないですよね?つまり

$100\equiv 9$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )

と書いても正しいです.合同式としては余りが割る数より大きくてもかまいません.なんなら $100$ を $7$ で割ると $15$ 余り $-5$ とも書けるので

$100\equiv -5$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )

でもOKです.つまり合同式として正しい式は無限に書けます.



$-13$ を $17$ で割ると $-1$ 余り $4$ なので

$-13\equiv 4$ $(\hspace{-2mm}\mod 17$ )

と書けます.$a$ や商がマイナスでも構いません.




合同式の性質

ポイント

合同式の性質

$a \equiv b$ $(\hspace{-2mm}\mod m$ ),$c \equiv d$ $(\hspace{-2mm}\mod m$ )のとき以下のように加減乗が成り立つ.

加法 $a+c \equiv b+d$ $(\hspace{-2mm}\mod m$ )
減法 $a-c \equiv b-d$ $(\hspace{-2mm}\mod m$ )
乗法 $ac \equiv bd$ $(\hspace{-2mm}\mod m$ )
累乗 $a^{n} \equiv b^{n}$ $(\hspace{-2mm}\mod m$ )

$n$ は自然数です.累乗は乗法から言えますね.割り算だけはできないので注意です.


証明は教科書や参考書に譲るとして,合同式同士の足し算,引き算,かけ算は等式と同じように自由にできます.何はともあれ例題をやってみましょう.累乗の公式をよく使うと思います.




例題と練習問題

例題

例題

(1) $50^{5}$ を $7$ で割った余りを求めよ.

(2) $7^{50}$ を $25$ で割った余りを求めよ.

(3) $2^{80}$ を $7$ で割った余りを求めよ.

(4) $n$ を $7$ で割った余りが $3$ のとき,$n^{3}+2n+1$ を $7$ で割った余りを求めよ.


解答

(1) $50\equiv1$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )より,両辺5乗すると

$50^{5}\equiv1^{5}\equiv1$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )

よって余り $\boldsymbol{1}$


(2) $7^{50}=49^{25}\equiv(-1)^{25}\equiv-1\equiv24$ $(\hspace{-2mm}\mod 25$ )

よって余り $\boldsymbol{24}$

(余りが $1$ か $-1$ になるように累乗を探すといいですね)


(3) $2^{80}=2^{3\cdot26+2}=4\cdot8^{26}\equiv4\cdot1^{26}\equiv4$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )

よって余り $\boldsymbol{4}$

($8\equiv1$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )なんで,合同式としては $8$ と $1$ は同じだくらいの感覚でOKです.)


(4) $n\equiv3$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )より

$n^{3}+2n+1\equiv 3^{3}+2\cdot3+1\equiv34\equiv6$ $(\hspace{-2mm}\mod 7$ )

よって余り $\boldsymbol{6}$

( $n$ と $3$ が合同です.普通の等式の変形と同じように代入していき,最後は答えとして適切な余りを選びます.$n=7k+3$ などと代入して展開して解くと大変ですね.)


以上のように,合同式を用いると筆記が楽になり,計算もミスなく速く解けることが多いです.慣れるためにはたくさん問題を解くことが必要で,以下に練習問題を少し多めに用意しました.



練習問題

練習

(1) $3^{100}$ を $8$ で割った余りを求めよ.

(2) $2^{300}$ を $9$ で割った余りを求めよ.

(3) $2^{111}$ を $15$ で割った余りを求めよ.

(4) $17^{111}$ の一の位の数を求めよ.

(5) $n$ を $5$ で割った余りが $4$ のとき,$n^{3}-3n^{2}+3n-1$ を $5$ で割った余りを求めよ.

(6) $n$ を $2$ 以上の自然数とするとき,$n^{5}-n$ が $30$ の倍数になることを示せ.

練習の解答



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