多項定理
式と証明(入試の標準) ★★★
二項定理の一般化である多項定理を，証明も含めて解説します．
検定教科書では $(a+b+c)^n$ のみ発展として扱われていますが，難関大学受験者はほぼ必須です．
多項定理とその証明
例として $(a+b+c)^{3}$ の展開式を考えます．
展開公式を使わずに，積の順序変更もせずに以下のように展開してみます．
$(a+b+c)^3$
$=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$
$=(aa+ab+ac+ba+bb+bc+ca+cb+cc)$$(a+b+c)$
$=aaa+aab+aac+aba+abb+abc$
$+aca+acb+acc+baa+bab+bac$
$+bba+bbb+bbc+bca+bcb+bcc$
$+caa+cab+cac+cba+cbb+cbc$
$+cca+ccb+ccc$
上の式で，例えば $a^{2}b$ では
$aab$，$aba$，$baa$
の3つありますが，これは $a$ が $2$ 個，$b$ が $1$ 個の同じものを含む順列より
$\dfrac{3!}{2!1!}$
だけあります．また $abc$ では
$abc$，$acb$，$bac$，$bca$，$cab$，$cba$
の6つありますが，これは $a$ が $1$ 個，$b$ が $1$ 個，$c$ が $1$ 個の順列より
$3!=\dfrac{3!}{1!1!1!}$
だけあります．同様に考えると $(a+b+c)^{3}$ の一般項は以下のように書けるはずです．
$\dfrac{3!}{k!l!(3-k-l)!}a^{k}b^{l}c^{3-k-l}$
下で一般化します．
多項定理
$\boldsymbol{(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m})^{n}}$ の一般項は
$\boldsymbol{\dfrac{n!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{m}!}x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{m}^{p_{m}}}$ $\boldsymbol{(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m}=n)}$
特殊な和の形で表すと
$\displaystyle \boldsymbol{(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m})^{n}=\sum_{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m}=n} \dfrac{n!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{m}!}x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{m}^{p_{m}}}$
※ 和は $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m}=n$ を満たすすべての非負整数の組み合わせの和を表す．
※ 係数 $\dfrac{n!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{m}!}$ を多項係数といいます．
証明
自然数 $m$ に関する数学的帰納法で証明します．二項定理が成り立つことは前提とします．
(ⅰ) $m=1$ のとき
$x_{1}^{n}=\dfrac{n!}{n!}x_{1}^{n}$
より成立．
(ⅱ) $m=l$ のとき成り立つとする．
$m=l+1$ のとき
$\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{l}+x_{l+1})^{n}$
$\displaystyle =\{(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{l})+x_{l+1}\}^{n}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.3mm}{\rm C}_{k}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{l})^{k}x_{l+1}^{n-k}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.3mm}{\rm C}_{k}\left(\sum_{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{l}=k} \dfrac{k!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{l}!}x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{l}^{p_{l}}\right)x_{l+1}^{n-k}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n} \sum_{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{l}=k} \hspace{0mm} \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \dfrac{k!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{l}!}x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{l}^{p_{l}}x_{l+1}^{n-k}$
$\displaystyle =\sum_{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{l}+p_{l+1}=n} \hspace{0mm} \dfrac{n!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{l}!p_{l+1}!}x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{l}^{p_{l}}x_{l+1}^{p_{l+1}}$ $(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{l}+p_{l+1}=n)$
よってこのときも成立．
(ⅰ)(ⅱ)より，すべての自然数 $m$ において成立．
例題と練習問題
例題
例題
$(x+2y-3z)^6$ の $x^{2}yz^{3}$ の項の係数を求めよ．
講義
多項定理の公式を適用するだけです．
解答
$x^{2}yz^{3}$ の項は
$\dfrac{6!}{2!1!3!}x^{2}(2y)(-3z)^{3}=-3240x^{2}yz^{3}$
$\therefore \ \boldsymbol{-3240}$
※ $\{(x+2y)-3z\}^6$ として二項定理を2回適用する方法もあります．
練習問題
練習
(1) $\left(a+b-2c\right)^3$ の展開式を求めよ．
(2) $(x^{2}+2x-1)^{20}$ を展開したとき，$x^{3}$ の係数を求めよ．
練習の解答
(1)
$\left(a+b-2c\right)^3$
$=a^{3}+b^{3}+(-2c)^{3} \\ +\dfrac{3!}{2!1!}\{a^{2}b+a^{2}(-2c)+b^{2}a+b^{2}(-2c)+(-2c)^{2}a+(-2c)^{2}b\} \\ +\dfrac{3!}{1!1!1!}ab(-2c)$
$=\boldsymbol{a^{3}+b^{3}-8c^{3} \\ +3a^{2}b-6a^{2}c+3b^{2}a-6b^{2}c+12c^{2}a+12c^{2}b \\ -12abc}$
(2)
$(x^{2}+2x-1)^{20}$ の一般項は
$\dfrac{20!}{k!l!(20-k-l)!}(x^2)^{k}(2x)^{l}(-1)^{20-k-l}$
$=\dfrac{20!}{k!l!(20-k-l)!}2^{l}(-1)^{20-k-l}x^{2k+l}$
$2k+l=3$ となるのは $k=1$，$l=1$ または $k=0$，$l=3$ のときなので，求める係数は
$\dfrac{20!}{1!1!18!}2^{1}(-1)^{18}+\dfrac{20!}{0!3!17!}2^{3}(-1)^{17}$
$=760-9120=\boldsymbol{-8360}$