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組合せ

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

組合せの記号 $_{n}{\rm C}_{r}$ の導入といくつかの性質を紹介します.

組合せを使う典型問題も扱います.



組合せ

例として $\rm A$,$\rm B$,$\rm C$,$\rm D$,$\rm E$ の $5$ 人から $3$ 人選ぶ場合を考える.

選び方が $x$ 通りあるとする.例えば $\rm A$,$\rm B$,$\rm D$ が選ばれたとし,それを $1$ 列に並べると順列になり,その並べ方は $3!$ 通り.他の $x$ 通りの選び方に対しても $3!$ 通りあり,その合計は $_{5}{\rm P}_{3}$ 通りになるので

$x\times 3!=$ $_{5}{\rm P}_{3}$

となる.つまり

$x=$ $\dfrac{_{5}{\rm P}_{3}}{3!}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10$ (通り)

である.これを一般化して,次のような組合せの記号を定義する.

ポイント

組合せ

異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は

$\displaystyle \color{red}{ \boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r}=\dfrac{_{n}{\rm P}_{r}}{r!}}}$

$\displaystyle \color{red}{   \boldsymbol{=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots\{n-(r-1)\}}{r!}}}$

である.

特に,$\color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{1}=n}}$ ,$\color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{n}=1}}$ である.


分子,分母ともに $r$ 個ずつ整数をかけ算出します.

階乗での表記

組合せの階乗での表記

異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は

$\displaystyle \color{red}{ \boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}}}$

である.


今後数学の様々な場面で使用する重要公式です.


証明

 $_{n}{\rm C}_{r}$

$=\dfrac{n(n-1)\cdots\{n-(r-1)\}}{r!}$

$=\dfrac{n(n-1)\cdots\{n-(r-1)\}}{r!}\cdot\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}$

$=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

ここで $r=0$ とすると,$0!=1$ と約束したことにより $\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{0}=1}$ となる.

組合せの性質

$_{n}{\rm C}_{r}$ には $2$ つの知られた公式があり,特に組合せの性質①は今後多用する公式です.

ポイント

組合せの性質①

異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は,$n-r$ 個残す場合の総数と同じなので

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r} \hspace{0.5mm}= \hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{n-r}}}$


証明

 $_{n}{\rm C}_{r}$

$=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

$=\dfrac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}$

$=\dfrac{n!}{(n-r)!\{n-(n-r)\}!}$

$=\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{n-r}$


一方でもう $1$ つの公式は登場機会がかなり少ないです.

ポイント

組合せの性質②

異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は,ある $\rm A$ をとり,残りの $n-1$ 個から $r-1$ 個選ぶ場合と,$\rm A$ をとらず,残りの $n-1$ 個から $r$ 個選ぶ場合の数の和なので,

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r} \hspace{0.5mm}= \hspace{0mm} _{n-1}{\rm C}_{r-1}+ \hspace{0.3mm} _{n-1}{\rm C}_{r}}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{(1\leqq r\leqq n-1,n\geqq 2)}}$


例えば $2020$ 年に東京医科歯科大でこれを知っていると有利な問題が出題されましたが,入試では知らなくてもそこまで大きな問題にならないと思います.

証明は下に格納しました.

証明

例題と練習問題

例題

例題

次の場合の数は何通りか.

(1) 将棋部 $6$ 人から $2$ 人を選ぶ総数.

(2) サッカー部 $14$ 人から $11$ 人を選ぶ総数.

(3) 男子 $9$ 人,女子 $3$ 人から $4$ 人を選ぶとき次は何通りか.

(ⅰ) 男子 $3$ 人と女子 $1$ 人を選ぶ.

(ⅱ) 女子が少なくとも $1$ 人含まれるように選ぶ.


講義

組合せの $\rm C$ を使っていきます.(2)は組合せの性質①を使って楽します.

(3)の(ⅱ)では全体から余事象(全員男子)を引いて計算します.


解答

(1)

 $_{6}{\rm C}_{2}=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}=\boldsymbol{15(通り)}$


(2)

 $_{14}{\rm C}_{11}=\hspace{-0.5mm} _{14}{\rm C}_{3}=\dfrac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}=\boldsymbol{364(通り)}$


(3)

(ⅰ)

 $_{9}{\rm C}_{3}\cdot \hspace{-0.5mm} _{3}{\rm C}_{1}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}\cdot3=84\cdot3=\boldsymbol{252(通り)}$


(ⅱ)

全体から,全員男子を引くと

 $_{12}{\rm C}_{4}-\hspace{-0.5mm} _{9}{\rm C}_{4}$

$=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}-\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$

$=495-126=\boldsymbol{369(通り)}$

※ 直接出して求めると男子 $3$ 人女子 $1$ 人,男子 $2$ 人女子 $2$ 人,男子 $1$ 人女子 $3$ 人で場合分けしてすべて足すので計算が大変です.

練習問題

練習

男子 $4$ 人,女子 $5$ 人から $4$ 人を選ぶとき次は何通りか.

(1) 男子 $2$ 人と女子 $2$ 人を選ぶ.

(2) 男子,女子が少なくとも $1$ 人含まれるように選ぶ.

練習の解答