組合せ
場合の数(教科書範囲) ★★
組合せの記号 $_{n}{\rm C}_{r}$ の導入をし，各種性質を扱います．
組合せ
例として $\rm A$，$\rm B$，$\rm C$，$\rm D$，$\rm E$ の $5$ 人から $3$ 人選ぶ場合を考えます．
選び方が $x$ 通りあるとします．例えば $\rm A$，$\rm B$，$\rm D$ が選ばれたとし，それを $1$ 列に並べると順列になり，その並べ方は $3!$ 通り．他の $x$ 通りの選び方に対しても $3!$ 通りあり，その合計は $_{5}{\rm P}_{3}$ 通りになるので
$x\times 3!=$ $_{5}{\rm P}_{3}$
となります．つまり
$x=$ $\dfrac{_{5}{\rm P}_{3}}{3!}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10$ (通り)
です．これを一般化して，次のような組合せの記号を定義します．
組合せ
異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は
$\displaystyle \color{red}{ \boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r}=\dfrac{_{n}{\rm P}_{r}}{r!}}}$
$\displaystyle \color{red}{ \boldsymbol{=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots\{n-(r-1)\}}{r!}}}$
特に，$\color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{1}=n}}$ ，$\color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{n}=1}}$
以下の階乗での表記も重要です．
階乗での表記
組合せの階乗での表記
異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は
$\displaystyle \color{red}{ \boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}}}$
証明
$_{n}{\rm C}_{r}$
$=\dfrac{n(n-1)\cdots\{n-(r-1)\}}{r!}$
$=\dfrac{n(n-1)\cdots\{n-(r-1)\}}{r!}\cdot\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}$
$=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
今後数学の様々な場面で使用する重要公式です．
最初 $_{n}{\rm C}_{r}$ の $r$ の定義域は $1\leqq r \leqq n$ という想定でしたが，ここで $r=0$ とすると，$0!=1$ と約束したことにより $\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{0}=1}$ となります．こうすれば $_{n}{\rm C}_{r}$ の $r$ の定義域は $0\leqq r \leqq n$ とできます．
組合せの性質
$_{n}{\rm C}_{r}$ には $2$ つの知られた公式があり，特に組合せの性質①は今後多用する公式です．
組合せの性質①
異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は，$n-r$ 個残す場合の総数と同じなので
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r} \hspace{0.5mm}= \hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{n-r}}}$
証明
$_{n}{\rm C}_{r}$
$=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
$=\dfrac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}$
$=\dfrac{n!}{(n-r)!\{n-(n-r)\}!}$
$=\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{n-r}$
一方でもう $1$ つの公式は登場機会がかなり少ないです．
組合せの性質②
異なる $n$ 個から $r$ 個とる組合せの総数は，ある $\rm A$ をとり，残りの $n-1$ 個から $r-1$ 個選ぶ場合と，$\rm A$ をとらず，残りの $n-1$ 個から $r$ 個選ぶ場合の数の和なので，
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm C}_{r} \hspace{0.5mm}= \hspace{0mm} _{n-1}{\rm C}_{r-1}+ \hspace{0.3mm} _{n-1}{\rm C}_{r}}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{(1\leqq r\leqq n-1，n\geqq 2)}}$
証明
上にある言葉で説明してもいいですが，右辺スタートの式変形でも示せます．
$ \hspace{0mm} _{n-1}{\rm C}_{r-1}+ \hspace{0.3mm} _{n-1}{\rm C}_{r}$
$= \hspace{0mm} \dfrac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}+\dfrac{(n-1)!}{r!\{(n-1)-r\}!}$
$= \hspace{0mm} \dfrac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\dfrac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}$
$= \hspace{0mm} \dfrac{(n-1)!}{r!(n-r)!}\{r+(n-r)\}$
$= \hspace{0mm} \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
稀に入試で出題されますが，知らなくてもそこまで大きな問題にならないと思います．
例題と練習問題
例題
例題
次の場合の数は何通りか．
(1) 将棋部 $6$ 人から $2$ 人を選ぶ総数．
(2) サッカー部 $14$ 人から $11$ 人を選ぶ総数．
(3) 男子 $9$ 人，女子 $3$ 人から $4$ 人を選ぶとき次は何通りか．
(ⅰ) 男子 $3$ 人と女子 $1$ 人を選ぶ．
(ⅱ) 女子が少なくとも $1$ 人含まれるように選ぶ．
講義
組合せの $\rm C$ を使っていきます．(2)は組合せの性質①を使って楽します．
(3)の(ⅱ)では全体から余事象(全員男子)を引いて計算します．
解答
(1)
$_{6}{\rm C}_{2}=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}=\boldsymbol{15(通り)}$
(2)
$_{14}{\rm C}_{11}=\hspace{-0.5mm} _{14}{\rm C}_{3}=\dfrac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}=\boldsymbol{364(通り)}$
(3)
(ⅰ)
$_{9}{\rm C}_{3}\cdot \hspace{-0.5mm} _{3}{\rm C}_{1}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}\cdot3=84\cdot3=\boldsymbol{252(通り)}$
(ⅱ)
全体から，全員男子を引くと
$_{12}{\rm C}_{4}-\hspace{-0.5mm} _{9}{\rm C}_{4}$
$=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}-\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$
$=495-126=\boldsymbol{369(通り)}$
※ 直接出して求めると男子 $3$ 人女子 $1$ 人，男子 $2$ 人女子 $2$ 人，男子 $1$ 人女子 $3$ 人で場合分けしてすべて足すので計算が大変です．
練習問題
練習
男子 $4$ 人，女子 $5$ 人から $4$ 人を選ぶとき次は何通りか．
(1) 男子 $2$ 人と女子 $2$ 人を選ぶ．
(2) 男子，女子が少なくとも $1$ 人含まれるように選ぶ．
解答
(1)
$_{4}{\rm C}_{2}\cdot \hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}\cdot\dfrac{5\cdot4}{2\cdot 1}=6\cdot 10=\boldsymbol{60(通り)}$
(2)
全体から，全員男子である場合と全員女子である場合を引くと
$_{9}{\rm C}_{4}-\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{4}-\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{4}$
$=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}-1-\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{1}$
$=126-1-5=\boldsymbol{120(通り)}$