順列

場合の数(教科書範囲)　★★

階乗と順列 $_{n}{\rm P}_{r}$ を扱います．

階乗

例

$3!=3\times 2\times 1=6$

$4!=4\times3\times 2\times 1=24$

$(n+1)!-n!=(n+1)\cdot n!-n!=n\cdot n!$

順列と $0$ の階乗

いくつかのものを一列に並べたものを順列といいます．

例として $4$ 人から $2$ 人選んで $1$ 列に並べる場合を考えます．

最初は $4$ 通りあり，その選び方それぞれに対して残りの $3$ 通り選び方があります．これは積の法則なので，$4\times 3=12$ 通り．

これを一般化して，次のような順列の記号を定義します．

$_{n}{\rm P}_{r}$ は $n$ から数字を下げていって $r$ 個整数をかけることで算出できます．

次では $r$ の定義域を $0\leqq r \leqq n$ に拡張するために以下の約束をします．

$0!=1$ と $_{n}{\rm P}_{0}=1$ と定義する理由

順列の階乗表現で仮に $r=n$ とすると

$_{n}{\rm P}_{n}=\dfrac{n!}{0!}=n!$

となるので，$0!=1$ とすると $r=n$ にも適用できます．そのため $\color{red}{\boldsymbol{0!=1}}$ と定義します．

仮に $r=0$ とすると

$_{n}{\rm P}_{0}=\dfrac{n!}{n!}=1$

となるので，$_{n}{\rm P}_{0}=1$ とすると $r=0$ にも適用できます．そのため $\color{red}{\boldsymbol{_{n}{\rm P}_{0}=1}}$ と定義します．こうすれば

$_{n}{\rm P}_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ $(0\leqq r \leqq n)$

と表せ，$\boldsymbol{r}$ の定義域を $\boldsymbol{0\leqq r \leqq n}$ に拡張できます．

例題と練習問題

例題

講義

(1)(2)階乗や順列の記号を使う練習です．

(3)隣接する順列はひとかたまりにする．隣接しないものは後から間や両端に入れるようにして考えます．

解答

(1)

　$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=\boldsymbol{24(通り)}$

(2)

　$_{9}{\rm P}_{3}=9\cdot8\cdot7=\boldsymbol{504(通り)}$

(3)

(ⅰ)

両端の女子の決め方が $_{3}{\rm P}_{2}$ 通り．残りの $5$ 人の並べ方が $5!$ 通りあるので

　$_{3}{\rm P}_{2}\cdot 5!=6\cdot120=\boldsymbol{720(通り)}$

(ⅱ)

女子を $1$ 人とみる．$5$ 人の並べ方が $5!$ 通り．女子の並べ方が $3!$ 通りあるので

　$5!\cdot 3!=120\cdot6=\boldsymbol{720(通り)}$

(ⅲ)

男子の並べ方が $4!$ 通り．男子の間や両端に入れる女子の並べ方が $_{5}{\rm P}_{3}$ 通りあるので

　$4! \cdot _{5}{\rm P}_{3}=24\cdot60=\boldsymbol{1440(通り)}$

練習問題