絶対値付き関数の定積分
積分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲) ★★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
絶対値の付いた関数の定積分について扱います．
数学Ⅱは基本的に多項式関数を，数学Ⅲはすべての関数を扱います．
数学Ⅱの積分を勉強中の方は，2章までです．
絶対値付き関数の定積分の基本解法
絶対値の付いた関数の定積分は
$\displaystyle \int_{0}^{6}|x-2|\,dx$
上のように出題されますが，$0\leqq x\leqq 6$ では絶対値の中身のとる符号が異なります．
$|x-2|=\begin{cases}x-2 \ (x\geqq 2) \\ -x+2 \ (x<2)\end{cases}$
上のように場合分けされるので，上の定積分は
$\displaystyle \int_{0}^{2}(-x+2)\,dx+\int_{2}^{6}(x-2)\,dx$
と計算します．
絶対値付き関数の定積分の基本解法
絶対値を外す．場合分けされた区間に応じて定積分を計算する．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
次の定積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{0}^{6}|x-2|\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{5}|x^{2}-2x-3|\,dx$
講義
絶対値を場合分けして外します．その範囲に応して定積分をします．
解答
以下 $C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{0}^{6}|x-2|\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{2}(-x+2)\,dx+\int_{2}^{6}(x-2)\,dx$
$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x\right]_{0}^{2}+\left[\dfrac{1}{2}x^{2}-2x\right]_{2}^{6}$
$=\boldsymbol{10}$
別解
グラフで該当の定積分を図示すると
$\displaystyle \int_{0}^{6}|x-2|\,dx$
$=2\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot4\cdot\dfrac{1}{2}=\boldsymbol{10}$
※ 絶対値の中身が1次関数の場合は三角形や台形の面積公式が使えるので，こちらを正攻法にしてもいいと思います．
(2)
$|x^{2}-2x-3|$
$=|(x-3)(x+1)|$
$=\begin{cases}x^{2}-2x-3 \ (x\leqq -1, 3\leqq x) \\ -x^{2}+2x+3 \ (-1< x< 3)\end{cases}$
より
$\displaystyle \int_{0}^{5}|x^{2}-2x-3|\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{3}(-x^{2}+2x+3)\,dx+\int_{3}^{5}(x^{2}-2x-3)\,dx$
$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x\right]_{0}^{3}+\left[\dfrac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x\right]_{3}^{5}$
$=\boldsymbol{\dfrac{59}{3}}$
練習問題
練習1
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{-4}^{1}\left|\dfrac{1}{2}x+1\right|\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{2}|x^{3}-7x^{2}+14x-8|\,dx$
練習1の解答
(1)
グラフで該当の定積分を図示すると
$\displaystyle \int_{-4}^{1}\left|\dfrac{1}{2}x+1\right|\,dx$
$=2\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}+3\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{13}{4}}$
(2)
$\displaystyle \int_{0}^{2}|x^{3}-7x^{2}+14x-8|\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{2}|(x-1)(x-2)(x-4)|\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}(-x^{3}+7x^{2}-14x+8)\,dx+\int_{1}^{2}(x^{3}-7x^{2}+14x-8)\,dx$
$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{7}{3}x^{3}-7x^{2}+8x\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{4}x^{4}-\dfrac{7}{3}x^{3}+7x^{2}-8x\right]_{1}^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}}$
練習問題(数学Ⅲ)
数学Ⅲの場合も本質的に同じです．
練習2
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|e^{x}-2\right|\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|3\sin x-4\cos x|\,dx$
練習2の解答
(1)
$\displaystyle \int_{0}^{1}\left|e^{x}-2\right|\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\log 2}(2-e^{x})\,dx+\int_{\log 2}^{1}(e^{x}-2)\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[2x-e^{x}\Bigr]_{0}^{\log 2}+\Bigl[e^{x}-2x\Bigr]_{\log 2}^{1}$
$\displaystyle =4\log2-4+1+e-2$
$=\boldsymbol{e+4\log2-5}$
(2)
$3\sin x-4\cos x=5\sin(x-\alpha)$
とする．ここで $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$，$\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ である．
$|3\sin x-4\cos x|$
$=\begin{cases}-3\sin x+4\cos x \ (0\leqq x< \alpha) \\ 3\sin x-4\cos x \ \left(\alpha \leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)\end{cases}$
より
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|3\sin x-4\cos x|\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}(-3\sin x+4\cos x)\,dx+\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}(3\sin x-4\cos x)\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[3\cos x +4\sin x\Bigr]_{0}^{\alpha}+\Bigl[-3\cos x -4\sin x\Bigr]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle =2(3\cos\alpha+4\sin\alpha)-3-4$
$=\boldsymbol{3}$