講義

全体的に，解法が複数あることが多いです．

(1) $\sqrt{x-1}=t$ または $x-1=t$ とおきます．

(2) $\sqrt{x+1}=t$ または $x+1=t$ とおきます．

(3) $\sin x=t$ とおきます．

(4) 分母分子 $\cos x$ かけて $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ として $\sin x=t$ とおきます．

(5) $1+x^{2}=t$ とおきます．

(6) $x=\sin\theta$ とおきます．

(7) $x=\sqrt{3}\tan\theta$ とおきます．

解答

以下 $C$ は積分定数とする．

(1)

$\sqrt{x-1}=t$ とおいて，両辺2乗して整理すると

$x=t^{2}+1$

両辺 $t$ で微分して

$\dfrac{dx}{dt}=2t$ $\cdots$ ①

　$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{t^{2}+1}{t}\cdot\dfrac{dx}{dt}\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ (2t^{2}+2)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{2}{3}t^{3}+2t+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C}$

※ 便宜的に①で $dx=2tdt$ として置き換えるようにしてもよい．以降これで記述します．

(2)

$\sqrt{x+1}=t$ とおいて，両辺2乗して整理すると

$x=t^{2}-1$

両辺 $t$ で微分して

$\dfrac{dx}{dt}=2t$

積分範囲は

$x$	$0 \ \to \ 1$
$t$	$1 \ \to \ \sqrt{2}$

となるので

　$\displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{x+1}\,dx$

$\displaystyle =\int_{1}^{\sqrt{2}}(t^{2}-1)t\cdot \dfrac{dx}{dt}\,dt$

$\displaystyle =\int_{1}^{\sqrt{2}}(2t^{4}-2t^{2})\,dt$

$\displaystyle =\left[\dfrac{2}{5}t^{5}-\dfrac{2}{3}t^{3}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{4}{15}\sqrt{2}+\dfrac{4}{15}}$

(3)

$\sin{x}=t$ とおくと

$\cos xdx=dt$

　$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2} x\cos x\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ t^{2}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{3}t^{3}+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\sin^{3} x+C}$

(4)

$\sin{x}=t$ とおくと

$\cos xdx=dt$

　$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cos x}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{\cos x}{1-\sin^{2}x}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{1-t^2}\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{(1-t)(1+t)}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int_{}^{} \ \left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\left(-\log|1-t|+\log|1+t|\right)+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}+C}$

(5)

$1+x^{2}=t$ とおくと

$2xdx=dt$

積分範囲は

$x$	$1 \ \to \ 2$
$t$	$2 \ \to \ 5$

となるので

　$\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{4x}{1+x^{2}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{2}^{5}\dfrac{2}{t}\,dt$

$\displaystyle =2\Bigl[\log t\Bigr]_{2}^{5}$

$=\boldsymbol{2\log\dfrac{5}{2}}$

(6)

$x=2\sin\theta$ とおくと

$dx=2\cos\theta d\theta$

積分範囲は

$x$	$0 \ \to \ 2$
$t$	$0 \ \to \ \dfrac{\pi}{2}$

となるので

　$\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4\cos^{2}\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|2\cos\theta|\cdot 2\cos\theta\,d\theta$　←$\sqrt{A^2}=|A|$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4\cos^{2}\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2(1+\cos2\theta)\,d\theta$

$\displaystyle =2\left[\theta+\dfrac{1}{2}\sin2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$=\boldsymbol{\pi}$

※ 実は以下のように

円関数の面積であることを利用して解くのが，最終的には正攻法です．

$\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=4\pi\times\dfrac{1}{4}=\boldsymbol{\pi}$

(7)

$x=\sqrt{3}\tan\theta$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}< \theta <\dfrac{\pi}{2}\right)$とおく( $\boldsymbol{x}$ が連続(微分可能)であるように範囲をとります)

$dx=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^{2}\theta}d\theta$

積分範囲は

$x$	$-1 \ \to \ 3$
$t$	$-\dfrac{\pi}{6} \ \to \ \dfrac{\pi}{3}$

となるので

　$\displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{1}{x^{2}+3}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{3(1+\tan^{2}\theta)}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\cos^{2}\theta}\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,d\theta$

$\displaystyle =\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}\theta\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi}$