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置換積分

積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

置換積分についての基礎をすべて扱います.

不定積分,定積分の順で,証明や注意点も含めて解説します.



置換積分(不定積分)

置換積分とは,変数変換により積分する方法です.

$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$

上のような積分はそのままでは難しいので,$\sqrt{x-1}=t$ と置き換えると

$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{t^{2}+1}{t}\cdot 2t\,dt$

となり,積分が実行しやすくなります.

ポイント

置換積分(不定積分)

本質的には同じですが,以下の2タイプがあります.

Ⅰ 微分可能な関数 $x=g(t)$ とすると

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ f(x)\,dx=\int_{}^{} \ f(g(t))g'(t)\,dt}}$

※ $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{t^{2}+1}{t}\cdot 2t\,dt$ とする等,丸ごと置き換えたい場合等に適用.


Ⅱ $g(x)=u$ とすると

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{}^{} \ f(u)\,du}}$

※ $\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2} x\cos x\,dx=\int_{}^{} \ u^{2}\,du$ とする等,ある関数とその導関数が登場するときに適用.

証明

合成関数の微分公式から生まれます.

証明

$\displaystyle y=\int_{}^{} \ f(x)\,dx$ とおくと,合成関数の微分より

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}=f(x)\cdot\dfrac{dg(t)}{dt}=f(g(t))g'(t)$

が成り立つので,これを両辺 $t$ で積分すると,$\displaystyle y=\int_{}^{} \ f(g(t))g'(t)\,dt$ となるので

$\displaystyle \int_{}^{} \ f(x)\,dx=\int_{}^{} \ f(g(t))g'(t)\,dt$

が成り立つ.ここで,$x \to u$,$t \to x$ と文字の置き換えをして,右辺と左辺を入れ替えると

$\displaystyle \int_{}^{} \ f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{}^{} \ f(u)\,du$

置換積分(定積分)

置換積分は積分する変数を変換するので,当然積分範囲も変わってきます.

$\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$

上の定積分は,$\sqrt{x-1}=t$ と置き換えると,$x:2 \to 3$ が $t:1 \to \sqrt{2}$ となり

$\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{2}}\dfrac{t^{2}+1}{t}\cdot 2t\,dt$

積分範囲が変わるので注意です.

ポイント

置換積分(定積分)

こちらも本質的には同じですが,以下の2タイプがあります.

Ⅰ 閉区間 $[a,b]$ で $f(x)$ が連続で,$x$ が微分可能な関数 $x=g(t)$ で表されるとき,$a=g(\alpha)$,$b=g(\beta)$ ならば

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g'(t)\,dt}}$

※ $\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx=\int_{1}^{\sqrt{2}}\dfrac{t^{2}+1}{t}\cdot 2t\,dt$ とする等,丸ごと置き換えたい場合や,$x=a\sin\theta$ や $x=a\tan\theta$ などの特殊な置換等に適用.


Ⅱ $g(x)=u$,$g(a)=\alpha$,$g(b)=\beta$ とすると

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(u)\,du}}$

※ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2} x\cos x\,dx=\int_{0}^{1}u^{2}\,du$ とする等,ある関数とその導関数が登場するときに適用.

証明

やはり合成関数の微分を使います.

証明

Ⅰを右辺から示します.Ⅱもまったく同じです.

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g'(t)\,dt$

$\displaystyle =\Bigl[F(g(t))\Bigr]_{\alpha}^{\beta}$

$=F(g(\beta))-F(g(\alpha))$

$=F(b)-F(a)$

$\displaystyle =\int_{a}^{b}f(x)\,dx$

高校範囲で不定積分は求めないが定積分は求めるもの

高校数学では,三角関数の逆関数である逆三角関数を扱わないので,積分をして逆三角関数になるものは不定積分として登場しませんが,定積分は登場します.

以下の定積分は,以下の置換をして定積分を求めます.

・$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$,$\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ の定積分

$\color{red}{x=a\sin\theta}$ とおく

・$\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}$ の定積分

$\color{red}{x=a\tan\theta}$ とおく

特に $\tan\theta$ で置換するときは,$\boldsymbol{\tan \theta}$ がどこでも連続ではない(微分可能ではない)ので積分範囲に注意します.

例題と練習問題

例題

例題

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{x+1}\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2} x\cos x\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cos x}\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{4x}{1+x^{2}}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx$

(7) $\displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{1}{x^{2}+3}\,dx$


講義

全体的に,解法が複数あることが多いです.

(1) $\sqrt{x-1}=t$ または $x-1=t$ とおきます.

(2) $\sqrt{x+1}=t$ または $x+1=t$ とおきます.

(3) $\sin x=t$ とおきます.

(4) 分母分子 $\cos x$ かけて $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ として $\sin x=t$ とおきます.

(5) $1+x^{2}=t$ とおきます.

(6) $x=\sin\theta$ とおきます.

(7) $x=\sqrt{3}\tan\theta$ とおきます.


解答

以下 $C$ は積分定数とする.

(1)

$\sqrt{x-1}=t$ とおいて,両辺2乗して整理すると

$x=t^{2}+1$

両辺 $t$ で微分して

$\dfrac{dx}{dt}=2t$ $\cdots$ ①

 $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{t^{2}+1}{t}\cdot\dfrac{dx}{dt}\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ (2t^{2}+2)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{2}{3}t^{3}+2t+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C}$

※ 便宜的に①で $dx=2tdt$ として置き換えるようにしてもよい.以降これで記述します.


(2)

$\sqrt{x+1}=t$ とおいて,両辺2乗して整理すると

$x=t^{2}-1$

両辺 $t$ で微分して

$\dfrac{dx}{dt}=2t$

積分範囲は

$x$ $0 \ \to \ 1$
$t$ $1 \ \to \ \sqrt{2}$

となるので

 $\displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{x+1}\,dx$

$\displaystyle =\int_{1}^{\sqrt{2}}(t^{2}-1)t\cdot \dfrac{dx}{dt}\,dt$

$\displaystyle =\int_{1}^{\sqrt{2}}(2t^{4}-2t^{2})\,dt$

$\displaystyle =\left[\dfrac{2}{5}t^{5}-\dfrac{2}{3}t^{3}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{4}{15}\sqrt{2}+\dfrac{4}{15}}$


(3)

$\sin{x}=t$ とおくと

$\cos xdx=dt$

 $\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2} x\cos x\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ t^{2}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{3}t^{3}+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\sin^{3} x+C}$


(4)

$\sin{x}=t$ とおくと

$\cos xdx=dt$

 $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cos x}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{\cos x}{1-\sin^{2}x}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{1-t^2}\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{(1-t)(1+t)}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int_{}^{} \ \left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\left(-\log|1-t|+\log|1+t|\right)+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}+C}$


(5)

$1+x^{2}=t$ とおくと

$2xdx=dt$

積分範囲は

$x$ $1 \ \to \ 2$
$t$ $2 \ \to \ 5$

となるので

 $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{4x}{1+x^{2}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{2}^{5}\dfrac{2}{t}\,dt$

$\displaystyle =2\Bigl[\log t\Bigr]_{2}^{5}$

$=\boldsymbol{2\log\dfrac{5}{2}}$


(6)

$x=2\sin\theta$ とおくと

$dx=2\cos\theta d\theta$

積分範囲は

$x$ $0 \ \to \ 2$
$t$ $0 \ \to \ \dfrac{\pi}{2}$

となるので

 $\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4\cos^{2}\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|2\cos\theta|\cdot 2\cos\theta\,d\theta$ ←$\sqrt{A^2}=|A|$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4\cos^{2}\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2(1+\cos2\theta)\,d\theta$

$\displaystyle =2\left[\theta+\dfrac{1}{2}\sin2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$=\boldsymbol{\pi}$

※ 実は以下のように

円関数の積分1

円関数の面積であることを利用して解くのが,最終的には正攻法です.

$\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=4\pi\times\dfrac{1}{4}=\boldsymbol{\pi}$


(7)

$x=\sqrt{3}\tan\theta$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}< \theta <\dfrac{\pi}{2}\right)$とおく( $\boldsymbol{x}$ が連続(微分可能)であるように範囲をとります)

$dx=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^{2}\theta}d\theta$

積分範囲は

$x$ $-1 \ \to \ 3$
$t$ $-\dfrac{\pi}{6} \ \to \ \dfrac{\pi}{3}$

となるので

 $\displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{1}{x^{2}+3}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{3(1+\tan^{2}\theta)}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\cos^{2}\theta}\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,d\theta$

$\displaystyle =\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}\theta\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi}$

練習問題

練習

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{e^{3x}}{e^{x}+1}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{-1}^{0}x^{2}\sqrt{x+1}\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{x(\log x)^{2}}\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\dfrac{1}{\sin x}\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{-2}^{4}\sqrt{16-x^{2}}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx$

(7) $\displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{1}{x^{2}-2x+5}\,dx$

解答

以下,$C$ は積分定数とする.

(1)

$e^{x}+1=t$ とおくと

$e^{x}dx=dt$

 $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{e^{3x}}{e^{x}+1}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{(t-1)^{2}}{t}\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(t-2+\dfrac{1}{t}\right)\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}t^{2}-2t+\log |t|+C$

$=\dfrac{1}{2}(e^{x}+1)^{2}-2(e^{x}+1)+\log (e^{x}+1)+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{e^{2x}}{2}-e^{x}+\log (e^{x}+1)+C}$


(2)

$\sqrt{x+1}=t$ とおいて,両辺2乗して整理すると

$x=t^{2}-1$

$dx=2tdt$

積分範囲は

$x$ $-1 \ \to \ 0$
$t$ $0 \ \to \ 1$

となるので

 $\displaystyle \int_{-1}^{0}x^{2}\sqrt{x+1}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}(t^{2}-1)^{2}t\cdot 2t\,dt$

$\displaystyle =2\int_{0}^{1}(t^{6}-2t^{4}+t^{2})\,dt$

$\displaystyle =2\left[\dfrac{1}{7}t^{7}-\dfrac{2}{5}t^{5}+\dfrac{1}{3}t^{3}\right]_{0}^{1}$

$=\boldsymbol{\dfrac{16}{105}}$


(3)

$\log{x}=t$ とおくと

$\dfrac{1}{x}dx=dt$

 $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{x(\log x)^{2}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{t^{2}}\,dt$

$\displaystyle =-\dfrac{1}{t}+C$

$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\log x}+C}$


(4)

$\cos{x}=t$ とおくと

$-\sin xdx=dt$

積分範囲は

$x$ $\dfrac{\pi}{3} \ \to \ \dfrac{2\pi}{3}$
$t$ $\dfrac{1}{2} \ \to \ -\dfrac{1}{2}$

となるので

 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\dfrac{1}{\sin x}\,dx$

$\displaystyle =\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\dfrac{\sin x}{1-\cos^{2}x}\,dx$

$\displaystyle =-\int_{\frac{1}{2}}^{-\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1-t^2}\,dt$

$\displaystyle =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1-t^2}\,dt$

$\displaystyle =2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1-t^2}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)\,dt$

$\displaystyle =\Bigl[-\log |1-t|+\log |1+t|\Bigr]_{0}^{\frac{1}{2}}$

$=\boldsymbol{\log3}$


(5)

円関数の積分2

扇型と直角三角形の面積の和であることを利用すると

 $\displaystyle \int_{-2}^{4}\sqrt{16-x^{2}}\,dx$

$=16\pi\times\dfrac{1}{3}+2\sqrt{3}=\boldsymbol{\dfrac{16}{3}\pi+2\sqrt{3}}$


(6)

$x=2\sin\theta$ とおくと

$dx=2\cos\theta d\theta$

積分範囲は

$x$ $0 \ \to \ 1$
$t$ $0 \ \to \ \dfrac{\pi}{6}$

となるので

 $\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}}\cdot 2\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\sqrt{4\cos^{2}\theta}}\cdot 2\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,d\theta$

$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{6}}$


(7)

$x-1=2\tan\theta$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}< \theta <\dfrac{\pi}{2}\right)$ とおくと

$dx=\dfrac{2}{\cos^{2}\theta}d\theta$

積分範囲は

$x$ $-1 \ \to \ 3$
$t$ $-\dfrac{\pi}{4} \ \to \ \dfrac{\pi}{4}$

となるので

 $\displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{1}{x^{2}-2x+5}\,dx$

$=\displaystyle \int_{-1}^{3}\dfrac{1}{(x-1)^{2}+4}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{4(1+\tan^{2}\theta)}\cdot \dfrac{2}{\cos^{2}\theta}\,d\theta$

$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{2}\,d\theta$

$\displaystyle =2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{2}\,d\theta$

$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{4}}$