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双曲線関数

数学Ⅲ既習者(難関大対策+) ★★★


アイキャッチ

双曲線関数は大学範囲ですが,高校数学や大学受験の問題でも背景として登場することが度々あります.

双曲線関数についての基本事項とこれを利用した積分について,意欲的な理系の高校生,受験生向けに知っておくとよいものだけ解説しました.

加法定理等の性質は掲載してません.



双曲線関数の定義とその性質

ポイント

双曲線関数

・ $\displaystyle \boldsymbol{\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}}$

・ $\displaystyle \boldsymbol{\sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}}$

・ $\displaystyle \boldsymbol{\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$


上で定義された関数を双曲線関数(hypabolic function)と言います.読み方はハイパボリックコサインエックス,コッシュエックスなどと読みます.

ただの既存の指数関数で構成されているので,特別新しい関数ではないのですが,なぜこれが双曲線関数と呼ばれるのかがこれです.

 $\cosh^{2} x-\sinh^{2}x$

$\displaystyle =\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}$

$=1$

これは双曲線関数の相互関係と呼ばれます.

ポイント

双曲線関数の相互関係

$\displaystyle \boldsymbol{\cosh^{2} x-\sinh^{2}x=1}$


三角関数は,$\cos x=X$,$\sin x=Y$ とおけば,$X^{2}+Y^{2}=1$ を満たしました.つまり三角関数は円関数とも呼ばれるのですが,$\cosh x=X$,$\sinh x=Y$ とおくと

$X^{2}-Y^{2}=1.$

これは双曲線の式そのものですよね.つまり,双曲線関数は,双曲線の媒介変数表示にもなっています.

双曲線関数の主な使い道

これを利用すれば,次の積分が解きやすいかもしれません.

ポイント

$a>0$ としたとき

$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx$,$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx$ の積分

$x=a\sinh \theta$ と置換するとうまくいく


$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx$,$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,dx$ の積分

$x=a\cosh \theta$ と置換するとうまくいく

※ 正確には $x >0$ のときは $x=a\cosh \theta$,$x <0$ のときは $x=-a\cosh \theta$ とおきます.

※ 変形の過程で $\sqrt{a^{2}\sinh^{2}\theta}=a|\sinh \theta|$ となるので注意.


普通 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx$,$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx$ の積分には,$x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}=t$ と,$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx$,$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,dx$ の積分には,$x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}=t$ と置き換えてと,誘導が付くのですが,誘導が付かない場合は上のように双曲線関数を使います.

例題と練習問題

例題

例題

次の不定積分を求めよ.

$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$


講義

上のポイントにあるように,$x=a\sinh \theta=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$ で置き換えをして解きます.


解答

$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}=\sinh \theta$,$dx=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}d\theta=\cosh \theta d\theta$ とおくと

$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$

を満たす. ←導入をしておくと無難です.

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} \theta+1}}\cosh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} \theta}}\cosh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cosh \theta}\cosh \theta \,d\theta$ $(\because \cosh \theta>0)$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ 1 \,d\theta$

$\displaystyle =\theta+C$

ここで

$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$

$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}-2xe^{\theta}-1=0$

$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=x+\sqrt{x^{2}+1}$ $(\because e^{\theta}>0)$

$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(x+\sqrt{x^{2}+1})$

より

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$

$\displaystyle =\boldsymbol{\log\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C (Cは積分定数)}$

※ $x=\tan\theta$ と置いても解けるんですが,少し面倒なはずです.

練習問題

練習

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx$

解答

双曲線関数でおいて解くことにします.特に(2)は $x+\sqrt{x^{2}-1}=t$ とおく置換が楽です.

以下 $C$ を積分定数とする.

(1)

 $\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}=\sinh \theta$,$dx=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}d\theta=\cosh \theta d\theta$ とおくと

$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$

を満たす.

 $\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{}\sqrt{\sinh^{2} \theta+1}\cosh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{}\sqrt{\cosh^{2} \theta}\cosh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \cosh^{2} \theta \,d\theta$ $(\because \cosh \theta>0)$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{e^{2\theta}+e^{-2\theta}+2}{4} \,d\theta$

$\displaystyle =\dfrac{e^{2\theta}-e^{-2\theta}}{8}+\dfrac{1}{2}\theta+C$

$\displaystyle =\dfrac{(e^{\theta}+e^{-\theta})(e^{\theta}-e^{-\theta})}{8}+\dfrac{1}{2}\theta+C$

ここで

$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$

$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}-2xe^{\theta}-1=0$

$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=x+\sqrt{x^{2}+1}$ $( \because e^{\theta}>0)$

$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(x+\sqrt{x^{2}+1})$

より

 $\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{\left(e^{\theta}+\dfrac{1}{e^{\theta}}\right)2x}{8}+\dfrac{1}{2}\theta+C$

$\displaystyle =\dfrac{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)x}{4}+\dfrac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^{2}+1})+C$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^{2}+1})+C}$


(2)

(ⅰ) $x >1$ のとき

$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cosh \theta$,$dx=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}d\theta=\sinh \theta d\theta$ とおくと

$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$

を満たす.

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} \theta-1}}\cdot\sinh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} \theta}}\cdot\sinh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{|\sinh \theta|}\cdot\sinh \theta \,d\theta$

$=\begin{cases}\theta+C \ (\theta >0) \\ -\theta+C \ (\theta <0)\end{cases}$

$\displaystyle =|\theta|+C$

ここで

$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$

$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}-2xe^{\theta}+1=0$

$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=x\pm\sqrt{x^{2}-1}$

$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(x\pm\sqrt{x^{2}-1})$

より

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$

$\displaystyle =|\log(x\pm\sqrt{x^{2}-1})|+C$

$=\begin{cases}\log(x+\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (x+\sqrt{x^{2}-1} >1) \\ -\log(x-\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (x-\sqrt{x^{2}-1}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}} <1)\end{cases}$

$\displaystyle =\log\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)+C$

(ⅱ) $x <-1$ のとき

$\displaystyle x=-\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=-\cosh \theta$,$dx=-\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}d\theta=-\sinh \theta d\theta$ とおくと

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} \theta-1}}(-\sinh \theta) \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} \theta}}(-\sinh \theta) \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{-1}{|\sinh \theta|}\cdot\sinh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =-|\theta|+C$

ここで

$\displaystyle x=-\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$

$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}+2xe^{\theta}+1=0$

$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=-x\pm\sqrt{x^{2}-1}$

$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(-x\pm\sqrt{x^{2}-1})$

より

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$

$\displaystyle =-|\log(-x\pm\sqrt{x^{2}-1})|+C$

$=\begin{cases}-\log(-x+\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (-x+\sqrt{x^{2}-1} >1) \\ \log(-x-\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (-x-\sqrt{x^{2}-1}=\dfrac{1}{-x+\sqrt{x^{2}-1}} <1)\end{cases}$

$\displaystyle =\log\left(-x-\sqrt{x^{2}-1}\right)+C$

(ⅰ)(ⅱ)より

 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$

$\displaystyle =\boldsymbol{\log\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|+C}$


(3)

 $\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cosh \theta$,$dx=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}d\theta=\sinh \theta d\theta$ とおくと

$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$

を満たす.

また,$\cosh \alpha=2$ とします.

 $\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\sqrt{\cosh^{2} \theta-1}\sinh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\sqrt{\sinh^{2} \theta}\sinh \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\sinh^{2} \theta \,d\theta$ $(0 < \theta < \alpha$ で $\sinh \theta >0)$

$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\dfrac{e^{2\theta}-2+e^{-2\theta}}{4} \theta \,d\theta$

$\displaystyle =\left[\dfrac{e^{2\theta}}{8}-\dfrac{1}{2}\theta-\dfrac{e^{-2\theta}}{8}\right]_{0}^{\alpha}$

$\displaystyle =\dfrac{e^{2\alpha}-e^{-2\alpha}}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$

ところで

$\cosh \alpha=\dfrac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}=2$

$\Longleftrightarrow \ (e^{\alpha})^{2}-4e^{\alpha}+1=0$

$\Longleftrightarrow \ e^{\alpha}=2+\sqrt{3} \ \ (\because e^{\alpha}>1)$

$\Longleftrightarrow \ \alpha=\log(2+\sqrt{3})$

より

 $\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{(e^{\alpha}+e^{-\alpha})(e^{\alpha}-e^{-\alpha})}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$

$\displaystyle =\dfrac{4\left(2+\sqrt{3}-\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\right)}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$

$\displaystyle =\dfrac{4\cdot2\sqrt{3}}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$

$=\boldsymbol{\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})}$