双曲線関数を使う積分
数学Ⅲ既習者(難関大対策＋) ★★★
双曲線関数は大学範囲ですが，高校数学や大学受験の問題でも背景として登場することが度々あります．
特に双曲線関数についての基本事項とこれを利用した積分について扱います．
双曲線関数の定義と相互関係
双曲線関数
$\displaystyle \boldsymbol{\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}}$
$\displaystyle \boldsymbol{\sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}}$
$\displaystyle \boldsymbol{\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
※ 読み方はハイパボリックコサインエックスなどと読みます．
上で定義された関数を双曲線関数(hypabolic function)と言います．
ただの既存の指数関数で構成されているので，特別新しい関数ではないのですが，なぜこれが双曲線関数と呼ばれるのかが以下です．
$\cosh^{2} x-\sinh^{2}x$
$\displaystyle =\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}$
$=1$
これは双曲線関数の相互関係と呼ばれます．
双曲線関数の相互関係
$\displaystyle \boldsymbol{\cosh^{2} x-\sinh^{2}x=1}$
三角関数は，$\cos x=X$，$\sin x=Y$ とおけば，$X^{2}+Y^{2}=1$ を満たしました．つまり三角関数は円関数とも呼ばれるのですが，$\cosh x=X$，$\sinh x=Y$ とおくと
$X^{2}-Y^{2}=1．$
これは双曲線の式そのものですよね．つまり，双曲線関数は，双曲線の媒介変数表示にもなっています．
双曲線関数の主な使い道
これを利用すれば，次の積分が解きやすいかもしれません．
$a>0$ としたとき
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx$，$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx$ の積分
$x=a\sinh \theta$ と置換するとうまくいく
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx$，$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,dx$ の積分
$x=a\cosh \theta$ と置換するとうまくいく
※ 正確には $x >0$ のときは $x=a\cosh \theta$，$x <0$ のときは $x=-a\cosh \theta$ とおきます．
※ 変形の過程で $\sqrt{a^{2}\sinh^{2}\theta}=a|\sinh \theta|$ となるので注意．
普通 $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx$，$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx$ の積分には，$x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}=t$ と，$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx$，$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,dx$ の積分には，$x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}=t$ と置き換えてと，誘導が付くのですが，誘導が付かない場合は上のように双曲線関数を使います．
例題と練習問題
例題
例題
次の不定積分を求めよ．
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$
講義
上にあるように，$x=a\sinh \theta=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$ で置き換えをして解きます．
解答
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}=\sinh \theta$，$dx=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}d\theta=\cosh \theta d\theta$ とおくと
$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$
を満たす． ←導入をしておくと無難です．
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} \theta+1}}\cdot\cosh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} \theta}}\cdot\cosh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cosh \theta}\cdot\cosh \theta \,d\theta$ $(\because \cosh \theta>0)$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ 1 \,d\theta$
$\displaystyle =\theta+C$
ここで
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$
$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}-2xe^{\theta}-1=0$
$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=x+\sqrt{x^{2}+1}$ $(\because e^{\theta}>0)$
$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(x+\sqrt{x^{2}+1})$
より
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$
$\displaystyle =\boldsymbol{\log\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C (Cは積分定数)}$
※ $x=\tan\theta$ と置いても解けるんですが，少し面倒なはずです．
練習問題
練習
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx$
解答
双曲線関数でおいて解くことにします．特に(2)は $x+\sqrt{x^{2}-1}=t$ とおく置換が楽です．
以下 $C$ を積分定数とする．
(1)
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}=\sinh \theta$，$dx=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}d\theta=\cosh \theta d\theta$ とおくと
$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$
を満たす．
$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{}\sqrt{\sinh^{2} \theta+1}\cosh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{}\sqrt{\cosh^{2} \theta}\cosh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \cosh^{2} \theta \,d\theta$ $(\because \cosh \theta>0)$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{e^{2\theta}+e^{-2\theta}+2}{4} \,d\theta$
$\displaystyle =\dfrac{e^{2\theta}-e^{-2\theta}}{8}+\dfrac{1}{2}\theta+C$
$\displaystyle =\dfrac{(e^{\theta}+e^{-\theta})(e^{\theta}-e^{-\theta})}{8}+\dfrac{1}{2}\theta+C$
ここで
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$
$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}-2xe^{\theta}-1=0$
$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=x+\sqrt{x^{2}+1}$ $( \because e^{\theta}>0)$
$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(x+\sqrt{x^{2}+1})$
より
$\displaystyle \int_{}^{}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{\left(e^{\theta}+\dfrac{1}{e^{\theta}}\right)2x}{8}+\dfrac{1}{2}\theta+C$
$\displaystyle =\dfrac{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)x}{4}+\dfrac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^{2}+1})+C$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^{2}+1})+C}$
(2)
(ⅰ) $x >1$ のとき
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cosh \theta$，$dx=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}d\theta=\sinh \theta d\theta$ とおくと
$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$
を満たす．
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} \theta-1}}\cdot\sinh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} \theta}}\cdot\sinh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{|\sinh \theta|}\cdot\sinh \theta \,d\theta$
$=\begin{cases}\theta+C \ (\theta >0) \\ -\theta+C \ (\theta <0)\end{cases}$
$\displaystyle =|\theta|+C$
ここで
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$
$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}-2xe^{\theta}+1=0$
$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=x\pm\sqrt{x^{2}-1}$
$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(x\pm\sqrt{x^{2}-1})$
より
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$
$\displaystyle =|\log(x\pm\sqrt{x^{2}-1})|+C$
$=\begin{cases}\log(x+\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (x+\sqrt{x^{2}-1} >1) \\ -\log(x-\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (x-\sqrt{x^{2}-1}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}} <1)\end{cases}$
$\displaystyle =\log\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)+C$
(ⅱ) $x <-1$ のとき
$\displaystyle x=-\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=-\cosh \theta$，$dx=-\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}d\theta=-\sinh \theta d\theta$ とおくと
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} \theta-1}}(-\sinh \theta) \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} \theta}}(-\sinh \theta) \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{}^{}\dfrac{-1}{|\sinh \theta|}\cdot\sinh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =-|\theta|+C$
ここで
$\displaystyle x=-\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$
$\Longleftrightarrow \ e^{2\theta}+2xe^{\theta}+1=0$
$\Longleftrightarrow \ e^{\theta}=-x\pm\sqrt{x^{2}-1}$
$\Longleftrightarrow \ \theta=\log(-x\pm\sqrt{x^{2}-1})$
より
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$
$\displaystyle =-|\log(-x\pm\sqrt{x^{2}-1})|+C$
$=\begin{cases}-\log(-x+\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (-x+\sqrt{x^{2}-1} >1) \\ \log(-x-\sqrt{x^{2}-1})+C \ \ (-x-\sqrt{x^{2}-1}=\dfrac{1}{-x+\sqrt{x^{2}-1}} <1)\end{cases}$
$\displaystyle =\log\left(-x-\sqrt{x^{2}-1}\right)+C$
(ⅰ)(ⅱ)より
$\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx$
$\displaystyle =\boldsymbol{\log\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|+C}$
(3)
$\displaystyle x=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cosh \theta$，$dx=\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}d\theta=\sinh \theta d\theta$ とおくと
$\cosh^{2} \theta-\sinh^{2}\theta=1$
を満たす．
また，$\cosh \alpha=2$ とします．
$\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\sqrt{\cosh^{2} \theta-1}\sinh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\sqrt{\sinh^{2} \theta}\sinh \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\sinh^{2} \theta \,d\theta$ $(0 < \theta < \alpha$ で $\sinh \theta >0)$
$\displaystyle =\int_{0}^{\alpha}\dfrac{e^{2\theta}-2+e^{-2\theta}}{4} \theta \,d\theta$
$\displaystyle =\left[\dfrac{e^{2\theta}}{8}-\dfrac{1}{2}\theta-\dfrac{e^{-2\theta}}{8}\right]_{0}^{\alpha}$
$\displaystyle =\dfrac{e^{2\alpha}-e^{-2\alpha}}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$
ところで
$\cosh \alpha=\dfrac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}=2$
$\Longleftrightarrow \ (e^{\alpha})^{2}-4e^{\alpha}+1=0$
$\Longleftrightarrow \ e^{\alpha}=2+\sqrt{3} \ \ (\because e^{\alpha}>1)$
$\Longleftrightarrow \ \alpha=\log(2+\sqrt{3})$
より
$\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{(e^{\alpha}+e^{-\alpha})(e^{\alpha}-e^{-\alpha})}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$
$\displaystyle =\dfrac{4\left(2+\sqrt{3}-\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\right)}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$
$\displaystyle =\dfrac{4\cdot2\sqrt{3}}{8}-\dfrac{1}{2}\alpha$
$=\boldsymbol{\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})}$