指数関数
指数・対数(教科書範囲) ★★
指数関数と大小比較の問題を扱います．
指数関数とグラフ
指数法則で指数を $a^{\sqrt{2}}$ のように実数まで拡張したので，指数関数を以下に導入します．
指数関数
$a>0$，$a\neq1$ とするとき
$\boldsymbol{y=a^{x}}$
を $a$ を底とする $x$ の指数関数という．
$a>0$ とする理由は有理数の指数法則で $a>0$ のときで限定していることによります．また，$a=1$ のときは $y=1$ となり指数関数としてはみなしません．
指数関数のグラフ
例えば $y=2^{x}$ のように，$x$ に具体的な値を代入してプロットしていくと様子がわかりますが，$y=a^{x}$ の $a$ (底)が $1$ より大きいか小さいかでグラフが分かれます．
指数関数のグラフ
$a>1$ のとき
$0<a<1$ のとき
上のグラフは今後も数学を学ぶ上で記憶しておくと楽になります．
指数関数の性質
グラフの形状等を踏まえ，以下の性質が確認できます．
指数関数の性質
指数関数 $f(x)=a^{x}$ $（a>0$，$a\neq1)$ は以下の性質をもつ．
Ⅰ 定義域は実数全体，値域は正の実数全体 $(a^{x}>0)$ ．
Ⅱ $a >1$ のときは単調増加であり，$0<a<1$ のときは単調減少である．
Ⅲ $f(x)=a^{x}$ は常に $(0,1)$ を通る．$x$ 軸が漸近線．
例題と練習問題
例題
例題
(1) $y=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{x}+1$ のグラフは $y=2^{x}$ をどのように平行移動したグラフか．また，$y=2^{x}$ と $y=4\cdot 2^{x}+1$ のグラフをかけ．
(2) 次の数の大小をそれぞれ調べよ．
(ⅰ) $\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[4]{9}$，$\sqrt[7]{27}$
(ⅱ) $2^{30}$，$3^{20}$，$7^{10}$
講義
(1)では関数の平行移動の公式に当てはめて判断します．
(2)では，底か指数を揃えて比較するのが方針になります．
解答
(1)
$f(x)=2^{x}$ とすると
$y=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{x}+1=2^{x-2}+1=f(x-2)+1$
より， $\boldsymbol{x}$ 軸方向に $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{y}$ 軸方向に $\boldsymbol{1}$ 平行移動した．
※ $y=2^{x}$ の $\left(-2,\dfrac{1}{4}\right)$ は平行移動で $y=4\cdot 2^{x}+1$ の $\left(0,\dfrac{5}{4}\right)$ に移っています．
(2) (ⅰ)
$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[4]{9}$，$\sqrt[7]{27}$
→ $3^{\frac{1}{3}}$，$(3^{2})^{\frac{1}{4}}$，$(3^{3})^{\frac{1}{7}}$
→ $3^{\frac{1}{3}}$，$3^{\frac{1}{2}}$，$3^{\frac{3}{7}}$
これより
$\boldsymbol{\sqrt[3]{3}<\sqrt[7]{27}<\sqrt[4]{9}}$
※ $y=3^{x}$ は単調増加なので，指数が小さい順に小さくなります．
(ⅱ)
$2^{30}$，$3^{20}$，$7^{10}$
→ $8^{10}$，$9^{10}$，$7^{10}$
これより
$\boldsymbol{7^{10}<2^{30}<9^{10}}$
練習問題
練習1
$\sqrt[3]{5}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt[4]{8}$ の大小をそれぞれ調べよ．
練習2
関数 $y=-9\cdot3^{x}$ $(-2\leqq x \leqq1)$ の最大値と最小値を求めよ．
練習1の解答
$\sqrt[3]{5}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt[4]{8}$
→ $5^{\frac{1}{3}}$，$3^{\frac{1}{2}}$，$2^{\frac{3}{4}}$
→ $5^{\frac{4}{12}}$，$3^{\frac{6}{12}}$，$2^{\frac{9}{12}}$
→ $625^{\frac{1}{12}}$，$729^{\frac{1}{12}}$，$512^{\frac{1}{12}}$
これより
$\boldsymbol{\sqrt[4]{8}<\sqrt[3]{5}<\sqrt{3}}$
練習2の解答
$y=-9\cdot3^{x}=-3^{x+2}$ $(-2\leqq x \leqq1)$
単調減少のグラフなので
$\boldsymbol{x=-2}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{-1}$
$\boldsymbol{x=-1}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-27}$