有理関数のグラフの書き方
微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★★
有理関数(分母分子が多項式の分数関数)の増減，そして凹凸まで調べたグラフの書き方について，説明します．
基本的に，凹凸まで調べた増減表とグラフの書き方の知識を使います．
グラフを書く前に注意すること(有理関数の場合)
有理関数のグラフを書く上で，以下の事項について注意するといいと思います．
ポイント
グラフを書く前に注意すること(有理関数の場合)
・要求されているのが増減までか，凹凸までか．
→凹凸まで要求される場合は問題文に書いてあるケースが大半です．
・定義域があるか．
→ 問題をよく見ます．不連続点も注意です．
・不連続点があるか．
→ $y=\dfrac{x^2}{x+1}$ などは不連続点があります．分母が $0$ になるときが基本的に不連続点であり，縦の漸近線になります．
・$x \to \pm\infty$ の極限はどうか．漸近線があるか．
→ 基本的に横漸近線か(横漸近線は $x \to \pm\infty$ で調べる)，斜め漸近線のどちらかがあります(こちらは後述します)．縦は $x \to \pm a$ で $\infty$ (または $-\infty$ )となれば $x=a$ が縦漸近線となる．
・対称性は利用できるか．偶関数か，奇関数でないかチェック．
→ 偶関数ならば $y$ 軸対称．奇関数ならば原点対称であることを利用すると省エネでグラフが書ける．対称性は必ず利用しなければならないというわけではありません．
以下の例題で説明していきます．
斜め漸近線の出し方
ポイント
斜め漸近線(横も含む)の出し方
・有理関数 $\dfrac{Q(x)}{P(x)}$ を仮分数状態(分子の方が次数が高い状態)から
$\dfrac{Q(x)}{P(x)}=l(x)+\dfrac{c}{P(x)}$
のように帯分数化する( $P(x)$ が1次式なら $c$ は定数)．
$x \to \pm\infty$ なら $\dfrac{Q(x)}{P(x)} \to l(x)$ より $l(x)$ が1次関数なら斜め漸近線，定数なら横の漸近線になります．
小学生の算数のとき，$\dfrac{15}{7}=2\dfrac{1}{7}$ のように仮分数を帯分数にした経験があるはずですがそれと同様のことをします．
記述のときには，以下のように極限をとって $l(x)$ が漸近線であることを主張します．
ポイント
漸近線(斜め，横)
・有理関数 $\dfrac{Q(x)}{P(x)}$ に関して
$\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty}\left\{\dfrac{Q(x)}{P(x)}-l(x)\right\}=0$
を満たすとき，$l(x)$ が1次式または定数ならば，$y=l(x)$ が漸近線となる．
以下の例題で具体的に説明していきます．
例題と練習問題
例題
例題
次の関数の増減と凹凸，漸近線を調べ，グラフの概形をかけ．
$y=\dfrac{x^{2}}{x+1}$
講義
最初に分子を分母で割って，漸近線を出すといいと思います．
解答
$x^2$ を $x+1$ で割ると商が $x-1$ で余りが $1$ より
$y=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ $\cdots$ ①
$y'=\dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$
$y''$ は①を2回微分すると楽です．
$y''=\left\{-(x+1)^{-2}\right\}'=\dfrac{2}{(x+1)^3}$
増減表は
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | × | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y''$ | $-$ | $-$ | $-$ | × | $+$ | $+$ | $+$ |
| $y$ | $-4$ | × | $0$ |
①より
$\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty}\left\{y-\left(x-1\right)\right\}=0$ から $y=x-1$ が漸近線．
$\displaystyle \lim_{x \to -1\pm0}y=\pm\infty$ より $x=-1$ が漸近線．
漸近線を意識してグラフを書くと以下のようになる．
※ $x=-1$ では定義できないので，増減表には×または/などを記します．
※ 漸近線は上のように極限をとって漸近線であることを主張します．
※ 先に漸近線を書いてからグラフを書くと綺麗に書けるのでオススメです．
練習問題
練習
次の関数の増減と凹凸，漸近線を調べ，グラフの概形をかけ．
$y=\dfrac{2x^{2}}{2x-1}$
練習の解答
$2x^2$ を $2x-1$ で割ると商が $x+\dfrac{1}{2}$ で余りが $\dfrac{1}{2}$ より
$y=x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x-2}$ $\cdots$ ①
$y'=\dfrac{4x(2x-1)-4x^2}{(2x-1)^2}=\dfrac{4x(x-1)}{(2x-1)^2}$
$y''$ は①を2回微分すると
$y''=\left\{\dfrac{1}{2}(2x-1)^{-2}\cdot (-1)\cdot2\right\}'=\dfrac{4}{(2x-1)^3}$
増減表は
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | × | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y''$ | $-$ | $-$ | $-$ | × | $+$ | $+$ | $+$ |
| $y$ | $0$ | × | $2$ |
①より
$\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty}\left\{y-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right\}=0$ なので $y=x+\dfrac{1}{2}$ が漸近線．
$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pm0}y=\pm\infty$ より $x=\dfrac{1}{2}$ が漸近線．
漸近線を意識してグラフを書くと以下のようになる．
