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双曲線の定義と基本性質

2次曲線(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

双曲線の定義と基本性質等の重要事項をこのページで総整理します.

双曲線の接線の方程式はこちらでは扱いません.



双曲線の定義と基本性質

ポイント

双曲線と焦点の定義

双曲線の定義

異なる $2$ 定点 $\rm F$,$\rm F'$ までの距離の差が一定である点 $\rm P$ の軌跡を双曲線といい,$2$ 定点 $\rm F$,$\rm F'$ を焦点という.

※ 他に離心率や円錐の切断で定義する方法もありますが,大学受験という観点ではこちらの方が重要です.


双曲線で重要なのが定義です.楕円と違ってこちらは距離の"差"であることに注意です.

この定義から双曲線の方程式,各種性質を導きます.

以下で焦点が $x$ 軸上にあるとき,$y$ 軸上にあるとき順に言及します.

ポイント

双曲線の方程式と基本性質

(ⅰ) 焦点が $x$ 軸上にあるとき

焦点がx軸上にある双曲線

中心が原点,焦点までの距離の差が $2a$ である双曲線の方程式は

$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \ (a>0,b>0)}$

で表せ,これを標準形という.

頂点の座標:$\boldsymbol{(\pm a,0)}$

焦点の座標:$\boldsymbol{(\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}},0)}$

焦点までの距離の差:$\boldsymbol{2a}$

漸近線:$\boldsymbol{y=\pm \dfrac{b}{a}x}$

双曲線の方程式と焦点の座標の導出

双曲線の方程式と焦点の座標の導出

焦点を ${\rm F}(c,0)$,${\rm F'}(-c,0)$ とおくと,$|{\rm PF - PF'}|=2a$ より

$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=\pm 2a$

$\Longleftrightarrow \ \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$

両辺 $2$ 乗して

$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}\pm 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+(x+c)^{2}+y^{2}$

$\Longleftrightarrow \ -a^{2}-cx=\pm a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$

両辺 $2$ 乗して整理すると

$(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})$

$c>a>0$ より,$c^{2}-a^{2}=b^{2}$ とおくと

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

求める軌跡(双曲線)の方程式は

$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$

と表せる.焦点の座標は $c^{2}=a^{2}+b^{2} \ \Longleftrightarrow \ c=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ より

$\boldsymbol{(\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}},0)}$


漸近線については下の章で触れます.

続いて,焦点が $y$ 軸上にあるときです.導出は上と同様なので割愛します.

ポイント

双曲線の方程式と基本性質

(ⅱ) 焦点が $y$ 軸上にあるとき

焦点がy軸上にある双曲線

中心が原点,焦点までの距離の差が $2b$ である双曲線の方程式は

$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 \ (a>0,b>0)}$

で表せ,これを標準形という.

頂点の座標:$\boldsymbol{(0,\pm b)}$

焦点の座標:$\boldsymbol{(0,\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}})}$

焦点までの距離の差:$\boldsymbol{2b}$

漸近線:$\boldsymbol{y=\pm \dfrac{b}{a}x}$

中心が原点でない双曲線

楕円のときと同様に考えることにより,双曲線 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフを $C'$ とすると,$C'$ の方程式は

$C':\dfrac{(x-p)^2}{a^2}-\dfrac{(y-p)^2}{b^2}=1$

となり,これは中心が $(p,q)$ の双曲線になる.双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ についても同様です.

双曲線の漸近線

双曲線と漸近線

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を $y$ について解くと,第1象限の部分は $y=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ となり,$x \to \infty$ とすると式の形から漸近線は $y=\dfrac{b}{a}x$ となることが予想できます.実際,漸近線と双曲線の差

 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\dfrac{b}{a}x-\dfrac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{b}{a}\left(x-\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{b}{a}\left(\dfrac{a^2}{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\right)=0$

より,$y=\dfrac{b}{a}x$ が漸近線となることが確認できます.

同様に考え,双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\pm1$ の漸近線は $y=\pm \dfrac{b}{a}x$ です(複合任意).

双曲線の媒介変数表示

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の媒介変数表示は関しては $1+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{x^2}{a^2}$ とすると

$\begin{cases}\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{\cos\theta} \\ \dfrac{y}{b}=\tan\theta \end{cases}$

とすれば三角関数の相互関係を満たすので楕円と同じように媒介変数表示として使えます.

しかし,楕円と比較して使い勝手が良くないので,あまりこれは使われません.

他には双曲線関数を使って媒介変数表示することもできます.

例題と練習問題

例題

例題

(1) 双曲線 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点の座標および漸近線を求めよ.また概形をかけ.

(2) $2$ 点 $(0,6)$,$(0,-6)$ を焦点とし,焦点までの距離の差が $10$ である双曲線の方程式を求めよ.

(3) 双曲線 $4x^{2}-y^{2}-8x-2y-1=0$ の焦点の座標および長軸の長さ,短軸の長さを求めよ.


講義

(1)と(2)は双曲線の定義と基本性質を使います.(3)は平方完成して標準形を平行移動した形にします.


解答

(1)

焦点は $\sqrt{16+9}=5$ より,座標は $\boldsymbol{(5,0),(-5,0)}$.漸近線は $\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x}$,$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{4}x}$.

概形は

例題(1)

(2)

双曲線を $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ とおくと

$\begin{cases}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=6 \\ 2b=10 \end{cases}$

これを解くと $a^{2}=11$,$b^{2}=25$ より,求める双曲線の方程式は

$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{11}-\dfrac{y^2}{25}=-1}$

軌跡の問題として解いて導くことも可能ですが少し大変です.


(3)

 $4x^{2}-y^{2}-8x-2y-1=0$

$\Longleftrightarrow \ 4(x-1)^{2}-(y+1)^{2}=4$

$\Longleftrightarrow \ (x-1)^{2}-\dfrac{(y+1)^{2}}{4}=1$

例題(3)

中心の座標が $(1,-1)$ なので,焦点の座標は $\boldsymbol{(1+\sqrt{5},-1),(1-\sqrt{5},-1)}$.漸近線は $y+1=\pm 2(x-1)$ より $\boldsymbol{y=2x-3}$,$\boldsymbol{y=-2x+1}$.

練習問題

練習

(1) 双曲線 $2x^{2}-y^{2}+8x+2y+11=0$ の頂点と焦点の座標および漸近線を求めよ.

(2) 媒介変数表示 $x=\dfrac{2}{\cos \theta}$,$y=3\tan\theta+1$ で表される双曲線 $C$ を考える.$C$ の頂点と焦点の座標および漸近線を求めよ.

練習の解答

(1) 出典:2011慶應医

 $2x^{2}-y^{2}+8x+2y+11=0$

$\Longleftrightarrow \ 2(x+2)^{2}-(y-1)^{2}=-4$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{(x+2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-1)^{2}}{4}=-1$

中心の座標が $(-2,1)$ なので,頂点の座標は $\boldsymbol{(-2,3),(-2,-1)}$.焦点の座標は $\boldsymbol{(-2,1+\sqrt{6}),(-2,1-\sqrt{6})}$.漸近線は $y-1=\pm \sqrt{2}(x+2)$ より $\boldsymbol{y=\sqrt{2}(x+2)+1}$,$\boldsymbol{y=-\sqrt{2}(x+2)+1}$.


(2) 出典:2021上智理工

$\dfrac{y-1}{3}=\tan\theta$,$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\cos\theta}$ とすると,$1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ より

$1+\left(\dfrac{y-1}{3}\right)^{2}=\dfrac{x^2}{4}$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{(y-1)^{2}}{9}=-1$

中心の座標が $(0,1)$ なので,頂点の座標は $\boldsymbol{(2,1),(-2,1)}$.焦点の座標は $\boldsymbol{(\sqrt{13},1),(-\sqrt{13},1)}$.漸近線は $y-1=\pm \sqrt{13}x$ より $\boldsymbol{y=\sqrt{13}x+1}$,$\boldsymbol{y=-\sqrt{13}x+1}$.