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軌跡の求め方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

軌跡の求め方について解説します.このページのみで基本的な問題を扱います.



軌跡の求め方

軌跡とは

軌跡とは,与えられた条件を満たす点が動いてできる図形(集合)のことをいいます.

ポイント

軌跡の求め方

STEP1:求める軌跡の動点の座標を $(X,Y)$ とおく.

STEP2:与条件を $X$,$Y$ を用いて表現.

STEP3:$X$,$Y$ 以外の文字があれば消去.

STEP4:$X \to x$,$Y \to y$ としたものが求める軌跡の方程式(定義域や除外点等に注意).軌跡はその図形を答える.

※ $X$,$Y$ でなく最初から小文字でおいても構わないのですが,大文字で解いていくと複雑な問題が混乱しにくくてオススメです.


軌跡を求めよとある場合,その図形の形状を特定できるように答えます.

軌跡の方程式を求めよとある場合,そのまま軌跡が満たす数式を答えます.

注意点

STEP2で,与条件を $X$,$Y$ を用いて表現するときに同値性を保つようにします.つまり

与条件 $\Longleftrightarrow$ 軌跡の方程式

であること(必要十分条件であること)を意識します.

例題と練習問題

例題

例題

次の条件を満たす点 $\rm P$ の軌跡を求めよ.

(1) 点 $\rm A(0,0)$,点 $\rm B(12,0)$ に対して $\rm AP^{2}+BP^{2}=122$ を満たす点 $\rm P$

(2) $a\geqq 2$ のとき,$y=-x^{2}+ax+4a$ の頂点 $\rm P$


講義

例題では上の軌跡の求め方に従って各STEPの段階がわかるように書いてみます.(1)はSTEP3がありません.


解答

(1)

STEP1

${\rm P}(X,Y)$ とおく

STEP2

$\rm AP^{2}+BP^{2}=122$

$\Longleftrightarrow \ X^{2}+Y^{2}+(X-12)^{2}+Y^{2}=122$

$\Longleftrightarrow \ X^{2}-12X+Y^{2}+11=0$

STEP3

なし

STEP4

求める軌跡は, $\boldsymbol{x^{2}-12x+y^{2}+11=0}$

※ 他の答え方として,中心が $\boldsymbol{(6,0)}$,半径 $\boldsymbol{5}$ の円 などのように,図形が特定できればOKです.


(2)

STEP1

${\rm P}(X,Y)$ とおく

STEP2

$y=-\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\dfrac{a^2}{4}$ より,頂点が $\rm P$ なので

$\begin{cases}X=\dfrac{a}{2} \ \ (a\geqq2 \ \Longleftrightarrow \ X\geqq1)\\ Y=\dfrac{a^2}{4}+4a\end{cases}$

STEP3

$Y=\dfrac{a^2}{4}+8\cdot \dfrac{a}{2}=X^{2}+8X$ $(X\geqq1)$

STEP4

求める軌跡は,放物線 $\boldsymbol{y=x^{2}+8x \ (x\geqq1)}$

※ このように定義域が限定されている場合があるので注意します.


実際の答案では当たり前ですがどこのSTEPかを書く必要がないので,練習問題の解答は通常の答案にします.

練習問題

練習

次の条件を満たす点 $\rm P$ の軌跡を求めよ.

(1) $2$ 点 $\rm A(-4,0)$,点 $\rm B(1,0)$ からの距離の比が $3:2$ である点 $\rm P$ の軌跡を求めよ.

(2) $2$ 点 $\rm A(-4,0)$,点 $\rm B(4,0)$ としたとき $\rm AP+BP=10$ を満たす点 $\rm P$ の軌跡の方程式を求めよ.

(3) $2$ 点 $\rm A(5,3)$,点 $\rm B(-4,3)$ と円 $x^{2}+y^{2}=25$ 上の動点 $\rm Q$ とでできる,$\triangle \rm ABQ$ の重心 $\rm P$ の軌跡を求めよ.

練習の解答