軌跡の求め方
タイプ：教科書範囲 レベル：★★★
軌跡の求め方について解説します．このページのみで基本的な問題を扱います．
軌跡の求め方
軌跡とは
軌跡とは，与えられた条件を満たす点が動いてできる図形(集合)のことをいいます．
ポイント
軌跡の求め方
STEP1：求める軌跡の動点の座標を $(X,Y)$ とおく．
STEP2：与条件を $X$，$Y$ を用いて表現．
STEP3：$X$，$Y$ 以外の文字があれば消去．
STEP4：$X \to x$，$Y \to y$ としたものが求める軌跡の方程式(定義域や除外点等に注意)．軌跡はその図形を答える．
※ $X$，$Y$ でなく最初から小文字でおいても構わないのですが，大文字で解いていくと複雑な問題が混乱しにくくてオススメです．
軌跡を求めよとある場合，その図形の形状を特定できるように答えます．
軌跡の方程式を求めよとある場合，そのまま軌跡が満たす数式を答えます．
注意点
STEP2で，与条件を $X$，$Y$ を用いて表現するときに同値性を保つようにします．つまり
与条件 $\Longleftrightarrow$ 軌跡の方程式
であること(必要十分条件であること)を意識します．
例題と練習問題
例題
例題
次の条件を満たす点 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
(1)点 $\rm A(0,0)$，点 $\rm B(12,0)$ に対して $\rm AP^{2}+BP^{2}=122$ を満たす点 $\rm P$
(2) $a\geqq 2$ のとき，$y=-x^{2}+ax+4a$ の頂点 $\rm P$
講義
例題では上の軌跡の求め方に従って各STEPの段階がわかるように書いてみます．(1)はSTEP3がありません．
解答
(1)
STEP1
${\rm P}(X,Y)$ とおく
STEP2
$\rm AP^{2}+BP^{2}=122$
$\Longleftrightarrow \ X^{2}+Y^{2}+(X-12)^{2}+Y^{2}=122$
$\Longleftrightarrow \ X^{2}-12X+Y^{2}+11=0$
STEP3
なし
STEP4
求める軌跡は，円 $\boldsymbol{x^{2}-12x+y^{2}+11=0}$
※ 他の答え方として，中心が $\boldsymbol{(6,0)}$，半径 $\boldsymbol{5}$ の円 などのように，図形が特定できればOKです．
(2)
STEP1
${\rm P}(X,Y)$ とおく
STEP2
$y=-\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\dfrac{a^2}{4}$ より，頂点が $\rm P$ なので
$\begin{cases}X=\dfrac{a}{2} \ \ (a\geqq2 \ \Longleftrightarrow \ X\geqq1)\\ Y=\dfrac{a^2}{4}+4a\end{cases}$
STEP3
$Y=\dfrac{a^2}{4}+8\cdot \dfrac{a}{2}=X^{2}+8X$ $(X\geqq1)$
STEP4
求める軌跡は，放物線 $\boldsymbol{y=x^{2}+8x \ (x\geqq1)}$
※ このように定義域が限定されている場合があるので注意します．
実際の答案では当たり前ですがどこのSTEPかを書く必要がないので，練習問題の解答は通常の答案にします．
練習問題
練習
次の条件を満たす点 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
(1) $2$ 点 $\rm A(-4,0)$，点 $\rm B(1,0)$ からの距離の比が $3:2$ である点 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
(2) $2$ 点 $\rm A(-4,0)$，点 $\rm B(4,0)$ としたとき $\rm AP+BP=10$ を満たす点 $\rm P$ の軌跡の方程式を求めよ．
(3) $2$ 点 $\rm A(5,3)$，点 $\rm B(-4,3)$ と円 $x^{2}+y^{2}=25$ 上の動点 $\rm Q$ とでできる，$\triangle \rm ABQ$ の重心 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
練習の解答
