楕円の定義と基本性質
2次曲線(教科書範囲) ★★
楕円の定義と基本性質，媒介変数表示等の重要事項をこのページで総整理します．
楕円の接線の方程式はこちらでは扱いません．
楕円の定義と基本性質
楕円と焦点の定義
異なる $2$ 定点 $\rm F$，$\rm F'$ までの距離の和が一定である点 $\rm P$ の軌跡を楕円といい，$2$ 定点 $\rm F$，$\rm F'$ を焦点という．
※ 他に離心率や円錐の切断で定義する方法もありますが，大学受験という観点ではこちらの方が重要です．
楕円で重要なのが定義です．
この定義から楕円の方程式，各種性質を導きます．
以下で焦点が $x$ 軸上にあるとき，$y$ 軸上にあるとき順に言及します．
楕円の方程式と基本性質(焦点が $x$ 軸上にあるとき)
中心が原点，焦点までの距離の和が $2a$ である楕円の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}$ $\boldsymbol{(a > b >0)}$
で表せ，これを標準形という．
焦点の座標：$\boldsymbol{(\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}},0)}$
長軸の長さ：$\boldsymbol{2a}$ 短軸の長さ：$\boldsymbol{2b}$
焦点までの距離の和：$\boldsymbol{2a}$
楕円の方程式と焦点の座標の導出
楕円の方程式と焦点の座標の導出
焦点を ${\rm F}(c,0)$，${\rm F'}(-c,0)$ とおくと，${\rm PF + PF'}=2a$ より
$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a$
$\Longleftrightarrow \ \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
両辺 $2$ 乗して
$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+(x+c)^{2}+y^{2}$
$\Longleftrightarrow \ 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx$
$\Longleftrightarrow \ a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx$
両辺 $2$ 乗して
$a^{2}(x+c)^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}$
$\Longleftrightarrow \ (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$
$a>c$ より，$a^{2}-c^{2}=b^{2}$ とおくと
$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$
求める軌跡(楕円)の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}$
と表せる．焦点の座標は $c^{2}=a^{2}-b^{2} \ \Longleftrightarrow \ c=\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ より
$\boldsymbol{(\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}},0)}$
続いて，焦点が $y$ 軸上にあるときです．導出は上と同様なので割愛します．
楕円の方程式と基本性質(焦点が $y$ 軸上にあるとき)
中心が原点，焦点までの距離の和が $2b$ である楕円の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}$ $\boldsymbol{(b > a >0)}$
で表せ，これを標準形という．
焦点の座標：$\boldsymbol{(0,\pm\sqrt{b^{2}-a^{2}})}$
長軸の長さ：$\boldsymbol{2b}$ 短軸の長さ：$\boldsymbol{2a}$
焦点までの距離の和：$\boldsymbol{2b}$
中心が原点でない楕円
楕円 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフを $C'$ とする．$C$ 上の点を $(X,Y)$，これで移される $C'$ 上の点を $(x,y)$ とすると
$\begin{cases}X+p=x \ \Longleftrightarrow \ X=x-p\\ Y+q=y \ \Longleftrightarrow \ Y=y-q\end{cases}$
$\dfrac{X^2}{a^2}+\dfrac{Y^2}{b^2}=1$ より，$C'$ の方程式は
$C':\dfrac{(x-p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-q)^2}{b^2}=1$
これは中心が $(p,q)$ の楕円になります．
楕円の媒介変数表示と面積
単位円 $x^{2}+y^{2}=1$ の媒介変数表示は，三角関数の定義より
$\begin{cases}x=\cos\theta \\ y=\sin\theta \end{cases}$
とできますね．楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に関しては
$\begin{cases}\dfrac{x}{a}=\cos\theta \\ \dfrac{y}{b}=\sin\theta \end{cases}$
とできるので，媒介変数表示は以下のようになります．
楕円の媒介変数表示
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の媒介変数表示は
$\begin{cases}\boldsymbol{x=a\cos\theta} \\ \boldsymbol{y=b\sin\theta} \end{cases}$
この媒介変数表示を利用することで，楕円上の点を $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ と $\theta$ の $1$ 変数でおけることにメリットがあります．
これより，楕円は単位円を $x$ 軸方向に $a$ 倍，$y$ 軸方向に $b$ 倍拡大したものであるとわかるので，楕円の面積は以下のようになります．
楕円の面積
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の面積 $S$ は
$\boldsymbol{S=ab\pi}$
例題と練習問題
例題
例題
(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点の座標および長軸の長さ，短軸の長さ，面積を求めよ．また概形をかけ．
(2) $2$ 点 $(4,0)$，$(-4,0)$ を焦点とし，焦点までの距離の和が $10$ である楕円の方程式を求めよ．
(3) 楕円 $x^{2}+4y^{2}-4x-8y+4=0$ の焦点の座標および長軸の長さ，短軸の長さを求めよ．
(4) 楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上の $2$ 定点を ${\rm A}(-4,0)$，${\rm B}(0,3)$ とする．直線 $\rm AB$ と動転 $\rm P$ の距離 $d$ の最大値を求めよ．
講義
(1)と(2)は楕円の定義と基本性質を使います．(3)は平方完成して標準形を平行移動した形にします．(4)は $\rm P$ の座標を媒介変数で表します．
解答
(1)
焦点は $\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$ より，座標は $\boldsymbol{(\sqrt{7},0)，(-\sqrt{7},0)}$．長軸は $\boldsymbol{8}$，短軸は $\boldsymbol{6}$，面積は $\boldsymbol{12\pi}$．
概形は
(2)
楕円を $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a > b >0)$ とおくと
$\begin{cases}\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4 \\ 2a=10 \end{cases}$
これを解くと $a=5$，$b=3$ より，求める楕円の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1}$
※ 軌跡の問題として解いて導くことも可能ですが少し大変です．
(3)
$x^{2}+4y^{2}-4x-8y+4=0$
$\Longleftrightarrow \ (x-2)^{2}+4(y-1)^{2}=4$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{(x-2)^{2}}{4}+(y-1)^{2}=1$
中心の座標が $(2,1)$ なので，焦点の座標は $\boldsymbol{(2+\sqrt{3},1)，(2-\sqrt{3},1)}$．長軸は $\boldsymbol{4}$，短軸は $\boldsymbol{2}$．
(4)
$\rm P$ の座標を $(4\cos\theta,3\sin\theta)$ $(0\leqq \theta < 2\pi)$ とおく．
直線 $\rm AB$ は
$y=\dfrac{3}{4}x+3 \ \Longleftrightarrow \ 3x-4y+12=0$
直線 $\rm AB$ と $\rm P$ との距離 $d$ は
$d$
$=\dfrac{|12\cos\theta-12\sin\theta+12|}{5}$ ←点と直線の距離
$=\dfrac{12}{5}\left|\sqrt{2}\left(\cos\theta \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\sin\theta \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+1\right|$ ←三角関数の合成
$=\dfrac{12}{5}\left|\sqrt{2}\left(\cos\theta\cos \dfrac{\pi}{4}-\sin\theta \sin\dfrac{\pi}{4}\right)+1\right|$
$=\dfrac{12}{5}\left|\sqrt{2}\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)+1\right|$
$\theta=\dfrac{7}{4}\pi$ のとき最大値 $\boldsymbol{\dfrac{12\sqrt{2}+12}{5}}$
※ もちろん $\sin$ で合成でもOKです．
練習問題
練習
(1) 楕円 $25x^{2}+9y^{2}+50x-36y-164=0$ の焦点の座標および長軸の長さ，短軸の長さを求めよ．
(2) 楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ の $2$ 定点を ${\rm A}(0,-2)$，${\rm B}(3,0)$ とする．動転 $\rm P$ を頂点とする $\triangle {\rm PAB}$ の面積の最大値を求めよ．
(3) $k$ は定数とする．楕円 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ と直線 $x+\sqrt{3}=ky$ の共有点を $\rm P$，$\rm P'$ とする．また楕円の $2$ つの焦点を ${\rm F}(\sqrt{3},0)$，${\rm F}'(-\sqrt{3},0)$ とする．$\triangle {\rm PP'F}$ の周りの長さを求めよ．
練習の解答
(1)
$25x^{2}+9y^{2}+50x-36y-164=0$
$\Longleftrightarrow \ 25(x+1)^{2}+9(y+2)^{2}=225$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{(x+1)^{2}}{9}+\dfrac{(y-2)^{2}}{25}=1$
中心の座標が $(-1,2)$ なので，焦点の座標は $\boldsymbol{(-1,6)，(-1,-2)}$．長軸は $\boldsymbol{10}$，短軸は $\boldsymbol{6}$．
(2)
$\rm P$ の座標を $(3\cos\theta,2\sin\theta)$ $(0\leqq \theta < 2\pi)$ とおく．
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=(3,2)$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=(3\cos\theta,2\sin\theta+2)$ より
$\displaystyle \triangle{\rm PAB}$
$=\dfrac{1}{2}\left|3(2\sin\theta+2)-2\cdot3\cos\theta\right|$ ←面積公式
$=\left|3\sin\theta-3\cos\theta+3\right|$
$=\left|3\sqrt{2}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)+3\right|$
$\theta=\dfrac{3}{4}\pi$ のとき最大値 $\boldsymbol{3\sqrt{2}+3}$
(3) 出典：2015北里大医学部改
$k$ がどんな値でも直線は $(-\sqrt{3},0)$ すなわち ${\rm F}$ を通る．
楕円の定義より
${\rm PF'+PF}=4$，${\rm P'F+P'F'}=4$
より $\triangle {\rm PP'F}$ の周りの長さは
${\rm PF'+P'F'+P'F+PF}=\boldsymbol{8}$