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高校数学でよく使う三角形の面積公式まとめ

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

数学Bまでで,大学受験で最低限必要な三角形の面積公式が揃いますので,以下にまとめます.







高校数学で必要な三角形の面積公式まとめ

ポイント

高校数学で必要な三角形の面積公式まとめ

三角形の面積

三角形の面積を$S$,図のように$\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ (平面ベクトルのときは$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_{1},a_{2})$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_{1},b_{2})$)をとると

$S=$ $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\sin\theta}$ ←数Iの公式

 $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$

 $=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}}$ (平面,空間共用)

 ↓以下平面のとき

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^2}$

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2}$

 $=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|}$ (平面専用)



数Iの公式も含めれば全部で3つ.ばらばらに覚えるのではなくて,1連の流れとして覚えるとお互いの記憶がより強固になると思います.ちなみに一番下の公式は平面のみ簡潔に表現できるので公式として存在していて,空間の場合はここまで綺麗になりません.


これ以外は

これ以外には3辺の長さが既知のときのヘロンの公式が思い浮かびますが,3辺が自然数のときしか使いにくい点と,覚え間違えリスクとリターンの関係から考えて個人的には必要だとは思っていません.




練習問題

練習

(1) ${\rm A}(-2,3)$,${\rm B}(0,-4)$,${\rm C}(6,2)$とするとき,$\triangle{\rm ABC}$の面積を求めよ.

(2) ${\rm A}(1,0,3)$,${\rm B}(-1,3,-1)$,${\rm C}(5,1,9)$とするとき,$\triangle{\rm ABC}$の面積を求めよ.

練習の解答



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