三角形の面積公式まとめ
平面，空間ベクトル(教科書範囲) ★★
平面，空間ベクトル共通ページです．
ベクトルまで学習すると高校数学で必要な三角形の面積公式が出揃いますので，それについて扱います．
平面ベクトル，空間ベクトルともに概念は同じです．平面ベクトル勉強中の場合は1章，2章のみご参照ください．
三角形の面積公式まとめ(平面，空間ベクトル共通)
三角形の面積が
底辺 $\times$ 高さ $\times \ \dfrac{1}{2}$
であるのは不変の事実ですが，三角比を用いた表現を数学Ⅰで学習し，それを変形することでベクトルで表現することもできるようになります．
以下にまとめます．
三角形の面積公式まとめ
三角形の面積を $S$，図のように $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ をとると
$S=\boldsymbol{\color{red}{\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\sin\theta}}$ ←三角比の面積公式
$=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$
$=\color{red}{\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}}}$ (平面，空間共用)
↓以下平面 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$ のとき
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^2}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|}$ (平面専用)
※ 最後の式変形は $\sqrt{A^2}=|A|$ (√A²の外し方)
※ 空間ベクトルの成分を代入しても簡単な表現にならず，公式化していません．
ばらばらに覚えるのではなくて，1連の流れとして覚えるとお互いの記憶がより強固になると思います．
平面で座標設定されていない，または空間の場合，$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}$ を使うのがオススメです．
平面で座標設定されている場合，$S=\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ を使うのがオススメです．
これ以外は
3辺の長さが既知のときはヘロンの公式を使わず，3辺既知の三角形の面積の出し方を参照ください．
例題と練習問題(平面ベクトル)
例題
例題
${\rm A}(3,11)$，${\rm B}(-1,2)$，${\rm C}(8,1)$とするとき，$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ．
講義
$xy$ 平面で座標が分かっているときはベクトルを出し $S=\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ を使い，それ以外は $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}$ を使うと楽です．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}-4 \\ -9 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\begin{pmatrix}5 \\ -10 \end{pmatrix}$ より
$\displaystyle \triangle{\rm ABC}=\dfrac{1}{2}|(-4)(-10)-(-9)5|=\boldsymbol{\dfrac{85}{2}}$
※ $△$${\rm ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC})^{2}}$ を使うと面倒です．
練習問題
練習
(1) ${\rm A}(-2,3)$，${\rm B}(0,-4)$，${\rm C}(6,2)$とするとき，$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ．
(2) $\triangle{\rm ABC}$ において，$\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とする．$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=4$，$|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|=2\sqrt{19}$，$|2\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|=7$ であるとき，$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ．
解答
(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\begin{pmatrix}8 \\ -1\end{pmatrix}$ より
$\displaystyle \triangle{\rm ABC}=\dfrac{1}{2}|2(-1)-(-7)8|=\boldsymbol{27}$
(2) 出典：2019帝京大医学部
$|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=16+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+4|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=76$
$|2\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=64+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=49$
辺々引くと
$-48+3|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=27$
$\therefore \ |\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=25$，$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=-10$
これより
$\displaystyle \triangle{\rm ABC}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b})^{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{16\cdot 25-(-10)^{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{300}$
$\displaystyle =\boldsymbol{5\sqrt{3}}$
例題と練習問題(空間ベクトル)
例題
例題
${\rm A}(1,0,-1)$，${\rm B}(0,1,-2)$，${\rm C}(4,1,0)$ とするとき，$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ．
講義
空間では $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}$ を使います．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ より
$\displaystyle \triangle{\rm ABC}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC})^{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{3\cdot 11-(-3)^{2}}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\sqrt{6}}$
練習問題
練習
${\rm A}(1,0,3)$，${\rm B}(-1,3,-1)$，${\rm C}(5,1,9)$ とするとき，$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=\begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$ より
$\displaystyle \triangle{\rm ABC}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC})^{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{29\cdot 53-(-29)^{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{29\cdot 24}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\sqrt{174}}$