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高校数学でよく使う三角形の面積公式まとめ

ベクトル(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

数学Bのベクトルまでで,大学受験で最低限必要な三角形の面積公式が揃いますので,以下にまとめます.

空間ベクトルまで既習だとこのページがすべて理解できます.



高校数学で必要な三角形の面積公式まとめ

ポイント

高校数学で必要な三角形の面積公式まとめ

三角形の面積

三角形の面積を$S$,図のように$\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ (平面ベクトルのときは$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_{1},a_{2})$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_{1},b_{2})$)をとると

$S=\boldsymbol{\color{red}{\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\sin\theta}}$ ←数Iの公式

 $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$

 $=\color{red}{\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}}}$ (平面,空間共用)

↓以下平面のとき

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^2}$

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2}$

 $=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|}$ (平面専用)

※最後の式変形は $\sqrt{A^2}=|A|$ (√A²の外し方)


ばらばらに覚えるのではなくて,1連の流れとして覚えるとお互いの記憶がより強固になると思います.ちなみに一番下の公式は平面のみ簡潔に表現できるので公式として存在していて,空間の場合はここまで綺麗になりません.

これ以外は

3辺の長さが既知のときはヘロンの公式を使わず,3辺既知の三角形の面積の出し方を参照ください.

例題と練習問題

例題

例題

${\rm A}(3,11)$,${\rm B}(-1,2)$,${\rm C}(8,1)$とするとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ.


講義

$xy$ 平面で座標が分かっているときは $\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ を使い,それ以外は $\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}$ を使うと楽です.


解答

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=(-4,-9)$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=(5,-10)$ より

 $\displaystyle \triangle{\rm ABC}=\dfrac{1}{2}|(-4)(-10)-(-9)5|=\boldsymbol{\dfrac{85}{2}}$

※ $△$${\rm ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC})^{2}}$ を使うと面倒です.

練習問題

練習

(1) ${\rm A}(-2,3)$,${\rm B}(0,-4)$,${\rm C}(6,2)$とするとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ.

(2) ${\rm A}(1,0,3)$,${\rm B}(-1,3,-1)$,${\rm C}(5,1,9)$ とするとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ.

(3) $\triangle{\rm ABC}$ において,$\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とする.$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=4$,$|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|=2\sqrt{19}$,$|2\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|=7$ であるとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ.

解答

(1) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=(2,-7)$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=(8,-1)$ より

 $\displaystyle \triangle{\rm ABC}=\dfrac{1}{2}|2(-1)-(-7)8|=\boldsymbol{27}$


(2) $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=(-2,3,-4)$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=(4,1,6)$ より

 $\displaystyle \triangle{\rm ABC}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC})^{2}}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{29\cdot 53-(-29)^{2}}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{29\cdot 24}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\sqrt{174}}$


(3) 出典:2019帝京大医学部

 $|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=16+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+4|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=76$

 $|2\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=64+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=49$

辺々引くと

$-48+3|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=27$

$\therefore \ |\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=25$,$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=-10$

これより

 $\displaystyle \triangle{\rm ABC}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b})^{2}}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{16\cdot 25-(-10)^{2}}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sqrt{300}$

$\displaystyle =\boldsymbol{5\sqrt{3}}$