おいしい数学HOMEへのリンク

3辺既知の三角形の面積の求め方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

3辺の長さが既知,すなわち3辺の長さが与えられた三角形の面積の求め方を紹介します.

いくつか方法がありますが,余弦定理を使う方法について言及します.



3辺既知の三角形の面積の求め方

方法の種類

3辺既知の三角形の面積の求め方

Ⅰ 高さと底辺の片方を文字でおき,三平方の定理を使い連立方程式で解く(中学範囲).

余弦定理を使う.

Ⅲ ヘロンの公式を使う.


結論から言うと,Ⅱの余弦定理を使う方法が総合的に考えて1番メリットの多い方法です.

ヘロンの公式は3辺が自然数のときしか使いにくい点と,覚え間違えリスクが大きいので,普通に数学の試験を受けるという点では不要だと思いますので紹介しません.

ポイント

余弦定理を使う3辺既知の三角形の面積 $S$ の求め方

STEP1:余弦定理で $\cos A$ を出す.

STEP2:$\sin A \ \left(=\sqrt{1-\cos^{2}A}\right)$ を出す.

STEP3:$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$ で出す.

※ もちろん $A$ はどこの角でも構いません.


例題と練習問題

例題

例題

辺の長さが $4$,$5$,$6$ の三角形の面積 $S$ を求めよ.


講義

適当にどこかの角度を $\theta$ と設定して,余弦定理を使って $\cos \theta$ を出すところから始めます.


解答

例題(1)

図のように $\theta$ を設定すると,余弦定理より

$\cos\theta=\dfrac{4^{2}+5^{2}-6^{2}}{2\cdot4\cdot5}=\dfrac{1}{8}$

$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=\dfrac{63}{64}$

$\sin\theta>0$ より

$\sin\theta=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$

$\therefore \ S=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot5\sin \theta=\boldsymbol{\dfrac{15\sqrt{7}}{4}}$

練習問題

練習

辺の長さが $6$,$7$,$8$ の三角形の面積 $S$ を求めよ.

練習の解答