三角関数の合成
三角関数(教科書範囲) ★★★
三角関数の合成について扱います．
多くの高校生が苦手としてしまうパートで，それには理由があります．
合成の仕方は主に2通り
合成とは
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta +\alpha\right)$ のように1つの三角関数にまとめることを合成といいます．
検定教科書は $\sin$ にまとめることのみを言及していますが，$\cos$ にまとめることもできるので．こちらも言及します(例えば1998年センター試験，2021年共通テストで $\cos$ での合成が出題されています)．
合成とは，加法定理の逆の操作のことです．
三角関数の合成の仕方
Ⅰ しっかり変形して加法定理の逆で出す
Ⅱ 図を書いて素早く出す
以上のように2通り(どちらも本質は同じ)方法があります．
2通りあるので，教員や講師によって教え方がバラバラで(当然2通り教える場合もある)，生徒の方も解き方がばらけ易く混乱しやすいというのが苦手な人が多い原因だと思います．
図を書いて解くのはスピード重視で丸暗記になりやすいので，当サイトとしては，Ⅰの加法定理の逆で出す方法を全員必須のメインの方法として取り上げます．
Ⅱ 図を書いて素早く出す方法は混乱を防ぐため，Ⅰを習得した人の上級者向けという位置付けにしています．
合成の仕方(しっかり変形して加法定理の逆で出す)
三角関数の合成の仕方( $\sin$ への合成)
$a\sin\theta+b\cos\theta$
$=\color{red}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos\theta\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\sin\theta \cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\cos\theta \cdot \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\sin\theta \cos\alpha+\cos\theta \sin\alpha\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta +\alpha\right)$
手順
2行目：$\color{red}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ で全体を括る．強引に括りますが，必ず $2$ 乗の和が $1$ となる分数 $\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ と $\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ が出てきます．
3行目：並び替え．
4行目：$\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\cos\alpha$，$\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sin\alpha$ とできるような偏角 $\alpha$ を探して変形(加法定理の結果になるように)．
5行目：まさに加法定理の逆で $\sin$ にまとめます．
おまけ：$\cos$ への合成
臨機応変に問題を解くために，$\cos$ への合成も下で紹介します．上の変形の4行目で $\cos$ の加法定理の結果にするだけです．
$\cos$ への合成
三角関数の合成の仕方( $\cos$ への合成)
$a\sin\theta+b\cos\theta$
$=\color{red}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos\theta\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\cos\theta \cdot \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\sin\theta \cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\cos\theta \cos\alpha+\sin\theta \sin\alpha\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\left(\theta -\alpha\right)$
例題と練習問題
例題
例題
次の式を，$r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r > 0$，$-\pi < \alpha < \pi$ とする．
(1) $\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$
(2) $\sin\theta-\cos\theta$
講義
上の手順に従うのみです．$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ で強引に括るのが第1歩です．
解答
(1) $\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$
$=\color{red}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta\right)$ ←強引に括る
$=2\left(\sin\theta\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\cdot\dfrac{1}{2}\right)$ ←並び替え
$=2\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ ←加法定理の結果になるような角を探す
$=\boldsymbol{2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}$
(2) $\sin\theta-\cos\theta$
$=\color{red}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)$ ←強引に括る
$=\sqrt{2}\left(\sin\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\cos\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ←並び替え
$=\sqrt{2}\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ ←加法定理の結果になるような角を探す
$=\boldsymbol{\sqrt{2}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}$
練習問題
練習1
(1) $\sqrt{2}\sin\theta+\sqrt{2}\cos\theta$ を，$r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi < \alpha < \pi$ とする．
(2) $\sqrt{2}\cos\theta-\sqrt{6}\sin\theta$ を，$r\cos(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi < \alpha < \pi$ とする．
練習2
$y=3\cos x+4\sin x$ $(0\leqq x\leqq \pi)$ の最大値，最小値をそれぞれ求めよ．
練習1の解答
(1) $\sqrt{2}\sin\theta+\sqrt{2}\cos\theta$
$=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\right)$
$=2\left(\sin\theta\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos\theta\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$=2\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=\boldsymbol{2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)}$
(2) 出典：1998センター試験改
$\sqrt{2}\cos\theta-\sqrt{6}\sin\theta$
$=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\right)$
$=2\sqrt{2}\left(\cos\theta\cdot\dfrac{1}{2}-\sin\theta\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$=2\sqrt{2}\left(\cos\theta\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\theta\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
$=\boldsymbol{2\sqrt{2}\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)}$
練習2の解答
合成しないと手に負えません．
式の順番的に，$\cos$ での合成で解いてみます( $\sin$ で合成でもOKです)．
$y$
$=3\cos x+4\sin x$
$=5\left(\cos x \cdot\dfrac{3}{5}+\sin x \cdot\dfrac{4}{5}\right)$
$=5\left(\cos x \cos\alpha+\sin x \sin\alpha\right)$
$=5\cos\left(x-\alpha\right)$ とおく．ただし $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$，$\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$．$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$．
$0\leqq x\leqq \pi \Longleftrightarrow -\alpha \leqq x-\alpha \leqq \pi-\alpha$．また $-\dfrac{\pi}{2}<-\alpha<0$，$\dfrac{\pi}{2}<\pi-\alpha<\pi$ より
$x-\alpha=0 \Longleftrightarrow x=\alpha$ のとき最大値 $\boldsymbol{5}$
$x-\alpha=\pi-\alpha \Longleftrightarrow x=\pi$ のとき最小値 $\boldsymbol{-3}$
おまけ；図を書いて素早く出す方法
この方法は理屈も伴っていてスピードが速いのですが，$\sin$ での合成限定です．
高校や予備校の先生がこの方法をメインの方法として教える可能性があるので注意してください．
当サイトとしてはこの解法は丸暗記になりがちなので，上の解法が理解できている得意な人のみオススメしています．
三角関数の合成の仕方(図を書いて素早く出す)
$\color{red}{a}\sin\theta+\color{blue}{b}\cos\theta$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta +\color{green}{\alpha}\right)$
$\color{green}{\alpha}$ は座標平面上の点 $(\color{red}{a},\color{blue}{b})$ と原点とのなす角
なぜこの考えで出せるのか
$\color{red}{a}\sin\theta+\color{blue}{b}\cos\theta$
$=\color{red}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\alpha}\sin\theta+\color{blue}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\alpha}\cos\theta$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\sin\theta \cos\alpha+\cos\theta \sin\alpha\right)$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta +\color{green}{\alpha}\right)$
※数学Ⅲの複素数平面を勉強した人であれば，$\color{red}{a}$ と $\color{blue}{b}$ を極形式で表したということになります．
例題
例題
次の式を，$r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r > 0$，$-\pi < \alpha < \pi$ とする．
(1) $\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$
(2) $\sin\theta-\cos\theta$
講義
上の例題と問題は同じです．図を書いて解きます．
解答
(1)
$\color{red}{\sqrt{3}}\sin\theta+\color{blue}{1}\cos\theta$
$=\boldsymbol{2\sin\left(\theta+\color{green}{\dfrac{\pi}{6}}\right)}$
(2)
$\color{red}{1}\sin\theta+\color{blue}{(-1)}\cos\theta$
$=\sqrt{2}\sin\left\{\theta+\color{green}{\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)}\right\}$
$=\boldsymbol{\sqrt{2}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}$