ベクトルの内積

平面，空間ベクトル(教科書範囲)　★★

平面，空間ベクトル共通ページです．

ベクトルの内積を紹介します．突然登場する概念でここからベクトルが苦手になる人が多い印象です．このページで定義，成分表示，性質等一通り扱います．

平面ベクトル，空間ベクトルともに概念は同じです．平面ベクトル勉強中の場合は1章，3章のみご参照ください．

ベクトルの内積(平面ベクトル)

今までベクトルの演算，ベクトルの成分では，ベクトルの和を考えてきました．ここでベクトルに積はないのか？と思った方も多いと思います．

例えば $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$ の成分同士をかけた $\begin{pmatrix}a_{1}b_{1} \\ a_{2}b_{2}\end{pmatrix}$ を積として定義していいかもしれませんが，特にここから発展して作れる有用な定理が少ないはずで，これを新しい概念として取り上げません．

代わりの積のような概念として，以下に内積の定義を紹介します．

ポイント

ベクトルの内積の定義

大きさが $0$ でない $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ の始点同士を繋いでできるなす角を $\theta$ とする．内積 $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$ を

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta}$

で定義する．

※ $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ または $\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のときは $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=0$ とする．

※ $\theta$ の範囲は $0\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ です．

内積はベクトルではなく実数値(スカラー)であることに注意します．

ベクトルでは今後図形の問題を解いていきますが，その際に垂直や垂線が多数登場します．垂直であると $0$ になる指標があると便利で，有用な定理も多く作れます．

つまり

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a} \perp \overrightarrow{\mathstrut b} \ \Longrightarrow \ \overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos90^{\circ}=0}$

垂直ならば内積が $0$ になります．

ポイント

内積の成分表示

$\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$ とすると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}$

証明

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cdot \dfrac{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-|\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}}{2|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|}$　←余弦定理

$=\dfrac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}-\{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}\}}{2}$

$=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

内積を成分で表すと上のように綺麗に表現できます．

今後内積を多用するので，次では内積の性質を整理します．

ポイント

内積の性質

Ⅰ $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}$

Ⅱ $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$

Ⅲ $(k\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(k\overrightarrow{\mathstrut b})=k(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})$　( $k$ は実数)

Ⅳ $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c})=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

Ⅴ $(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot \overrightarrow{\mathstrut c}=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

※ Ⅳ，Ⅴを適用すると

$(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot (\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut d})=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut d}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut d}$

が示せるので，分配法則が適用できます．

証明

Ⅰ

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

$=|\overrightarrow{\mathstrut b}||\overrightarrow{\mathstrut a}|\cos\theta$

$=\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}$

Ⅱ

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut a}|\cos0$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$

以下 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix}$ とする．

Ⅲ

$(k\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}ka_{1} \\ ka_{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}=ka_{1}b_{1}+ka_{2}b_{2}$

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(k\overrightarrow{\mathstrut b})=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}kb_{1} \\ kb_{2}\end{pmatrix}=ka_{1}b_{1}+ka_{2}b_{2}$

$k(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})=k(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})=ka_{1}b_{1}+ka_{2}b_{2}$

$\therefore \ (k\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(k\overrightarrow{\mathstrut b})=k(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})$

Ⅳ，Ⅴ

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c})$

$=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{1}+c_{1} \\ b_{2}+c_{2}\end{pmatrix}$

$=a_{1}(b_{1}+c_{1})+a_{2}(b_{2}+c_{2})$

$=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}$

$=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

　$(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

$=\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{pmatrix}$

$=(a_{1}+b_{1})c_{1}+(a_{2}+b_{2})c_{2}$

$=a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}$

$=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

内積の性質の性質を用い，以下のベクトルの和の大きさの2乗はこの先頻出ですが，証明が理解できてない人が多いので，是非理解しておきましょう．

ポイント

ベクトルの和の大きさの2乗

$|\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}+2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$

証明

　$|\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$

$=(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot (\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})$　←内積の性質Ⅱ

$=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$　←分配法則

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}+2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$　←内積の性質Ⅱ，Ⅰ

例えば $|\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$ を出したければ，右辺の $\overrightarrow{\mathstrut b}$ に $(-2\overrightarrow{\mathstrut b})$ を代入して使います．

例題と練習問題(平面ベクトル)でこれらを使う練習をしていきます．

ベクトルの内積(空間ベクトル)

空間ベクトルでも，前章と同様です．

ポイント

ベクトルの内積の定義

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta}$

で定義する．

※ $\theta$ の範囲は $0\leqq\theta\leqq180^{\circ}$ です．

空間も平面と同じように

垂直ならば内積が $0$ になります．

ポイント

内積の成分表示

$\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{pmatrix}$ とすると

$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$

証明

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

$=\dfrac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}-\{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}\}}{2}$

$=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

空間の場合も内積を綺麗に表現できます．

内積の性質も平面と同様です．

ポイント

内積の性質

Ⅰ $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}$

Ⅱ $\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$

※ Ⅳ，Ⅴを適用すると

が示せるので，分配法則が適用できます．

証明

Ⅰ

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

$=|\overrightarrow{\mathstrut b}||\overrightarrow{\mathstrut a}|\cos\theta$

$=\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}$

Ⅱ

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut a}|\cos0$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$

以下 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2}\\ b_{3}\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2}\\ c_{3}\end{pmatrix}$ とする．

Ⅲ

$(k\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}ka_{1} \\ ka_{2} \\ ka_{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{pmatrix}=ka_{1}b_{1}+ka_{2}b_{2}+ka_{3}b_{3}$

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(k\overrightarrow{\mathstrut b})=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}kb_{1} \\ kb_{2} \\ kb_{3}\end{pmatrix}=ka_{1}b_{1}+ka_{2}b_{2}+ka_{3}b_{3}$

$k(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})=k(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})=ka_{1}b_{1}+ka_{2}b_{2}+ka_{3}b_{3}$

Ⅳ，Ⅴ

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c})$

$=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{1}+c_{1} \\ b_{2}+c_{2} \\ b_{3}+c_{3}\end{pmatrix}$

$=a_{1}(b_{1}+c_{1})+a_{2}(b_{2}+c_{2})+a_{3}(b_{3}+c_{3})$

$=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}$

$=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

　$(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

$=\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}\end{pmatrix}$

$=(a_{1}+b_{1})c_{1}+(a_{2}+b_{2})c_{2}+(a_{3}+b_{3})c_{3}$

$=a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}+b_{3}c_{3}$

$=\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}+\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut c}$

前章で扱ったベクトルの和の大きさの2乗はもちろん空間でもまったく同様です．

例題と練習問題(空間ベクトル)でこれらを使う練習をしていきます．

例題と練習問題(平面ベクトル)

例題

(1)1辺の長さが $2$ の正六角形がある．

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AF}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$ をそれぞれ求めよ．

(2) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}3 \\ -6 \end{pmatrix}$ のなす角 $\theta$ を求めよ．

(3) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}3 \\ -4 \end{pmatrix}$ に垂直で，大きさが $10$ であるベクトルを求めよ．

(4) $|\overrightarrow{\mathstrut a}|=2$，$|\overrightarrow{\mathstrut b}|=3$，$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b}=-1$ のとき，$|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|$ の値を求めよ．

講義

(1) 始点同士を揃えてなす角を判定することに注意します．

(3) 垂直なベクトルは2つあることに注意です．

(4) ベクトルの大きさはまず2乗して計算します．

解答

(1)

　$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AF}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}||\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}|\cos120^{\circ}$

$=2\cdot2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

$=\boldsymbol{-2}$

　$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$

$=\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AE}$

$=\boldsymbol{0}$　( $\therefore \ \angle {\rm BAE}=90^{\circ}$)

(2)

　$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$

$=2\cdot 3+1\cdot(-6)$

$=0$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=90^{\circ}}$

(3)

求めるベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$ とおくと，$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は垂直なので

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=3x-4y=0$

$\overrightarrow{\mathstrut b}$ の大きさが $10$ より

$|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=x^{2}+y^{2}=100$

解くと $x=\pm8$，$y=\pm6$ (複合同順)

求めるベクトルは $\boldsymbol{\begin{pmatrix}\boldsymbol{\pm8} \\ \boldsymbol{\pm6}\end{pmatrix}}$ (複合同順)

(4)

　$|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+4|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}$　←ベクトルの和の大きさの2乗

$=4-4+36$

$=36$

$\therefore \ \boldsymbol{|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|=6}$

練習問題

練習

(1)1辺の長さが $2$ の正六角形がある．

$\overrightarrow{\mathstrut \rm DA}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm BE}$ を求めよ．

(2) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}\sqrt{6}+\sqrt{2} \\ \sqrt{6}-\sqrt{2} \end{pmatrix}$ のなす角 $\theta$ を求めよ．

(3) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$ に垂直である単位ベクトルを求めよ．

(4) $|\overrightarrow{\mathstrut a}|=|\overrightarrow{\mathstrut b}|=1$，$|\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|=\sqrt{3}$ のとき，$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ．

(5) $\triangle {\rm OAB}$ の3辺の長さを $\rm{OA}=4$，$\rm{OB}=5$，$\rm{AB}=6$ とし，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とする．$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$ を求めよ．

練習の解答

(1)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm DA}=\begin{pmatrix}0 \\ 4 \end{pmatrix}$ とすれば $\overrightarrow{\mathstrut \rm BE}=\begin{pmatrix}2\sqrt{3} \\ -2 \end{pmatrix}$ より

　$\overrightarrow{\mathstrut \rm DA}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm BE}$

$=\begin{pmatrix}0 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\sqrt{3} \\ -2 \end{pmatrix}$

$=\boldsymbol{-8}$

(2)

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

より

$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot 4\cos\theta$

$\Longleftrightarrow \ \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=30^{\circ}}$

(3)

求めるベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$ とおくと，$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は垂直なので

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=x+2y=0$

$\overrightarrow{\mathstrut b}$ の大きさが $1$ より

$|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=x^{2}+y^{2}=1$

解くと $x=\pm \dfrac{2}{\sqrt{5}}$，$y=\mp \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ (複合同順)

求めるベクトルは $\boldsymbol{\begin{pmatrix}\boldsymbol{\pm \dfrac{2}{\sqrt{5}}} \\ \boldsymbol{\mp \dfrac{1}{\sqrt{5}}}\end{pmatrix}}$ (複合同順)

(4)

$|\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|=\sqrt{3}$ を両辺2乗すると

$|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}+2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=3$

$\therefore \ \overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta=\cos\theta=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=60^{\circ}}$

(5)

　$|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}|^{2}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$

$=25-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+16=36$

$\therefore \ \boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\dfrac{5}{2}}$

※ 余弦定理で $\cos {\rm \angle AOB}$ を出してから内積の定義で計算してもOKです．

例題と練習問題(空間ベクトル)

例題

(1)

1辺の長さが $1$ の立方体 $\rm ABCD-EFGH$ について，$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AF}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm EC}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$ をそれぞれ求めよ．

(2) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ の両方に垂直で，$z$ 成分が負である単位ベクトルを求めよ．

講義

本質的に平面と同様です．

解答

(1)

　$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AF}$

$=|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}||\overrightarrow{\mathstrut \rm AF}|\cos60^{\circ}$

$=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\boldsymbol{1}$

$\overrightarrow{\mathstrut \rm EC}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\1\end{pmatrix}$ とすれば $\overrightarrow{\mathstrut \rm AG}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ より

　$\overrightarrow{\mathstrut \rm EC}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AG}$

$=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\-1\end{pmatrix}$

$=\boldsymbol{1}$

※ 各頂点を座標設定し，ベクトルを成分表示すると内積が出しやすかったりします．

(2)

$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ の両方に垂直なベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}x \\ y \\ -1\end{pmatrix}$ とおくと

$\begin{cases}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut c}=-x+y-1=0 \\ \overrightarrow{\mathstrut b}\cdot \overrightarrow{\mathstrut c}=2x-y=0\end{cases}$

$\therefore \ x=1，y=2$

$\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$ より $|\overrightarrow{\mathstrut c}|=\sqrt{6}$ なので，求めるベクトルは

$\dfrac{1}{\sqrt{6}}\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\ \boldsymbol{\dfrac{2}{\sqrt{6}}}\\ \boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{6}}}\end{pmatrix}$

※ $z$ 成分を仮に $-1$ と指定したことにより，文字を少なくして垂直なベクトルを算出しやすくしたのがこの解き方の特徴です．最後に指定した大きさに調整すればいいだけです．

練習問題

練習

(1) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}-4 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}$ のなす角 $\theta$ を求めよ．

(2) $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$ の両方に垂直で，$x$ 成分が正である単位ベクトルを求めよ．

練習の解答

(1)

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

より

$12+6-4=\sqrt{14}\cdot \sqrt{56}\cos\theta$

$\Longleftrightarrow \ \cos\theta=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=60^{\circ}}$

(2)

$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ の両方に垂直ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}1 \\ y \\ z\end{pmatrix}$ とおくと

$\begin{cases}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut c}=1+2z=0 \\ \overrightarrow{\mathstrut b}\cdot \overrightarrow{\mathstrut c}=1-y+3z=0\end{cases}$

$\therefore \ z=y=-\dfrac{1}{2}$

$\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}1 \\ -\dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ より $|\overrightarrow{\mathstrut c}|=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ なので，求めるベクトルは

$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\overrightarrow{\mathstrut c}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{3}} \\ \boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}}{6}} \\ \boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}}{6}} \end{pmatrix}$

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