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複素数の極形式

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

複素数の極形式とそれを用いた計算について扱っていきます.



複素数の極形式での積と商

$2$ 次元の点の位置は $2$ つの成分で指定が可能です.複素数の場合,実部と虚部の値から位置を特定できました.

複素数 $z$ の位置を,原点 $\rm O$ までの距離 $r$ と実軸の正の部分からの回転角 $\theta$ の情報から定めることができます.ちなみに $\theta$ は弧度法を用いることが多く,$2\pi$ より大きくても負の値でも構いません.

複素数の極形式

$z=a+bi$ とした場合,図より $a=r\cos\theta$,$b=r\sin\theta$ となるので,$r>0$ として

$\boldsymbol{z=r(\cos\theta+i\sin\theta)}$

と表せます.これを $z$ の極形式といい,$\theta$ を $z$ の偏角といい,$\arg z$ で表します.まとめると

$r=|z|$,$\theta=\arg z$

となります.

共役複素数の極形式

複素数 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ の共役複素数 $\overline{z}$ は

 $\overline{z}$

$=r(\cos\theta-i\sin\theta)$

$=r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}$

つまり偏角が $-\theta$ になります.そもそも $z$ と $\overline{z}$ は実軸対象なので,図からも明らかです.

共役複素数の極形式

複素数の極形式での積と商

$2$ つの極形式で表した複素数 $z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})$,$z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$ の積は三角関数の加法定理を使うと

 $z_{1}z_{2}$

$=r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}$

となり,大きさはかけられ,偏角は足されることがわかります.

商に関しては

 $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$

$=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\{\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\}$

となり,大きさは割られ,偏角は引かれることがわかります.

証明はボタン内部に格納しましたが,一度導出してみることを推奨します.

ポイント

複素数の極形式での積と商

$z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})$,$z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$ とすると

$\boldsymbol{z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}}$

$\boldsymbol{\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\{\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\}}$

これより

$|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$,$\arg z_{1}z_{2}=\arg z_{1}+\arg z_{2}$

$\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$,$\arg \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$

が成り立つ.

証明

例題と練習問題

例題

例題

以下の問いに答えよ.ただし,偏角 $\theta$ は $0\leqq \theta<2\pi$ とする.

(1) $z=\sqrt{3}+i$ を極形式で表せ.

(2) $\alpha=\sqrt{3}+i$,$\beta=3+3i$ のとき,$\alpha\beta$,$\dfrac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表せ.


講義

極形式にするときは最初に大きさ(絶対値)で括り,実部と虚部をそれぞれ $\cos$ と $\sin$ で表します.


解答

(1)

 $z$

$=\sqrt{3}+i$

$=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$

$=\boldsymbol{2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)}$


(2)

 $\alpha=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$

 $\beta=3\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$

より

 $\alpha\beta$

$=6\sqrt{2}\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$

$=\boldsymbol{6\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5}{12}\pi+i\sin\dfrac{5}{12}\pi\right)}$

 $\dfrac{\alpha}{\beta}$

$=\dfrac{2}{3\sqrt{2}}\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\left\{\cos\left(-\dfrac{1}{12}\right)\pi+i\sin\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right\}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{3}\left(\cos\dfrac{23}{12}\pi+i\sin\dfrac{23}{12}\pi\right)}$

※ この問題は答えの偏角 $\theta$ が $0\leqq \theta<2\pi$ であることに注意します.

練習問題

練習

以下の問いに答えよ.ただし,偏角 $\theta$ は $0\leqq \theta<2\pi$ とする.

(1) $z=-2i$ を極形式で表せ.

(2) $\alpha=-3+\sqrt{3}i$,$\beta=2-2i$ のとき,$\alpha\beta$,$\dfrac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表せ.

練習の解答