複素数の極形式
複素数平面(教科書範囲) ★★
複素数の極形式とそれを用いた計算について扱います．
複素数の極形式での積と商
$2$ 次元の点の位置は $2$ つの成分で指定が可能です．複素数の場合，実部と虚部の値から位置を特定できました．
複素数 $z$ の位置を，原点 $\rm O$ までの距離 $r$ と実軸の正の部分からの回転角 $\theta$ の情報から定めることができます．ちなみに $\theta$ は弧度法を用いることが多く，$2\pi$ より大きくても負の値でも構いません．
$z=a+bi$ とした場合，図より $a=r\cos\theta$，$b=r\sin\theta$ となるので，$r>0$ として
$\boldsymbol{z=r(\cos\theta+i\sin\theta)}$
と表せます．これを $z$ の極形式といい，$\theta$ を $z$ の偏角といい，$\arg z$ で表します．まとめると
$r=|z|$，$\theta=\arg z$
となります．
共役複素数の極形式
複素数 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ の共役複素数 $\overline{z}$ は
$\overline{z}$
$=r(\cos\theta-i\sin\theta)$
$=r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}$ ←還元公式
つまり偏角が $-\theta$ になります．そもそも $z$ と $\overline{z}$ は実軸対象なので，図からも明らかです．
複素数の極形式での積と商
$2$ つの極形式で表した複素数 $z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})$，$z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$ の積は三角関数の加法定理を使うと
$z_{1}z_{2}$
$=r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}$
となり，大きさはかけられ，偏角は足されることがわかります．
商に関しては
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
$=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\{\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\}$
となり，大きさは割られ，偏角は引かれることがわかります．
証明は一度導出してみることを推奨します．
複素数の極形式での積と商
$z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})$，$z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$ とすると
$\boldsymbol{z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}}$
$\boldsymbol{\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\{\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\}}$
これより
$|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$，$\arg z_{1}z_{2}=\arg z_{1}+\arg z_{2}$
$\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$，$\arg \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$
が成り立つ．
証明
$z_{1}z_{2}$
$=r_{1}r_{2}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$
$=r_{1}r_{2}\{\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2})\}$
$=r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}$ ←加法定理
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
$=\dfrac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})}{r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})}$
$=\dfrac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})(\cos\theta_{2}-i\sin\theta_{2})}{r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})(\cos\theta_{2}-i\sin\theta_{2})}$
$=\dfrac{r_{1}\{\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2})\}}{r_{2}(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2})}$
$=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\{\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\}$ ←加法定理
これより
$|z_{1}z_{2}|=r_{1}r_{2}=|z_{1}||z_{2}|$
$\arg z_{1}z_{2}=\theta_{1}+\theta_{2}=\arg z_{1}+\arg z_{2}$
$\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}=\dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$
$\arg \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\theta_{1}-\theta_{2}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$
例題と練習問題
例題
例題
以下の問いに答えよ．ただし，偏角 $\theta$ は $0\leqq \theta<2\pi$ とする．
(1) $z=\sqrt{3}+i$ を極形式で表せ．
(2) $\alpha=\sqrt{3}+i$，$\beta=3+3i$ のとき，$\alpha\beta$，$\dfrac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表せ．
講義
極形式にするときは最初に大きさ(絶対値)で括り，実部と虚部をそれぞれ $\cos$ と $\sin$ で表します．
解答
(1)
$z$
$=\sqrt{3}+i$
$=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$
$=\boldsymbol{2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)}$
(2)
$\alpha=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\beta=3\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
より
$\alpha\beta$
$=6\sqrt{2}\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
$=\boldsymbol{6\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5}{12}\pi+i\sin\dfrac{5}{12}\pi\right)}$
$\dfrac{\alpha}{\beta}$
$=\dfrac{2}{3\sqrt{2}}\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\left\{\cos\left(-\dfrac{1}{12}\right)\pi+i\sin\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{3}\left(\cos\dfrac{23}{12}\pi+i\sin\dfrac{23}{12}\pi\right)}$
※ この問題は答えの偏角 $\theta$ が $0\leqq \theta<2\pi$ であることに注意します．
練習問題
練習
以下の問いに答えよ．ただし，偏角 $\theta$ は $0\leqq \theta<2\pi$ とする．
(1) $z=-2i$ を極形式で表せ．
(2) $\alpha=-3+\sqrt{3}i$，$\beta=2-2i$ のとき，$\alpha\beta$，$\dfrac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表せ．
解答
(1)
$z$
$=-2i$
$=\boldsymbol{2\left(\cos\dfrac{3}{2}\pi+i\sin\dfrac{3}{2}\pi\right)}$
(2)
$\alpha=2\sqrt{3}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=2\sqrt{3}\left(\cos\dfrac{5}{6}\pi+i\sin\dfrac{5}{6}\pi\right)$
$\beta=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=2\sqrt{2}\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
より
$\alpha\beta$
$=4\sqrt{6}\left\{\cos\left(\dfrac{5}{6}\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{5}{6}\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
$=\boldsymbol{4\sqrt{6}\left(\cos\dfrac{7}{12}\pi+i\sin\dfrac{7}{12}\pi\right)}$
$\dfrac{\alpha}{\beta}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\left\{\cos\left(\dfrac{5}{6}\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{5}{6}\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{2}\left(\cos\dfrac{13}{12}\pi+i\sin\dfrac{13}{12}\pi\right)}$
※ この問題は答えの偏角 $\theta$ が $0\leqq \theta<2\pi$ であることに注意します．