複素数の回転
複素数平面(教科書範囲) ★★★
複素数の回転や $2$ つの線分のなす角について扱います．
複素数や複素数平面を使うメリットが感じられる内容です．
複素数の回転と拡大
複素数の極形式での積で，例として複素数 $z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})$，$z_{2}=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ の積 $w$ を計算すると
$w$
$=2r_{1}\left\{\cos\left(\theta_{1}+\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\theta_{1}+\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$
となります．
この式から，$\boldsymbol{w}$ は $\boldsymbol{z_{1}}$ を原点を中心に $\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3}}$ 回転し，$\boldsymbol{2}$ 倍拡大したものであることがわかります．
これを一般化し，下でまとめます．
複素数の回転と拡大
$w$ は，$z$ を原点を中心に $\theta$ 回転，$r$ 倍拡大したものとすると
$\boldsymbol{w=zr (\cos\theta+i\sin\theta)}$
複素数はかけただけで，回転と拡大(縮小)の作用が得られることがわかりました．
原点以外での回転
回転は原点を中心にしかできません．原点以外での回転は，一度原点に全体を平行移動し，回転してから元に戻す作業をします．
$\beta$ を $\alpha$ を中心に $\theta$ 回転した複素数 $\gamma$ を求めたいとします．
$\alpha$ では回転できないので，全体を $-\alpha$ 平行移動します．すると，$\gamma-\alpha$ は $\beta-\alpha$ を原点を中心に $\theta$ 回転したものとみなせます．
$\gamma-\alpha=(\beta-\alpha)(\cos\theta+i\sin\theta)$
$\gamma-\alpha$ を出して，最後に $+\alpha$ してあげると $\gamma$ が出ます．
$\gamma=(\beta-\alpha)(\cos\theta+i\sin\theta)+\alpha$
原点以外での回転
$\beta$ を $\alpha$ を中心に $\theta$ 回転した複素数 $\gamma$ を出すには
全体を $\boldsymbol{-\alpha}$ して，$\boldsymbol{\beta-\alpha}$ を原点を中心に $\boldsymbol{\theta}$ 回転して $\boldsymbol{\gamma-\alpha}$ を出す．
例題と練習問題
例題
例題
$z=1+5i$ に関して以下の問いに答えよ．
(1) $z$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{6}$ 回転した点を表す複素数 $w_{1}$ を求めよ．
(2) $z$ を $\alpha=-2+4i$ を中心に $\dfrac{2}{3}\pi$ 回転した点を表す複素数 $w_{2}$ を求めよ．
講義
(1)は原点での回転なのでそのまま公式を使います．(2)は全体を $-\alpha$ してから回転します．
解答
(1)
$w_{1}$
$=z\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$
$=(1+5i)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}-5}{2}+\dfrac{1+5\sqrt{3}}{2}i}$
(2)
$z-\alpha$ を原点を中心に $\dfrac{2}{3}\pi$ 回転した点が $w_{2}-\alpha$ より
$w_{2}-\alpha$
$=(z-\alpha)\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi+i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right)$
$=(3+i)\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
$=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}i$
つまり
$w_{2}$
$=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}i+\alpha$
$=\boldsymbol{-\dfrac{7+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}+7}{2}i}$
練習問題
練習1
複素数平面において $3$ 点 $-1-i$，$6$，$z$ が正三角形の頂点であるとき，$z$ を求めよ．
練習2
$z=1+\sqrt{3}i$ とする．複素数平面上で $3$ 点 $z$，$z^2$，$z^3$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．
練習3
複素数平面において $\alpha=4-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}i$，$\beta=-2i$，$\gamma=2-i$ であるとき，$\angle\alpha\beta\gamma$ を求めよ．
練習1の解答
$6-(-1-i)$ を原点を中心に $\pm\dfrac{\pi}{3}$ 回転した点が $z-(-1-i)$ より
$z-(-1-i)$
$=(6-(-1-i))\left\{\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$
$=(7+i)\left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
$=\dfrac{7\mp\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pm7\sqrt{3}+1}{2}i$ (複号同順)
つまり
$z$
$=\boldsymbol{\dfrac{5\mp\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pm7\sqrt{3}-1}{2}i}$ (複号同順)
練習2の解答
$z$，$z^2$，$z^3$ を表す頂点をそれぞれ $\rm A$，$\rm B$，$\rm C$ とおく．
$z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ より $z$ をかけると原点を中心に $\dfrac{\pi}{3}$ 回転され，絶対値は $2$ 倍されるので図のようになる．
$\triangle{\rm ABC}$
$=\triangle{\rm AOB}+\triangle{\rm BOC}-\triangle{\rm AOC}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot4\sin\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot8\sin\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot8\sin\dfrac{2}{3}\pi$
$=\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
※ $\triangle{\rm AOB}$，$\triangle{\rm BOC}$ はともに辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形なので，$\rm AB=2\sqrt{3}$，$\rm BC=4\sqrt{3}$，$\angle{\rm ABC}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2}{3}\pi$ です．直接求めてもいいですね．
練習3の解答
$\alpha$，$\beta$，$\gamma$ を $2i$ 平行移動した複素数を $\alpha'=4-2\sqrt{3}+(4\sqrt{3}+2)i$，$\beta'=0$，$\gamma'=2+i$ とすると
$\dfrac{\alpha'}{\gamma'}$
$=\dfrac{4-2\sqrt{3}+(4\sqrt{3}+2)i}{2+i}$
$=\dfrac{4-2\sqrt{3}+(4\sqrt{3}+2)i}{2+i}\cdot\dfrac{2-i}{2-i}$
$=\dfrac{10+10\sqrt{3}i}{5}$
$=2+2\sqrt{3}i$
$=4\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
つまり
$\alpha'=\gamma'\cdot4\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
これより
$\angle\alpha'\beta'\gamma'$
$=\angle\alpha\beta\gamma$
$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3}}$