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ド・モアブルの定理

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

ド・モアブルの定理とそれを用いた計算や問題について扱っていきます.



ド・モアブルの定理

複素数の極形式での積で,例として複素数 $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とすると

 $z^2$

$=\cos2\theta+i\sin2\theta$

となります.また

 $z^3$

$=\cos3\theta+i\sin3\theta$

このことから自然数 $n$ において

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta$

であると予想でき,実際にこれが成り立ちます.しかも,$n$ が整数のときも成立し,ド・モアブルの定理として下にまとめます.

ポイント

ド・モアブルの定理

$n$ が整数のとき

$\displaystyle \boldsymbol{(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta}$

証明

例題と練習問題

例題

例題

次の値を $a+bi$ ( $a$,$b$ は実数)の形で表せ.

(1) $z=1+\sqrt{3}i$ のとき,$z^{5}$,$z^{-9}$

(2) $w=\dfrac{1-i}{1-\sqrt{3}i}$のとき,$w^{8}$,$w^{-6}$


講義

極形式にしてド・モアブルの定理を使うだけです.


解答

(1)

 $z$

$=1+\sqrt{3}i$

$=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$

より

 $z^{5}$

$=2^{5}\left(\cos\dfrac{5}{3}\pi+i\sin\dfrac{5}{3}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理

$=32\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

$=\boldsymbol{16-16\sqrt{3}i}$

 $z^{-9}$

$=2^{-9}\left(\cos\dfrac{-9}{3}\pi+i\sin\dfrac{-9}{3}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理

$=\dfrac{1}{2^9}\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)$

$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{512}}$


(2)

 $w$

$=\dfrac{\sqrt{2}\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}}{2\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$

より

 $w^{8}$

$=\dfrac{1}{16}\left(\cos\dfrac{8}{12}\pi+i\sin\dfrac{8}{12}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理

$=\dfrac{1}{16}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{32}+\dfrac{\sqrt{3}}{32}i}$

 $w^{-6}$

$=8\left(\cos\dfrac{-6}{12}\pi+i\sin\dfrac{-6}{12}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理

$=\boldsymbol{-8i}$

練習問題

練習1

$z=-\sqrt{3}-i$ のとき,$z^{3}$,$z^{-5}$ を求めよ.


練習2

$\alpha=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,$\beta=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ のとき,複素数 $\left(\dfrac{\alpha+i\beta}{\alpha-i\beta}\right)^{2021}$ を求めよ.


練習3

$z=\dfrac{\sqrt{3}+3i}{1-i}$ とする.$z^n$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求めよ.またそのときの $z^n$ を求めよ.

練習の解答