ド・モアブルの定理
複素数平面(教科書範囲) ★★
ド・モアブルの定理とそれを用いた計算や問題について扱っていきます．
ド・モアブルの定理
複素数の極形式での積で，例として複素数 $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とすると
$z^2$
$=\cos2\theta+i\sin2\theta$
となります．また
$z^3$
$=\cos3\theta+i\sin3\theta$
このことから自然数 $n$ において
$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta$
であると予想でき，実際にこれが成り立ちます．しかも，$n$ が整数のときも成立し，ド・モアブルの定理として下にまとめます．
ド・モアブルの定理
$n$ が整数のとき
$\displaystyle \boldsymbol{(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta}$
証明
まず $n\geqq0$ のときを数学的帰納法で示します．
(ⅰ) $n=0$ のとき両辺とも $1$ になり成立．
(ⅱ) $n=k$ ( $k\geqq 0$ )のとき成り立つとする．
$n=k+1$ のとき
$(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}$
$=(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos\theta+i\sin\theta)$
$=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)$
$=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta+(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)i$
$=\cos(k\theta+\theta)+i\sin(k\theta+\theta)$ ←加法定理
$=\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta$
よってこのときも成立．
(ⅰ)(ⅱ)より $n\geqq0$ のすべての整数 $n$ において成立．
次に $n=-m$ ( $m$ は自然数)とすると
$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}$
$=(\cos\theta+i\sin\theta)^{-m}$
$=\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{m}}$
$=\dfrac{1}{\cos m\theta+i\sin m\theta}$
$=\dfrac{1}{\cos m\theta+i\sin m\theta}\cdot \dfrac{\cos m\theta-i\sin m\theta}{\cos m\theta-i\sin m\theta}$
$=\dfrac{\cos m\theta-i\sin m\theta}{\cos^{2} m\theta+\sin^{2} m\theta}$
$=\cos (-m)\theta+i\sin (-m)\theta$
$=\cos n\theta+i\sin n\theta$
これより，$n\leqq -1$ の整数も成立．
例題と練習問題
例題
例題
次の値を $a+bi$ ( $a$，$b$ は実数)の形で表せ．
(1) $z=1+\sqrt{3}i$ のとき，$z^{5}$，$z^{-9}$
(2) $w=\dfrac{1-i}{1-\sqrt{3}i}$のとき，$w^{8}$，$w^{-6}$
講義
極形式にしてド・モアブルの定理を使うだけです．
解答
(1)
$z$
$=1+\sqrt{3}i$
$=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
より
$z^{5}$
$=2^{5}\left(\cos\dfrac{5}{3}\pi+i\sin\dfrac{5}{3}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理
$=32\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
$=\boldsymbol{16-16\sqrt{3}i}$
$z^{-9}$
$=2^{-9}\left(\cos\dfrac{-9}{3}\pi+i\sin\dfrac{-9}{3}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理
$=\dfrac{1}{2^9}\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)$
$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{512}}$
(2)
$w$
$=\dfrac{\sqrt{2}\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}}{2\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$
より
$w^{8}$
$=\dfrac{1}{16}\left(\cos\dfrac{8}{12}\pi+i\sin\dfrac{8}{12}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理
$=\dfrac{1}{16}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{32}+\dfrac{\sqrt{3}}{32}i}$
$w^{-6}$
$=8\left(\cos\dfrac{-6}{12}\pi+i\sin\dfrac{-6}{12}\pi\right)$ ←ド・モアブルの定理
$=\boldsymbol{-8i}$
練習問題
練習1
$z=-\sqrt{3}-i$ のとき，$z^{3}$，$z^{-5}$ を求めよ．
練習2
$\alpha=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\beta=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ のとき，複素数 $\left(\dfrac{\alpha+i\beta}{\alpha-i\beta}\right)^{2021}$ を求めよ．
練習3
$z=\dfrac{\sqrt{3}+3i}{1-i}$ とする．$z^n$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求めよ．またそのときの $z^n$ を求めよ．
練習1の解答
$z$
$=-\sqrt{3}-i$
$=2\left(\cos\dfrac{7}{6}\pi+i\sin\dfrac{7}{6}\pi\right)$
より
$z^{3}$
$=2^{3}\left(\cos\dfrac{7}{2}\pi+i\sin\dfrac{7}{2}\pi\right)$
$=8\left(\cos\dfrac{3}{2}\pi+i\sin\dfrac{3}{2}\pi\right)$
$=\boldsymbol{-8i}$
$z^{-5}$
$=2^{-5}\left(\cos\dfrac{-35}{6}\pi+i\sin\dfrac{-35}{6}\pi\right)$
$=\dfrac{1}{32}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{64}+\dfrac{1}{64}i}$
練習2の解答
$\left(\dfrac{\alpha+i\beta}{\alpha-i\beta}\right)^{2021}$
$=\left(\dfrac{\alpha+i\beta}{\alpha-i\beta}\cdot\dfrac{\alpha+i\beta}{\alpha+i\beta}\right)^{2021}$
$=\left(\dfrac{\alpha^{2}-\beta^{2}+2\alpha\beta i}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\right)^{2021}$
$=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)^{2021}$
$=\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{2021}$
$=\left(\cos\dfrac{12\cdot168+5}{6}\pi+i\sin\dfrac{12\cdot168+5}{6}\pi\right)$
$=\cos\dfrac{5}{6}\pi+i\sin\dfrac{5}{6}\pi$
$=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}$
練習3の解答
$z$
$=\dfrac{2\sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sqrt{2}\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}}$
$=\sqrt{6}\left(\cos\dfrac{7}{12}\pi+i\sin\dfrac{7}{12}\pi\right)$
より
$z^{n}=6^{\frac{n}{2}}\left(\cos\dfrac{7n}{12}\pi+i\sin\dfrac{7n}{12}\pi\right)$
から，$n=12k$ ( $k$ は自然数)のとき，$z^n$ は実数になる．最小の $n$ は $\boldsymbol{12}$．このとき
$z^{12}=-6^{6}=\boldsymbol{-46656}$