2次曲線の接線の方程式
2次曲線(入試の標準) ★★★
放物線の接線は微分による方法でその都度導くのがオススメで，導出方法についてはこのページでは言及しません．
楕円と双曲線の接線の方程式
楕円の接線の方程式
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ での接線の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x_{1}x}{a^2}+\dfrac{y_{1}y}{b^2}=1}$
大学受験で数学Ⅲを使う場合は暗記を推奨します．もっとも円の接線の方程式の一般化なので覚えやすいと思います．
続いて，双曲線の接線です．
双曲線の接線の方程式
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ での接線の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x_{1}x}{a^2}-\dfrac{y_{1}y}{b^2}=1}$
同様に双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ での接線の方程式は
$\boldsymbol{\dfrac{x_{1}x}{a^2}-\dfrac{y_{1}y}{b^2}=-1}$
こちらも覚えやすい公式です．
楕円の接線の方程式の証明
楕円も双曲線も証明の方法が同様なので，以下では楕円の接線のみ記載することにします．
Ⅰ 傾きを求める標準的な方法での証明
Ⅰでの証明
(ⅰ) 接点が $x$ 軸上にないとき
接線を
$y=m(x-x_{1})+y_{1}$
とおく．楕円に代入すると
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\{m(x-x_{1})+y_{1}\}^2}{b^2}=1$
$\Longleftrightarrow \ b^{2}x^2+a^{2}\{m(x-x_{1})+y_{1}\}^{2}=a^{2}b^{2}$
$\Longleftrightarrow \ b^{2}x^2+a^{2}(mx+y_{1}-mx_{1})^{2}=a^{2}b^{2}$
$\Longleftrightarrow \ (a^{2}m^{2}+b^{2})x^2+2a^{2}m(y_{1}-mx_{1})x+a^{2}(y_{1}-mx_{1})^{2}-a^{2}b^{2}=0$
この $2$ 次方程式は $x=x_{1}$ で重解なので
$x_{1}=\dfrac{a^{2}m(mx_{1}-y_{1})}{a^{2}m^{2}+b^{2}}$
これを $m$ について解くと，$y_{1}\neq 0$ より
$m=-\dfrac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$
戻すと
$y=-\dfrac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$
$\Longleftrightarrow \ b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=b^{2}x_{1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}$
$\therefore \ \dfrac{x_{1}x}{a^2}+\dfrac{y_{1}y}{b^2}=\dfrac{x_{1}^2}{a^2}+\dfrac{y_{1}^2}{b^2}=1 \ \cdots$ ①
(ⅱ) 接点が $x$ 軸上にあるとき
接線は
$x=\pm a$
であるが，①で接点を $(\pm a,0)$ とするとこれも満たす．
以上より
$\boldsymbol{\dfrac{x_{1}x}{a^2}+\dfrac{y_{1}y}{b^2}=1}$
Ⅱ (数学Ⅲの)微分を使う方法
(数学Ⅲの)微分を使う方法が圧倒的に楽です．下に格納しました．
Ⅱでの証明
(ⅰ) 接点が $x$ 軸上にないとき
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を両辺 $x$ で微分すると
$\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$y\neq 0$ より
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}$
$(x_{1},y_{1})$ での接線の方程式は
$y=-\dfrac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$
$\Longleftrightarrow \ b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=b^{2}x_{1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}$
$\therefore \ \dfrac{x_{1}x}{a^2}+\dfrac{y_{1}y}{b^2}=\dfrac{x_{1}^2}{a^2}+\dfrac{y_{1}^2}{b^2}=1 \ \cdots$ ①
(ⅱ) 接点が $x$ 軸上にあるとき
接線は
$x=\pm a$
であるが，①で接点を $(\pm a,0)$ とするとこれも満たす．
以上より
$\boldsymbol{\dfrac{x_{1}x}{a^2}+\dfrac{y_{1}y}{b^2}=1}$
例題と練習問題
例題
例題
楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ に関して
(1) 楕円上の点 $(2\sqrt{3},\sqrt{3})$ での接線の方程式を求めよ．
(2) 点 $(4,6)$ から引いた接線の方程式を求めよ．
講義
(1)は公式を使うだけです．(2)は円外の点から引いた接線の楕円版です．接点を文字でおく方法がおすすめです．
解答
(1)
点 $(2\sqrt{3},\sqrt{3})$ での接線は
$\dfrac{2\sqrt{3}x}{16}+\dfrac{\sqrt{3}y}{12}=1$
$\therefore \ \boldsymbol{3\sqrt{3}x+2\sqrt{3}y=24}$
(2)
接点を $(x_{1},y_{1})$ とおくと接線は $\dfrac{x_{1}x}{16}+\dfrac{y_{1}y}{12}=1$ であり，$(4,6)$ を通るので
$\dfrac{x_{1}}{4}+\dfrac{y_{1}}{2}=1$
$\Longleftrightarrow \ x_{1}=4-2y_{1} \ \cdots$ ①
また，$(x_{1},y_{1})$ は楕円上にあるので
$\dfrac{x_{1}^2}{16}+\dfrac{y_{1}^2}{12}=1 \ \cdots$ ②
①，②を連立すると
$\dfrac{(4-2y_{1})^2}{16}+\dfrac{y_{1}^2}{12}=1$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{(2-y_{1})^2}{4}+\dfrac{y_{1}^2}{12}=1$
$\Longleftrightarrow \ 4y_{1}^{2}-12y_{1}=0$
$\therefore \ y_{1}=0，3$
(ⅰ) $y_{1}=0$ のとき，$x_{1}=4$ より
接線 $\boldsymbol{x=4}$
(ⅱ) $y_{1}=3$ のとき，$x_{1}=-2$ より，接線は $-\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{4}y=1$ となるので
接線 $\boldsymbol{x-2y=-8}$
※ 接点を $(4\cos \theta,2\sqrt{3}\sin \theta)$ などとおいてもいいですね．
※ 接線を $y=m(x-4)+6$ として楕円と連立して判別式 $D=0$ で $m$ を出す方法もありますが，計算が大変です．
練習問題
練習
(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ の接線と両座標軸とで作られる三角形の面積 $S$ の最小値を求めよ．
(2) 双曲線 $x^{2}-4y^{2}=1$ 上の点 $\rm P$ における接線と $2$ つの漸近線で囲まれる三角形の面積を求めよ．
(3) 放物線 $y^{2}=4px$ $(p>0)$ 上の点 ${\rm P}(x_{1},y_{1})$ $(x_{1}>0，y_{1}>0)$ における接線と $x$ 軸との交点を $\rm T$，放物線の焦点を $\rm F$ とすると，$\angle {\rm PTF}=\angle {\rm TPF}$ であることを示せ．
練習の解答
(1)
接点を $(4\cos \theta,3\sin \theta)$ とおく．$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ として一般性を失わない．接線は
$\dfrac{(4\cos \theta)x}{16}+\dfrac{(3\sin \theta)y}{9}=1$
これは $\left(\dfrac{4}{\cos\theta},0\right)$，$\left(0,\dfrac{3}{\sin\theta}\right)$ を通る．
$S$
$=\dfrac{4}{\cos\theta}\cdot \dfrac{3}{\sin\theta}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{\sin2\theta}$
$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{12}$．
(2)
${\rm P}(x_{1},y_{1})$ とおくと接線は $x_{1}x-4y_{1}y=1$ であり，漸近線 $y=\dfrac{1}{2}x$ との交点を $\rm R$ とすると
${\rm R}\left(\dfrac{1}{x_{1}-2y_{1}},\dfrac{1}{2(x_{1}-2y_{1})}\right)$
漸近線 $y=-\dfrac{1}{2}x$ との交点を $\rm Q$ とすると
${\rm Q}\left(\dfrac{1}{x_{1}+2y_{1}},\dfrac{-1}{2(x_{1}+2y_{1})}\right)$
求める面積は
$\displaystyle \triangle{\rm ORQ}$
$=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{1}{x_{1}-2y_{1}}\cdot\dfrac{-1}{2(x_{1}+2y_{1})}-\dfrac{1}{2(x_{1}-2y_{1})}\cdot\dfrac{1}{x_{1}+2y_{1}}\right|$ ←面積公式
$=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{1}{x_{1}^{2}-4y_{1}^{2}}\right|$
$=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{1}{1}\right|$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
※ ${\rm P}$ の位置に関わらず面積が一定になりますね．
(3) 微分による方法で接線を出す解答です．
$y^{2}=4px$ を両辺 $x$ で微分すると
$2y\dfrac{dy}{dx}=4p$
$y\neq 0$ のとき
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2p}{y}$
${\rm P}(x_{1},y_{1})$ での接線は
$y$
$=\dfrac{2p}{y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$
$=\dfrac{2px}{y_{1}}-\dfrac{2px_{1}}{y_{1}}+\dfrac{y_{1}^{2}}{y_{1}}$
$=\dfrac{2px}{y_{1}}-\dfrac{2px_{1}}{y_{1}}+\dfrac{4px_{1}}{y_{1}}$
$=\dfrac{2p}{y_{1}}(x+x_{1})$
これより，${\rm T}(-x_{1},0)$ なので
${\rm TF}=p+x_{1}={\rm PH}$
放物線の定義より ${\rm PH=PF}$ なので
${\rm TF=PF}$
これより $\triangle \rm PFT$ は二等辺三角形なので $\angle {\rm PTF}=\angle {\rm TPF}$ である．
※ 以上の内容は放物線の有名な性質です．
$x$ 軸に平行な放物線に進行する直線は，放物線に跳ね返されるとすべて焦点に到達することの証明です．パラボナアンテナの基本原理です．