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円の接線の方程式とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル: 


アイキャッチ

円の接線の方程式とその証明を紹介します.

是非証明を理解し,公式は覚えやすいので暗記しましょう.





円の接線の方程式

ポイント

円の接線の方程式

円の接線の方程式(一般)

円 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上の $(x_{1},y_{1})$ での接線の方程式は

$\boldsymbol{(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}$


↓ 中心が原点のとき


円の接線の方程式(原点)

円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上の $(x_{0},y_{0})$ での接線の方程式は

$\boldsymbol{x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$


どちらも覚えやすく,高校数学では暗記が必須な公式になります.

これを道具として使って問題を解くのがメインになりますが,公式の証明を理解できないと,本当に円の接線を理解しているとは言えません.




証明方法と証明

ポイント

円の接線の方程式の証明方法

Ⅰ:傾きを求める標準的な方法

Ⅱ:点と直線の距離を使う方法

法線ベクトルを使う方法

Ⅳ:(数Ⅲの)微分を使う方法


こうしてみると手段がかなり多いですが,前提知識の少なさという点ではⅠが重要で,楽に証明できるという点ではⅢが重要です.

このページは,数Ⅱまでの知識を前提とするため,Ⅲの証明は上のリンクをご参照下さい.

以下でⅠのみで証明します.

Ⅰ,Ⅱは中心が原点のときを示してから平行移動するのが楽です.



証明

Ⅰでの証明(先に中心が原点の円から)

円の接線の方程式の証明

(ⅰ) $x_{0}\neq 0$ のとき

A $(x_{0},y_{0})$ とおくと,直線OAの傾きは $\dfrac{y_{0}}{x_{0}}$ とできる.接線の傾きはこれに垂直なので $-\dfrac{x_{0}}{y_{0}}$ となるから,接線の方程式は $(x_{0},y_{0})$ を通るので

$y=-\dfrac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0})+y_{0}$

$\Longleftrightarrow \ y_{0}y=-x_{0}x+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$

$\Longleftrightarrow \ x_{0}x+y_{0}y=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$

接点 $(x_{0},y_{0})$ が円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上にあるので

$x_{0}x+y_{0}y=r^{2} \ \cdots$ ①


(ⅱ) $x_{0}=0$ のとき

$y_{0}=\pm r$.接線は $y=\pm r$ (複合同順).これは①を満たす.

(ⅰ)(ⅱ)より

$\boldsymbol{x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$


続いて中心が $(a,b)$ の円のとき

上の接線を $x$ 軸方向に $a$,$y$ 軸方向に $b$ 平行移動すると

$x_{0}(x-a)+y_{0}(y-b)=r^{2} \ \cdots$ ②

接点 $(x_{1},y_{1})$ は 原点が中心のときの接点 $(x_{0},y_{0})$ を $x$ 軸方向に $a$,$y$ 軸方向に $b$ 平行移動したものなので

$\begin{cases} x_{1}=x_{o}+a \\ y_{1}=y_{0}+b \end{cases} \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} x_{0}=x_{1}-a \\ y_{0}=y_{1}-b \end{cases}$

これを②に代入すると

$\boldsymbol{(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}$



練習問題

練習

次の円の与えられた点における接線の方程式を求めよ.

(1) $x^{2}+y^{2}=16$,点 $(2\sqrt{3},2)$

(2) $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25$,点 $(-1,3)$

練習の解答




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