円外の点から引いた接線
タイプ：教科書範囲 レベル：★★
円の外部の点から引いた接線を扱います．円の接線の公式が既習である前提です．
解法が複数あるので，ここで整理します．
円外の点から引いた接線の求め方
ポイント
円外の点から引いた接線の求め方
円外の点 $(p,q)$ から引いた接線の求め方は
Ⅰ：接点を文字でおき，それで接線を作る．
接線に $\boldsymbol{(p,q)}$ を代入
接点を円の方程式に代入
で連立して解く．
(※ 接点を求めたいとき，中心が原点にあるときにオススメ．)
Ⅱ：傾きを $\boldsymbol{m}$ などとして，接線を $\boldsymbol{y=m(x-p)+q}$ とする．点と直線の距離を使って
接線と中心の距離 $=$ 半径
で $\boldsymbol{m}$ の方程式を解く．
(※ 接点を求めなくていいとき，中心が原点以外にあるときにオススメ．接線が $y$ 軸に平行な場合別で求めます．)
Ⅲ：傾きを $m$ などとして，接線を $y=m(x-p)+q$ とする．円と連立して
判別式 $D=0$
で $m$ の方程式を解く．
(※ 計算が大変なのでオススメしません．)
Ⅳ：図形的性質で解く．
(※ 一般的でないので全員にはオススメしません．)
結論としてⅠ，Ⅱの方法のみで練習しておくといいと思います．
例題と練習問題
例題
例題
次の円の，点 $\rm A$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．
$x^{2}+y^{2}=4$，$\rm A (2,4)$
講義
接点を聞かれているので上のⅠの解法で一択でしょう．接点を聞かれていなくても中心が原点ならばⅠはオススメです．
解答
接点を $(x_{1},y_{1})$ とおくと接線は $x_{1}x+y_{1}y=4$ であり，$(2,4)$ を通るので
$2x_{1}+4y_{1}=4$
$\Longleftrightarrow \ x_{1}=2-2y_{1} \ \cdots$ ①
また，$(x_{1},y_{1})$ は円上にあるので
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4 \ \cdots$ ②
①，②を連立すると
$(2-2y_{1})^{2}+y_{1}^{2}=4$
$\Longleftrightarrow \ 5y_{1}^{2}-8y_{1}=0$
$\therefore \ y_{1}=0，\dfrac{8}{5}$
(ⅰ) $y_{1}=0$ のとき，$x_{1}=2$ より
接線 $\boldsymbol{x=2}$，接点 $\boldsymbol{(2,0)}$
(ⅱ) $y_{1}=\dfrac{8}{5}$ のとき，$x_{1}=-\dfrac{6}{5}$ より，接線は $-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{8}{5}y=4$ となるので
接線 $\boldsymbol{3x-4y=10}$，接点 $\boldsymbol{\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right)}$
※ 三角関数既習者は接点を $(2\cos t,2\sin t)$ などとおいてもいいですね．
※ Ⅱで解いてもいいですが，接点の座標を後から出すようなのでオススメしません．
練習問題
練習
次の円の，点 $\rm A$ から引いた接線の方程式を求めよ．
(1) $x^{2}+y^{2}=13$，$\rm A (5,1)$
(2) $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=5$，$\rm A (-1,4)$
練習の解答
