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円外の点から引いた接線

図形と方程式(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

円の外部の点から引いた接線を扱います.円の接線の公式点と直線の距離を使います.

解法が複数あるので,ここで整理します.



円外の点から引いた接線の求め方

ポイント

円外の点から引いた接線の求め方

円外の点 $(p,q)$ から引いた接線の求め方は

円外の点から引いた接線の求め方

接点を文字でおき,それで接線を作る方法

接線に $(p,q)$ を代入

接点を円の方程式に代入

で連立して解く.

※ 接点を求めたいとき,中心が原点にあるときにオススメ.


傾きを $\boldsymbol{m}$ などとして,接線を作り点と直線の距離を使う方法

接線と中心の距離 $=$ 半径

で $m$ の方程式を解く.

※ 接点を求めなくていいとき,中心が原点以外にあるときにオススメ.接線が $y$ 軸に平行な場合別で求めます.


Ⅲ 傾きを $m$ などとして,接線を作り円と連立する方法

判別式 $D=0$

で $m$ の方程式を解く.

※ 計算が大変なのでオススメしません.


Ⅳ 図形的性質で解く方法

※ 一般的でないので全員にはオススメしません.


結論としてⅠ,Ⅱの方法のみで練習しておくといいと思います.

例題と練習問題

例題

例題

次の円の,点 $\rm A$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ.

$x^{2}+y^{2}=4$,$\rm A (2,4)$


講義

例題

接点を聞かれているので上のⅠの解法で一択でしょう.接点を聞かれていなくても中心が原点ならばⅠはオススメです.


解答

接点を $(x_{1},y_{1})$ とおくと接線は $x_{1}x+y_{1}y=4$ であり,$(2,4)$ を通るので

$2x_{1}+4y_{1}=4$

$\Longleftrightarrow \ x_{1}=2-2y_{1} \ \cdots$ ①

また,$(x_{1},y_{1})$ は円上にあるので

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4 \ \cdots$ ②

①,②を連立すると

$(2-2y_{1})^{2}+y_{1}^{2}=4$

$\Longleftrightarrow \ 5y_{1}^{2}-8y_{1}=0$

$\therefore \ y_{1}=0,\dfrac{8}{5}$

(ⅰ) $y_{1}=0$ のとき,$x_{1}=2$ より

接線 $\boldsymbol{x=2}$,接点 $\boldsymbol{(2,0)}$

(ⅱ) $y_{1}=\dfrac{8}{5}$ のとき,$x_{1}=-\dfrac{6}{5}$ より,接線は $-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{8}{5}y=4$ となるので

接線 $\boldsymbol{-3x+4y=10}$,接点 $\boldsymbol{\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right)}$

※ 三角関数既習者は接点を $(2\cos t,2\sin t)$ などとおいてもいいですね.

※ Ⅱで解いてもいいですが,接点の座標を後から出すようなのでオススメしません.

練習問題

練習

次の円の,点 $\rm A$ から引いた接線の方程式を求めよ.

(1) $x^{2}+y^{2}=13$,$\rm A (5,1)$

(2) $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=5$,$\rm A (-1,4)$

練習の解答

(1)

練習(1)

接点を $(x_{1},y_{1})$ とおくと接線は $x_{1}x+y_{1}y=13$ であり,$(5,1)$ を通るので

$5x_{1}+y_{1}=13$

$\Longleftrightarrow \ y_{1}=13-5x_{1} \ \cdots$ ①

また,$(x_{1},y_{1})$ は円上にあるので

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=13 \ \cdots$ ②

①,②を連立すると

$x_{1}^{2}+(13-5x_{1})^{2}=13$

$\Longleftrightarrow \ 26x_{1}^{2}-130x_{1}+156=0$

$\Longleftrightarrow \ x_{1}^{2}-5x_{1}+6=0$

$\therefore \ x_{1}=2,3$

(ⅰ) $x_{1}=2$ のとき,$y_{1}=3$ より

接線 $\boldsymbol{2x+3y=13}$

(ⅱ) $x_{1}=3$ のとき,$y_{1}=-2$ より

接線 $\boldsymbol{3x-2y=13}$

※ 接点を聞かれていないので,Ⅱの解法で解いてもいいですね.


(2)

練習(2)

接線は $y$ 軸に平行でないので

$y=m(x+1)+4 \ \Longleftrightarrow \ mx-y+m+4=0$

とおく.これと中心 $(-2,1)$ との距離が半径なので(点と直線の距離を使うと)

$\dfrac{|-m+3|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{5}$

分母をはらって,$2$ 乗すると

$m^{2}-6m+9=5m^{2}+5$

$\Longleftrightarrow \ 0=4m^{2}+6m-4$

$\Longleftrightarrow \ 2m^{2}+3m-2=0$

$\therefore \ m=-2,\dfrac{1}{2}$

求める接線は

$m=-2$ のとき

$\boldsymbol{y=-2x+2}$

$m=\dfrac{1}{2}$ のとき

$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2}}$

※ こちらをⅠの解法で解くと計算が大変になります.