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関数の凹凸と変曲点

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは,関数の凹凸と変曲点に関して,定義と基本的な性質を扱いました.





下に凸の定義

関数の凹凸に関しては,高校と大学の教科書で記載している定義が様々です.下に凸の定義を(上に凸は不等号がその逆です)一通り紹介します.


ポイント

関数が下に凸の定義

下に凸の定義1

Ⅰ.関数 $f(x)$ が区間 $I$ で,$x$ の値が増加すると接線の傾きが増加するとき, $f(x)$ は区間 $I$ で下に凸であるという.


下に凸の定義1

Ⅱ.グラフの区間 $I$ の任意の2点を結ぶ線分がグラフより上方にあるとき,すなわち,関数 $f(x)$ の区間 $I$ の任意の2点 $a$,$b$,任意の $0< t<1$ に対して

$f(ta+(1-t)b)\leqq tf(a)+(1-t)f(b)$

を満たすとき,$f(x)$ は区間 $I$ で下に凸であるという.


※ グラフの区間 $I$ の任意の接線に対して,グラフが接線より下側にないとき,すなわち,区間 $I$ の $x=c$ の近くの $x\neq c$ のすべての $x$ に対して,$f(x)\geqq f'(c)(x-c)+f(c)$ を満たすことを下に凸の定義にしているケースもありますが,少数です.

※ Ⅱの不等式の $\leqq$ を $<$ に変えたものを狭義の下に凸ということがあります.その場合Ⅱは広義の下に凸と言います.


高校の教科書ではⅠが採用されていることが多いです.これは微分可能であることが前提で,それを不問にした定義がⅡです.大学以降ではⅡが多い印象です.

これを踏まえ以下の事実が確認できます.



ポイント

関数が下に凸の性質

区間 $I$ を含む開区間において,関数 $f(x)$ の第2次導関数 $f''(x)$ が存在するとする.区間 $I$ において

$\boldsymbol{f''(x) \geqq 0}$ $\boldsymbol{\Longleftrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は下に凸 $\cdots$ ☆

$\boldsymbol{f''(x) \leqq 0}$ $\boldsymbol{\Longleftrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は上に凸 $\cdots$ ♪


Ⅰと☆が同じことを言っている,すなわち同値であるのは明白です.

Ⅱで,$f(x)$ が2回微分可能ならば☆が示せることを確認できますので,下に格納しました(少し長いです).

Ⅱから☆の証明




変曲点の定義

ポイント

変曲点の定義

曲線の凹凸が変わる境の点を変曲点という.


詳しく述べると,下に凸から上に凸,または上に凸から下に凸への変化が起こる点のことをいいます.つまり,次のことが成り立ちます.



ポイント

変曲点の性質

関数 $f(x)$ は $x=a$ を含む開区間で第2次導関数 $f''(x)$ をもち,$f''(x)$ は連続であるとする.

$\boldsymbol{(a,f(a))}$ が $\boldsymbol{y=f(x)}$ の変曲点 $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f''(a) = 0}$


これの逆は一般には成り立ちません.$f(x)=x^4$ は $f''(0)=0$ を満たしますが,前後の $f''(x)$ の符号変化が起きないので変曲点ではありません.




例題と練習問題

例題

例題

次の曲線の凹凸を調べ,変曲点を求めよ.

$y=x^{3}-3x$


講義

2回微分をして,凹凸表を書いて,$y''$ の符号変化を観察します.


解答

$y'=3x^{2}-3$

$y''=6x$

凹凸表は

$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$
$y''$ $-$ $0$ $+$
$y$ $\cap$ $0$ $\cup$

$\boldsymbol{x<0}$ のとき,上に凸.

$\boldsymbol{x>0}$ のとき,下に凸.

変曲点は $\boldsymbol{\left(0,0\right)}$


※ 普通増減表の中に凹凸の要素を盛り込むので,凹凸表という言葉はあまり聞かないと思いますが,上に凸か下に凸かわかればいいと思います.

※ ちなみにグラフは極大値,極小値の定義と例にあるように以下のようになる.凹凸が確認できる.

例題


練習問題

練習

次の曲線の凹凸を調べ,変曲点を求めよ.

$y=x^{2}e^{-x}$

練習の解答



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