極大値，極小値の定義

微分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲)　★★

数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．

極値(極大値，極小値)について扱います．

数学Ⅱの微分を勉強中の方は，3章までです．

極大値，極小値の定義

関数 $f(x)$ において，点 $a$ を含む十分小さい開区間で

$x\neq a$ $\Longrightarrow$ $f(x)< f(a)$

が成り立つとき，$x=a$ で極大であるといい，$f(a)$ を極大値という．

$x\neq a$ $\Longrightarrow$ $f(x)> f(a)$

が成り立つとき，$x=a$ で極小であるといい，$f(a)$ を極小値という．

グラフを局所的に見たときの最大が極大，局所的に見たときの最小が極小になります．

小さく区間を取りますが，開区間でとるのが重要です(閉区間だと，その区間で最大最小をもってしまいます)

極大，極小の例

実際に極大，極小の例を，少し極端な場合も含めて見ていきます．

$f'(x)=0$ である点が極値とは限らない

$f'(x)=0$ であると接線の傾きが $0$ になるので，極値になると思っている人がいますが，前後のグラフの増減を見てみないと判断できません．上の図の $y=x^{5}-\dfrac{5}{3}x^{3}$ では，$x=0$ で極値になりません．

微分可能であり，$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号が変化する点は極値になります．

補足：停留値

$f'(x)=0$ をみたす $x=x_{0}$ を停留点，$f(x_{0})$ を停留値と大学の教科書では記載されていたりします．つまり停留値が極値とは限りません．

上の $y=x^{5}-\dfrac{5}{3}x^{3}$ では

　$x=\pm 1$ では停留値かつ極値

　$x=0$ では停留値

となります．

折れた点では微分できないが，極値になりうる

絶対値で表された関数など，折れた点では微分ができません(詳しくは，数学Ⅲの微分可能であるとはにあります)．

上の図の $y=|x^{2}-1|$ でいうと，$x=\pm 1$ では微分できませんが，小さく開区間をとると最小値になるので，極小値になることがいえます．

微分できることは，極値をもつことの必要条件ではありません．

連続でなくても極値になりうる．

高校の検定教科書では連続に限定していると思いますが，一般には連続でなくても，極値をとります．あまり出題されない例ですが．

$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号変化が起きただけでは，極大，極小を判断できません．

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

次の関数の極値を求め，グラフをかけ．

$y=x^{3}-3x$

講義

微分をして，増減表を書いて，それをもとにグラフを書いていきます．

解答

$y'=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ より

増減表は


$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	↗︎	$2$	↘︎	$-2$	↗︎

$\boldsymbol{x=-1}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{2}$

$\boldsymbol{x=1}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{-2}$

グラフは

のようになる．

練習問題

練習1

次の関数の極値を求め，グラフをかけ．

(1) $y=-x^{3}-6x^{2}-9x-4$

(2) $y=|-x^{3}-6x^{2}-9x-4|$

練習1の解答

(1)

$y'=-3x^{2}-12x-9=-3(x+3)(x+1)$ より

増減表は


$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$
$y'$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	↘︎	$-4$	↗︎	$0$	↘︎

$\boldsymbol{x=-1}$ のとき，極大値 $0$

$\boldsymbol{x=-3}$ のとき，極小値 $-4$

また $y=-x^{3}-6x^{2}-9x-4=-(x+4)(x+1)^{2}$ よりグラフは

のようになる．

(2) 絶対値は中身が正ならばそのまま外し，負ならば $-1$ 倍して外します．

$y=|-x^{3}-6x^{2}-9x-4|$

　$=\begin{cases} -x^{3}-6x^{2}-9x-4 \ \ (x\leqq-4) \\ x^{3}+6x^{2}+9x+4 \ \ \ (x>-4)\end{cases}$

(1)のグラフを $x>-4$ では $x$ 軸に関して折り返すようにグラフを書くと

のようになる．

$\boldsymbol{x=-3}$ のとき，極大値 $4$

$\boldsymbol{x=-4,-1}$ のとき，極小値 $0$

練習問題(数学Ⅲ)

数学Ⅲの場合も本質的に同じですが，増減表を書くうえで，定義域がすべての実数でない可能性があるので注意です．

練習2

次の関数の極値を求めよ．

(1) $y=x\log x$

(2) $y=|x-1|e^{-x}$

(3) $y=\cos x(1+\sin x)$ $(0\leqq x \leqq 2\pi)$

練習2の解答

(1)

真数条件より $x>0$．

$y'=\log x +1$ より

増減表は


$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{e}$	$\cdots$
$y'$	×	$-$	$0$	$+$
$y$	×	↘︎	$-\dfrac{1}{e}$	↗︎

$\boldsymbol{x=\dfrac{1}{e}}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{-\dfrac{1}{e}}$

(2)

$y=|x-1|e^{-x}=\begin{cases}(x-1)e^{-x} \ \ (x\geqq1) \\ (1-x)e^{-x} \ \ (x<1) \end{cases}$

ここで $\{(x-1)e^{-x}\}'=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=(2-x)e^{-x}$ より

$y'=\begin{cases}(2-x)e^{-x} \ \ (x\geqq1) \\ (x-2)e^{-x} \ \ (x<1) \end{cases}$

増減表は


$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$y'$	$-$	×	$+$	$0$	$-$
$y$	↘︎	$0$	↗︎	$\dfrac{1}{e^2}$	↘︎

$\boldsymbol{x=2}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{e^2}}$

$\boldsymbol{x=1}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{0}$

※ $x=1$ の前後の左側微分係数と右側微分係数が一致しないので，$x=1$ では微分不可能です．

(3)

　$y'$

$=-\sin x(1+\sin x)+\cos^{2}x$

$=-2\sin^{2}x-\sin x+1$

$=-(2\sin x-1)(\sin x+1)$

増減表は


$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\cdots$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\cdots$	$2\pi$
$y'$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	×
$y$	$1$	↗︎	$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$	↘︎	$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$	↗︎	$0$	↗︎	×

$\boldsymbol{x=\dfrac{\pi}{6}}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}}$

$\boldsymbol{x=\dfrac{5\pi}{6}}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}}$

※ $x=\dfrac{3\pi}{2}$ は前後の増減の符号変化がないので極値ではありません．

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