極大値，極小値の定義

微分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲)　★★

数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．

極値(極大値，極小値)について扱います．極値について理解すると色々の関数のグラフが書けるようになります．

数学Ⅱの微分を勉強中の方は，3章までです．

極大値，極小値の定義

関数 $f(x)$ において，点 $a$ を含む十分小さい開区間で

$x\neq a$ $\Longrightarrow$ $f(x)< f(a)$

が成り立つとき，$x=a$ で極大であるといい，$f(a)$ を極大値という．

$x\neq a$ $\Longrightarrow$ $f(x)> f(a)$

が成り立つとき，$x=a$ で極小であるといい，$f(a)$ を極小値という．

グラフを局所的に見たときの最大が極大，局所的に見たときの最小が極小になります．

小さく区間を取りますが，開区間でとるのが重要です(閉区間だと，その区間で最大最小をもってしまいます)

極大，極小の例

実際に極大，極小の例を，少し極端な場合も含めて見ていきます．

$\boldsymbol{f'(x)=0}$ である点が極値とは限らない

$f'(x)=0$ であると接線の傾きが $0$ になるので，極値になると思っている人がいますが，前後のグラフの増減を見てみないと判断できません．上の図の $y=x^{5}-\dfrac{5}{3}x^{3}$ では，$x=0$ で極値になりません．

微分可能であり，$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号が変化する点は極値になります．

補足：停留値

$f'(x)=0$ をみたす $x=x_{0}$ を停留点，$f(x_{0})$ を停留値と大学の教科書では記載されていたりします．つまり停留値が極値とは限りません．

上の $y=x^{5}-\dfrac{5}{3}x^{3}$ では

　$x=\pm 1$ では停留値かつ極値

　$x=0$ では停留値

となります．

折れた点では微分できないが，極値になりうる

絶対値で表された関数など，折れた点では微分ができません(詳しくは，数学Ⅲの微分可能であるとはにあります)．

上の図の $y=|x^{2}-1|$ でいうと，$x=\pm 1$ では微分できませんが，小さく開区間をとると最小値になるので，極小値になることがいえます．

微分できることは，極値をもつことの必要条件ではありません．

連続でなくても極値になりうる．

高校の検定教科書では連続に限定していると思いますが，一般には連続でなくても，極値をとります．あまり出題されない例ですが．

$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号変化が起きただけでは，極大，極小を判断できません．

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

次の関数の極値を求め，グラフをかけ．

$y=x^{3}-3x$

講義

微分をして，増減表を書いて，それをもとにグラフを書いていきます．単調増加(減少)と関数の増減の例題と関数が同一です．

解答

$y'=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ より

増減表は


$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	↗︎	$2$	↘︎	$-2$	↗︎

$\boldsymbol{x=-1}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{2}$

$\boldsymbol{x=1}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{-2}$

グラフは

のようになる．

練習問題

練習

次の関数の極値を求め，グラフをかけ．

(1) $y=-x^{3}-6x^{2}-9x-4$

(2) $y=|-x^{3}-6x^{2}-9x-4|$

練習の解答

(1)

$y'=-3x^{2}-12x-9=-3(x+3)(x+1)$ より

増減表は


$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$
$y'$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	↘︎	$-4$	↗︎	$0$	↘︎

$\boldsymbol{x=-1}$ のとき，極大値 $0$

$\boldsymbol{x=-3}$ のとき，極小値 $-4$

また $y=-x^{3}-6x^{2}-9x-4=-(x+4)(x+1)^{2}$ よりグラフは

のようになる．

(2) 絶対値は中身が正ならばそのまま外し，負ならば $-1$ 倍して外します．

$y=|-x^{3}-6x^{2}-9x-4|$

　$=\begin{cases} -x^{3}-6x^{2}-9x-4 \ \ (x\leqq-4) \\ x^{3}+6x^{2}+9x+4 \ \ \ (x>-4)\end{cases}$

(1)のグラフを $x>-4$ では $x$ 軸に関して折り返すようにグラフを書くと

のようになる．

$\boldsymbol{x=-3}$ のとき，極大値 $4$

$\boldsymbol{x=-4,-1}$ のとき，極小値 $0$

例題と練習問題(数学Ⅲ)

例題

$f(x)=x\sqrt{1-x}$ の極値を求めよ．

講義

数学Ⅲの場合も本質的に同じです．単調増加(減少)と関数の増減の例題と関数が同一です．

解答

　$f'(x)$

$=\sqrt{1-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{1-x}}$

$=\dfrac{2(1-x)-x}{2\sqrt{1-x}}$

$=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$

増減表は


$x$	$\cdots$	$\dfrac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	×
$f(x)$	↗︎	$\dfrac{2\sqrt3}{9}$	↘︎	$0$

$x=\dfrac{2}{3}$ のとき極大値 $\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt3}{9}}$

練習問題

練習

次の関数の極値を求めよ．

(1) $y=\dfrac{\log x}{x}$

(2) $y=|x-1|e^{-x}$

(3) $y=\cos x(1+\sin x)$ $(0\leqq x \leqq 2\pi)$

練習の解答

(1)

真数条件より $x>0$．

$y'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x - \log x \cdot 1}{x^2}=\dfrac{1 - \log x}{x^2}$ より

増減表は


$x$	$0$	$\cdots$	$e$	$\cdots$
$y'$	×	$+$	$0$	$-$
$y$	×	↗︎	$\dfrac{1}{e}$	↘︎

$\boldsymbol{x=e}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{e}}$

※ 秘書問題に登場する関数です．

(2)

$y=|x-1|e^{-x}=\begin{cases}(x-1)e^{-x} \ \ (x\geqq1) \\ (1-x)e^{-x} \ \ (x<1) \end{cases}$

ここで $\{(x-1)e^{-x}\}'=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=(2-x)e^{-x}$ より

$y'=\begin{cases}(2-x)e^{-x} \ \ (x\geqq1) \\ (x-2)e^{-x} \ \ (x<1) \end{cases}$

増減表は


$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$y'$	$-$	×	$+$	$0$	$-$
$y$	↘︎	$0$	↗︎	$\dfrac{1}{e^2}$	↘︎

$\boldsymbol{x=2}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{e^2}}$

$\boldsymbol{x=1}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{0}$

※ $x=1$ の前後の左側微分係数と右側微分係数が一致しないので，$x=1$ では微分可能ではありません．極値であるのに微分可能である必要はありません．

(3)

　$y'$

$=-\sin x(1+\sin x)+\cos^{2}x$

$=-2\sin^{2}x-\sin x+1$

$=-(2\sin x-1)(\sin x+1)$

増減表は


$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\cdots$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\cdots$	$2\pi$
$y'$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	×
$y$	$1$	↗︎	$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$	↘︎	$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$	↗︎	$0$	↗︎	×

$\boldsymbol{x=\dfrac{\pi}{6}}$ のとき，極大値 $\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}}$

$\boldsymbol{x=\dfrac{5\pi}{6}}$ のとき，極小値 $\boldsymbol{-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}}$

※ $x=\dfrac{3\pi}{2}$ は前後の増減の符号変化がないので極値ではありません．

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