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極大値,極小値の定義と例

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは,極値(極大値,極小値)の定義と例について解説し,グラフを書く問題も用意しました.本質的に同じなので数Ⅱ,数Ⅲともにこのページで扱います.

数Ⅱの微分を勉強中の人は,3章までです.





極大値,極小値の定義(数Ⅱ,数Ⅲ共通)

ポイント

極大値,極小値の定義

関数 $f(x)$ において,点 $a$ を含む十分小さい開区間

$x\neq a$ $\Longrightarrow$ $f(x)< f(a)$

が成り立つとき,$x=a$ で極大であるといい,$f(a)$ を極大値という.

$x\neq a$ $\Longrightarrow$ $f(x)> f(a)$

が成り立つとき,$x=a$ で極小であるといい,$f(a)$ を極小値という.


要するに,グラフを局所的に見たときの最大が極大,局所的に見たときの最小が極小になります.

小さく区間を取りますが,開区間でとるのが重要です(閉区間だと,その区間で最大最小をもってしまいます)




極大,極小の例(数Ⅱ,数Ⅲ共通)

実際に極大,極小の例を,少し極端な場合も含めて見ていきます.


$f'(x)=0$ である点が極値とは限らない

極大値,極小値の例1

$f'(x)=0$ であると接線の傾きが $0$ になるので,極値になると思っている人がいますが,前後のグラフの増減を見てみないと判断できません.上の図の $y=x^{5}-\dfrac{5}{3}x^{3}$ では,$x=0$ で極値になりません.

微分可能であり,$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号が変化する点は極値になります.

補足:停留値


折れた点では微分できないが,極値になりうる

極大値,極小値の例2

絶対値で表された関数など,折れた点では微分ができません(詳しくは,数Ⅲの微分可能であるとはにあります).

上の図の $y=|x^{2}-1|$ でいうと,$x=\pm 1$ では微分できませんが,小さく開区間をとると最小値になるので,極小値になることがいえます.

微分できることは,極値をもつことの必要条件ではありません.


連続でなくても極値になりうる.

極大値,極小値の例3

高校の検定教科書では連続に限定していると思いますが,一般には連続でなくても,極値をとります.あまり出題されない例ですが.

$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号変化が起きただけでは,極大,極小を判断できません.




例題と練習問題(数Ⅱ)

例題

例題

次の関数の極値を求め,グラフをかけ.

$y=x^{3}-3x$


講義

微分をして,増減表を書いて,それをもとにグラフを書いていきます.


解答

$y'=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ より

増減表は

$x$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$y'$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$y$ ↗︎ $2$ ↘︎ $-2$ ↗︎

$\boldsymbol{x=-1}$ のとき,極大値 $\boldsymbol{2}$

$\boldsymbol{x=1}$ のとき,極小値 $\boldsymbol{-2}$

グラフは

例題

のようになる.



練習問題

練習1

次の関数の極値を求め,グラフをかけ.

(1) $y=-x^{3}-6x^{2}-9x-4$

(2) $y=|-x^{3}-6x^{2}-9x-4|$

練習1の解答




練習問題(数Ⅲ)

数Ⅲの場合も本質的に同じですが,増減表を書くうえで,定義域がすべての実数でない可能性があるので注意です.


練習2

次の関数の極値を求めよ.

(1) $y=x\log x$

(2) $y=|x-1|e^{-x}$

(3) $y=\cos x(1+\sin x)$ $(0\leqq x \leqq 2\pi)$

練習2の解答



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