微分可能であるとは
微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
関数の微分可能性について扱います．
微分可能の定義を確認し，関数の連続との関係についても言及し，微分不可能の例を挙げます．
微分可能の定義と性質
ポイント
微分可能の定義
関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは，$x=a$ における微分係数
$\boldsymbol{\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$
が存在することである．
すなわち
$\boldsymbol{\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \to -0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$
が必要で，それぞれ当サイトでは右側微分係数，左側微分係数と呼ぶことにします．
※ 微分係数 $\displaystyle f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ が存在すること でも同じです．
つまり， $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であることを言うには，右側微分係数と左側微分係数が有限確定で一致することを示せばOKです．
続いて，微分可能の性質です．
ポイント
微分可能と連続
関数 $f(x)$ に関して
$\boldsymbol{x=a}$ で微分可能 $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{x=a}$ で連続
微分可能を定義した際に導かれる定理で，証明ができます．この事実から，この命題の対偶である
連続でないならば微分可能でない
ことが直ちに言えます．
証明は下に格納しました．
上の証明
関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能 $\Longrightarrow$ $x=a$ で連続であることの証明
$\displaystyle \lim_{x \to a}\{f(x)-f(a)\}$
$\displaystyle =\lim_{x \to a}\left\{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\right\}$
$\displaystyle =f'(a)(a-a)$
$=0$
$\displaystyle \therefore \ \lim_{x \to a}f(x)=f(a)$
微分不可能な例
微分不可能な点をもつ関数の例を挙げます．
そもそも連続でない
$f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+2}{x+1}$ は $x=-1$ では微分不可能．
その点で連続でないと微分できません．
折れ線関数の折れた点
$f(x)=|x-1|+1$ は $x=1$ では微分不可能．
右側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{|1+h-1|+1-1}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{h}{h}=1$
左側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{|1+h-1|+1-1}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{-h}{h}=-1$
より，両者が一致しないので微分不可能．接線も確定しませんよね．
滑らかでも垂直接線が引ける点
$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x} \hspace{9mm} (x\geqq 0) \\ -\sqrt{-x} \ \ (x<0)\end{cases}$ は $x=0$ では微分不可能．
どこでも連続ですが
右側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{\sqrt{h}-0}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{1}{\sqrt{h}}=\infty$
左側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{-\sqrt{-h}-0}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{1}{\sqrt{-h}}=\infty$
より，両者が一致しても有限確定しないと微分不可能．ただしこの場合接線は $x=0$ です．
例題と練習問題
例題
例題
関数 $f(x)=x^{2}|x-1|$ は $x=1$ で連続であるか，微分可能であるかについてそれぞれ調べよ．
講義
連続の定義，微分可能の定義を満たすか確認します．連続でないことが言えれば微分可能でないので，連続から確認します．
解答
$\displaystyle \lim_{x \to 1+0}f(x)=\lim_{x \to 1-0}f(x)=0$ より，$\boldsymbol{x=1}$ で連続．
右側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{(1+h)^{2}h-0}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}(1+h)^{2}=1$
左側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{(1+h)^{2}(-h)-0}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\{-(1+h)^{2}\}=-1$
両者が等しくないので $\boldsymbol{x=1}$ で微分可能でない．
※ グラフは以下のようになります．要はとんがっていると微分できません．ちなみに $x=1$ 以外では微分できます．
練習問題
練習
$n$ を $0$ 以上の整数とする．関数
$f(x)=\begin{cases}x^{n}\sin\dfrac{1}{x} \ \ (x\neq 0) \\ \hspace{0mm} \\ 0 \ \hspace{14mm} (x=0) \end{cases}$
が $x=0$ で連続であるか，微分可能であるかについてそれぞれ調べよ．
練習の解答
(ⅰ) $n=0$ のとき
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin\dfrac{1}{x}$ は振動するので極限をもたない．つまり $\boldsymbol{x=0}$ で連続でない．
$x=0$ で連続でないから $\boldsymbol{x=0}$ で微分可能でない．
(ⅱ) $n\geqq 1$ のとき
$-\left|x^{n}\right|\leqq -\left|x^{n}\sin\dfrac{1}{x}\right|\leqq x^{n}\sin\dfrac{1}{x}\leqq \left|x^{n}\sin\dfrac{1}{x}\right|\leqq \left|x^{n}\right|$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}(-\left|x^{n}\right|)=\lim_{x \to 0}\left|x^{n}\right|=0$ より
$\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{n}\sin\dfrac{1}{x}=0 \ \cdots$ ☆
$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)$ より，$\boldsymbol{x=0}$ で連続．
右側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{h^{n}\sin\dfrac{1}{h}-0}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to +0}h^{n-1}\sin\dfrac{1}{h}$
左側微分係数は
$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{h^{n}\sin\dfrac{1}{h}-0}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h \to -0}h^{n-1}\sin\dfrac{1}{h}$
① $n=1$ のとき
右側，左側微分係数ともに振動するので $\boldsymbol{x=0}$ で微分可能でない．
② $n\geqq 2$ のとき，☆と同様で
$\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=0$
$\displaystyle \lim_{h \to -0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=0$
より両者が等しいので $\boldsymbol{x=0}$ で微分可能．