単調増加(減少)と関数の増減
タイプ：教科書範囲 レベル：★
このページでは，単調増加・単調減少の定義と性質を紹介し，関数の増減の問題を扱います．本質的に同じなので数Ⅱ，数Ⅲともにこのページで扱います．
数Ⅱの微分を勉強中の人は，2章までです．
単調増加(減少)の定義と性質(数Ⅱ，数Ⅲ共通)
ポイント
単調増加(減少)の定義
関数 $f(x)$ が，ある区間 $I$ で
$x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})< f(x_{2})$
が成り立つとき，単調に増加するといい
$x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})> f(x_{2})$
が成り立つとき，単調に減少するという．
※ $x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})\leqq f(x_{2})$ のときも単調増加といい，強調したいときは広義単調増加と言うことがあります．減少に関しても同様です．
この定義から次の性質が証明できます．
ポイント
単調増加(減少)と導関数の関係
関数 $f(x)$ が，ある区間 $I$ で
常に $\boldsymbol{f'(x)>0}$ $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は $\boldsymbol{I}$ で単調増加
常に $\boldsymbol{f'(x)<0}$ $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は $\boldsymbol{I}$ で単調減少
常に $\boldsymbol{f'(x)=0}$ $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は $\boldsymbol{I}$ で定数
※ $f'(x)> 0$ ではなく $f'(x)\geqq 0$ でも単調増加といい，強調したいときは広義単調増加と言うことがあります．減少に関しても同様です．
接線の傾きで考えれば直感的に当たり前ですが，きちんと証明することができます．数学Ⅲの平均値の定理を使って証明するので，数Ⅱの検定教科書には記載されず，数Ⅲの方で載っています．
証明(数Ⅲ範囲)
証明
例題と練習問題(数Ⅱ)
例題
例題
次の関数の増減を調べよ．
$f(x)=x^{3}-3x$
講義
$f'(x)$ を求めます．増減表を書くと採点者にもわかりやすく主張できます．
解答
$f'(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ より
増減表は
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗︎ | $f(-1)$ | ↘︎ | $f(1)$ | ↗︎ |
$\boldsymbol{x<-1，1<x}$ のとき，単調増加．
$\boldsymbol{-1<x<1}$ のとき，単調減少．
練習問題
練習1
次の関数の増減を調べよ．
$f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-8$
練習1の解答
練習問題(数Ⅲ)
練習2
次の関数の増減を調べよ．
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\log x$
練習2の解答