単調増加(減少)と関数の増減
微分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲) ★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
単調増加・単調減少の定義と性質を紹介し，関数の増減の問題を扱います．
数学Ⅱの微分を勉強中の方は，2章までです．
単調増加(減少)の定義と性質
単調増加(減少)の定義
関数 $f(x)$ が，ある区間 $I$ で
$x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})< f(x_{2})$
が成り立つとき，単調に増加するといい
$x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})> f(x_{2})$
が成り立つとき，単調に減少するという．
※ $x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})\leqq f(x_{2})$ のときも単調増加といい，強調したいときは広義単調増加と言うことがあります．減少に関しても同様です．
この定義から次の性質が証明できます．ただし証明の理解には数学Ⅲの平均値の定理が必要です．
単調増加(減少)と導関数の関係
関数 $f(x)$ が，ある区間 $I$ で
常に $\boldsymbol{f'(x)>0}$ $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は $\boldsymbol{I}$ で単調増加
常に $\boldsymbol{f'(x)<0}$ $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は $\boldsymbol{I}$ で単調減少
常に $\boldsymbol{f'(x)=0}$ $\boldsymbol{\Longrightarrow}$ $\boldsymbol{f(x)}$ は $\boldsymbol{I}$ で定数
※ $f'(x)> 0$ ではなく $f'(x)\geqq 0$ でも単調増加といい，強調したいときは広義単調増加と言うことがあります．減少に関しても同様です．
単調増加の場合を示します(単調減少の場合も同様です)．
単調増加の場合の証明
$x_{1},x_{2}\in I$ $(x_{1}< x_{2})$ をとると，平均値の定理より
$f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1})$
を満たす実数 $c$ $(x_{1}< c < x_{2})$ が存在する．右辺が正なので，左辺も正．つまり $f(x_{2})> f(x_{1})$．
$f(x)$ は単調に増加する．
定数の場合の証明
$x_{1},x_{2}\in I$ $(x_{1}< x_{2})$ をとると，平均値の定理より
$f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1})$
を満たす実数 $c$ $(x_{1}< c < x_{2})$ が存在する．$f'(c)=0$ なので，左辺も $0$．つまり $f(x_{2})=f(x_{1})$．
$f(x)$ は定数．
接線の傾きで考えれば直感的には当たり前ですね．最初は上の事実だけ知っていれば問題ありません．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
次の関数の増減を調べよ．
$f(x)=x^{3}-3x$
講義
$f'(x)$ を求めます．増減表を書くと採点者にもわかりやすく主張できます．
解答
$f'(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ より
増減表は
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗︎ | $f(-1)$ | ↘︎ | $f(1)$ | ↗︎ |
$\boldsymbol{x<-1，1<x}$ のとき，単調増加．
$\boldsymbol{-1<x<1}$ のとき，単調減少．
練習問題
練習1
次の関数の増減を調べよ．
$f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-8$
練習1の解答
$f'(x)=3x^{2}-12x+12=3(x-2)^{2}\geqq 0$ より
常に単調増加．
※ $f'(x)=0$ を満たす点が連続しないならば，単調増加の定義である $x_{1},x_{2}\in I$，$x_{1}< x_{2}$ $\Longrightarrow$ $f(x_{1})< f(x_{2})$ を満たすので単調増加になります．
練習問題(数学Ⅲ)
練習2
次の関数の増減を調べよ．
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\log x$
練習2の解答
真数条件より定義域が $x>0$ なので注意です．
$f'(x)=x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}$ より
増減表は
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | × | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | × | ↘︎ | $f(1)$ | ↗︎ |
$\boldsymbol{x>1}$ のとき，単調増加．
$\boldsymbol{x<1}$ のとき，単調減少．