指数法則
指数・対数(教科書範囲) ★
指数を $a^{\sqrt{2}}$ のように実数まで拡張し，指数法則と累乗根の性質を扱います．
自然数と整数の指数法則
$a^{n}$ とは以下のように
$a^{n}=\overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{n \ 個}$
指数はあくまで掛け算を繰り返した回数を表しています．つまり指数は自然数であるという制約があったのですが，これを拡張し，整数，有理数，実数と拡張していきます．
それは $y=a^{x}$ という指数関数へと繋がります．
自然数の指数法則
指数が自然数であるときの指数法則は数学Ⅰの数と式で扱っていますが，リマインドで掲載します．
自然数の指数法則
$a$，$b$ を実数，$m$，$n$ を自然数とする．
(ⅰ) $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
(ⅱ) $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
(ⅲ) $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
証明
(ⅰ)
$a^{m}a^{n}$
$=\overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{m \ 個}\times \overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{n \ 個}$
$=\overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{m+n \ 個}$
$=a^{m+n}$
(ⅱ)
$(a^{m})^{n}$
$=\overbrace{\overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{m \ 個}\times \overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{m \ 個}\times \cdots \times \overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{m \ 個}}^{n \ 個}$
$=\overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{mn \ 個}$
$=a^{mn}$
(ⅲ)
$(ab)^{n}$
$=\overbrace{ab \times ab\times\cdots \times ab}^{n \ 個}$
$=\overbrace{a \times a\times\cdots \times a}^{n \ 個}\times \overbrace{b \times b\times\cdots \times b}^{n \ 個}$
$=a^{n}b^{n}$
整数の指数法則
続いて，指数が整数のとき( $\boldsymbol{0}$ や負の数も含めて)でも上記の指数法則が成り立つように以下に定義をします．
$a^{0}$ と $a^{-n}$ の定義
$0$ でない実数 $a$ と自然数 $n$ に対して以下に定義をする．
$\boldsymbol{a^{0}=1}$
$\boldsymbol{a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}}$
理由
$a^{0}=1$ と定義する理由
指数法則 $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ が $m$ が自然数かつ $n=0$ でも成り立つと仮定すると
$a^{m}a^{0}=a^{m}$
となります．
$a\neq 0$ のときは $a^{0}=1$ となります．つまり $a^{0}=1$ と定義すると残りの自然数の指数法則も含めてすべて成立します．
$a=0$ のときは任意の自然数 $m$ に対して $a^{m}=0$ なので，$a^{0}$ がどんな値であれ上の等式が成立してしまいます．つまり $\boldsymbol{0^{0}}$ は定義できないと解釈できます(高校数学以外の立場では $0^{0}=1$ もしくは $0^{0}=0$ とするとそれぞれの場合で利点があり，どの値にすべきかは扱う者の立場により異なります．例えばJavaScript等の多くのプログラミング言語では $0^{0}=1$ としています．)．
$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ と定義する理由
指数法則 $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ が $m=n'$ かつ $n=-n'$ ( $n'$ は自然数)でも成り立つと仮定すると
$a^{n'}a^{-n'}=a^{0}$
ここで右辺の値は $a\neq 0$ のときしか定まらないのでこのときのみ考えます．$a^{0}=1$ より $a^{-n'}=\dfrac{1}{a^{n'}}$ となるので，逆に言えば $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ と定義すれば残りの自然数の指数法則も含めてすべて成立します．
上の定義を用いると，指数が整数の場合でも指数法則が適用できます．
整数の指数法則
$a$，$b$ を $0$ でない実数，$m$，$n$ を整数とする．
(ⅰ) $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
(ⅱ) $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
(ⅲ) $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
累乗根
次章で $a^{q}$ における指数 $q$ を有理数まで拡張するために準備をします．
自然数 $n$，実数 $a$ に対して，$n$ 乗して $a$ になる数を $a$ の $\boldsymbol{n}$ 乗根または累乗根と言います．これらは実数の範囲をここでは考えます(複素数の範囲で考えたものは数学Ⅲですが複素数平面にあります)．
$a$ の $n$ 乗根を表現するために $\sqrt[n]{a}$ という記号を定義します．
$\sqrt[n]{a}$ の定義
$n$ を自然数，$a$ を実数とする．
(ⅰ) $n$ が奇数のとき：$a$ の $n$ 乗根は1つだけ存在し，これを $\boldsymbol{\sqrt[n]{a}}$ と表す．
(ⅱ) $n$ が偶数のとき：$a$ ( $>0$ )の $n$ 乗根は2つ存在し，これを $\boldsymbol{\pm\sqrt[n]{a}}$ で表す．
(ⅲ) $\sqrt[n]{0}=0$ とする．
※ $a>0$ のとき，$n$ の偶奇に関わらず $\sqrt[n]{a}$ は $n$ 乗すると $a$ になるただ1つの正の数で，$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$ です．
※ $\sqrt[2]{a}$ は今まで通り $\sqrt{a}$ で表すことが多いです．
例えば $\sqrt[3]{-8}=-2$ となるわけですが，$a>0$ でないと $n$ が偶数のときの $\sqrt[n]{a}$ が定義できないので，今後は $a>0$ のときのみ考えることが多いです．
以下に累乗根の性質を記載します．
累乗根の性質
$a$，$b$ は正の実数で，$l$，$m$，$n$ が正の整数のとき
(ⅰ) $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
(ⅱ) $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
(ⅲ) $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$
(ⅳ) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
(ⅴ) $\sqrt[ln]{a^{lm}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
証明
すべて指数法則を使って示します．
(ⅰ)
$(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b})^{n}$
$=(\sqrt[n]{a})^{n}(\sqrt[n]{b})^{n}$
$=ab$
$\therefore \ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
(ⅱ)
$\left(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^{n}$
$=\dfrac{(\sqrt[n]{a})^{n}}{(\sqrt[n]{b})^{n}}$
$=\dfrac{a}{b}$
$\therefore \ \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
(ⅲ)
$\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}\right)^{n}$
$=\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}\right)^{m}$
$=a^{m}$
$\therefore \ \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$
(ⅳ)
$\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^{mn}$
$=\left(\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^{m}\right)^{n}$
$=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}$
$=a$
$\therefore \ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
(ⅴ)
$\left(\sqrt[ln]{a^{lm}}\right)^{n}$
$=\left(\sqrt[n]{\sqrt[l]{a^{lm}}}\right)^{n}$ ( $\because$ (ⅳ))
$=\sqrt[l]{a^{lm}}$
$=\left(\sqrt[l]{a}\right)^{lm}$ ( $\because$ (ⅲ))
$=\left(\left(\sqrt[l]{a}\right)^{l}\right)^{m}$
$=a^{m}$
$\therefore \ \sqrt[ln]{a^{lm}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
ここでの性質をもとに，次章で指数を有理数まで拡張するので，実は上の表記は使われないことが多いです．
有理数の指数法則
有理数 $q$ に対して $a^{q}$ という数を定義します．
累乗根での導入を踏まえ，$a^{q}$ を以下に定義します．
$a^{q}$ ( $q$ は有理数)の定義
$a$ を正の実数，$m$，$n$ を自然数とする．正の有理数 $\dfrac{m}{n}$ に対して
$\boldsymbol{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}}$
と定義する．負の有理数 $-r$ に対して
$\boldsymbol{a^{-r}=\dfrac{1}{a^{r}}}$
と定義する．
理由
理由
まず，$q=\dfrac{1}{n}$ を考えます．$a^{\frac{1}{n}}$ が指数法則が成り立つとすると
$a=a^{1}=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}$
より，$\boldsymbol{a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}}$ と定義するのが自然です．このとき，$a<0$ だと $n$ が偶数のときに $a^{\frac{1}{n}}$ が定義できないので，$\boldsymbol{a>0}$ という条件が付くと場合分けせず定義できて便利なので，これからも $a>0$ のときのみで限定します．
次に自然数 $m$，$n$ に対して $a^{\frac{m}{n}}$ を考えます．指数法則が成り立つとすると(累乗根の性質も踏まえ)
$a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{1}{n}\cdot m}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$
と定義するのが自然です．
$q$ が負の数に関しては $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ ( $n$ は自然数)と定義したことと理由は同様です．
上の定義を用いると，指数が有理数の場合でも指数法則が適用できます．
有理数の指数法則
$a$，$b$ を正の実数，$q$，$r$ を有理数とすると，以下が成り立つ．
(ⅰ) $a^{q}a^{r}=a^{q+r}$，$\dfrac{a^{q}}{a^{r}}=a^{q-r}$
(ⅱ) $(a^{q})^{r}=a^{qr}$
(ⅲ) $(ab)^{q}=a^{q}b^{q}$，$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{q}=\dfrac{a^{q}}{b^{q}}$
実数の指数法則
少し難しい話(興味がある方向け)
いよいよ実数の場合です．指数が有理数の場合は前章で述べた通りなので指数が無理数でも問題ないように(指数法則が機能するように)，指数の実数乗を定義するといいと思うと思いますが，そもそも実数とは何なのか？という深い話になってしまいます．
大学数学の話になりますが，実数 $\alpha$ に収束する有理数列が存在するという定理があります．
直感的には，例えば $a^{\sqrt{2}}$ では，$\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ なので
$a^{1}$
$a^{1.4}$
$a^{1.41}$
$a^{1.414}$
$a^{1.4142}$
$a^{1.41421}$
$\vdots$
のように，並んでいる数列はすべて $a$ の有理数乗の形をしているので，指数法則が適用できます．そして上の極限(行き着く先)を $a^{\sqrt{2}}$ とします．極限をとっても(指数が無理数の場合も)有理数と同様に指数法則が機能することが実はわかります．
ただし，前章まできちんと向き合っておいて残念ですがこれを完全に理解するには大学の数学まで待つ必要があります．
全員向け
指数が実数の場合も前章と同様に指数法則が成り立つことが知られています．
実数の指数法則
$a$，$b$ を正の実数，$x$，$y$ を実数とすると，以下が成り立つ．
(ⅰ) $a^{x}a^{y}=a^{x+y}$，$\dfrac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
(ⅱ) $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
(ⅲ) $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$，$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}=\dfrac{a^{x}}{b^{x}}$
一般に指数法則といえば指数が実数の場合を指します．
これにより関数 $y=a^{x}$，指数関数の導入が可能になります．
例題と練習問題
例題
例題
次の計算をせよ．ただし，$a>0$，$b>0$ とする．
(1) $8^{2}\times4^{-2}\div 32^{-1}$
(2) $4^{-\frac{3}{2}}\times27^{\frac{1}{3}}\div \sqrt{16^{-3}}$
(3) $\sqrt{a^{-3}\sqrt{b}}\div\sqrt[4]{a^{2}b^{-3}}$
(4) $\left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}$
講義
指数法則を適用していきます．累乗根は $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$ のように指数を使うのがオススメです．
解答
(1)
$8^{2}\times4^{-2}\div 32^{-1}$
$=(2^{3})^{2}\times(2^{2})^{-2}\div (2^{5})^{-1}$
$=2^{6}\times2^{-4}\div 2^{-5}$
$=2^{6}\times2^{-4}\times 2^{5}$
$=2^{6-4+5}$
$=2^{7}$
$=\boldsymbol{128}$
(2)
$4^{-\frac{3}{2}}\times27^{\frac{1}{3}}\div \sqrt{16^{-3}}$
$=(2^{2})^{-\frac{3}{2}}\times(3^{3})^{\frac{1}{3}}\div \{(2^{4})^{-3}\}^{\frac{1}{2}}$
$=2^{-3}\times 3\div 2^{-6}$
$=2^{-3}\times 3\times 2^{6}$
$=2^{3}\times 3$
$=\boldsymbol{24}$
(3)
$\sqrt{a^{-3}\sqrt{b}}\div\sqrt[4]{a^{2}b^{-3}}$
$=\left(a^{-3}b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\div\left(a^{2}b^{-3}\right)^{\frac{1}{4}}$
$=a^{-\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{4}}\div a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{3}{4}}$
$=a^{-\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{4}}\times a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{4}}$
$=a^{-2}b$
$=\boldsymbol{\dfrac{b}{a^2}}$
(4)
$\left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}$
$=a+2+a^{-1}$
$=\boldsymbol{a+2+\dfrac{1}{a}}$
※ 答え方は $\dfrac{1}{a}$ でも $a^{-1}$ でもどちらでもOKです．
練習問題
練習1
次の式を簡単にせよ．
(1) $\sqrt[3]{-54}\div\sqrt[3]{\sqrt{128}}\div\sqrt[3]{-4}$
(2) $\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}\right)\left\{(\sqrt[3]{5})^{2}+\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{4}+(\sqrt[3]{4})^{2}\right\}$
練習2
$2^{x}+2^{-x}=3$ のとき，$4^{x}+4^{-x}$ と $2^{x}-2^{-x}$ の値をそれぞれ求めよ．
練習1の解答
(1)
$\sqrt[3]{-54}\div\sqrt[3]{\sqrt{128}}\div\sqrt[3]{-4}$
$=-(2\cdot 3^{3})^{\frac{1}{3}}\div\left\{(2^{7})^{\frac{1}{2}}\right\}^{\frac{1}{3}}\div\left\{-(2^{2})^{\frac{1}{3}}\right\}$
$=-2^{\frac{1}{3}}\cdot 3\div2^{\frac{7}{6}}\div\left(-2^{\frac{2}{3}}\right)$
$=-2^{\frac{1}{3}}\cdot 3\times2^{-\frac{7}{6}}\times\left(-2^{-\frac{2}{3}}\right)$
$=2^{-\frac{3}{2}}\cdot 3$
$=\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{2}}{4}}$
(2)
$\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}\right)\left\{(\sqrt[3]{5})^{2}+\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{4}+(\sqrt[3]{4})^{2}\right\}$
$=\left(\sqrt[3]{5}\right)^{3}-\left(\sqrt[3]{4}\right)^{3}$
$=5-4$
$=\boldsymbol{1}$
練習2の解答
$(2^{x}+2^{-x})^{2}$
$=(2^{x})^{2}+2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}+(2^{-x})^{2}$
$=(2^{2})^{x}+2\cdot 2^{x-x}+(2^{2})^{-x}$
$=4^{x}+2+4^{-x}=9$
$\therefore \ 4^{x}+4^{-x}=\boldsymbol{7}$
$(2^{x}-2^{-x})^{2}$
$=(2^{x})^{2}-2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}+(2^{-x})^{2}$
$=(2^{2})^{x}-2\cdot 2^{x-x}+(2^{2})^{-x}$
$=4^{x}-2+4^{-x}$
$=7-2=5$
$\therefore \ 2^{x}-2^{-x}=\boldsymbol{\pm\sqrt{5}}$