三角関数の積分
積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★★
三角関数に関連した積分は少し特殊なのでまとめて扱います．
このページでは不定積分と定積分を同時に扱います．
基本的な三角関数の積分
基本的な三角関数の積分
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \sin x\,dx=-\cos x+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \cos x\,dx=\sin x+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \tan x\,dx=-\log|\cos x|+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C}}$
すべて右辺微分で証明できますが，$\tan x$ の積分は $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ として，$t=\cos x$ とおいた置換積分で導けるのが大切で，丸暗記をしなくていいと思います．
主な三角関数の積分の解法
頻出の積分
三角関数で表された関数は微分は簡単ですが積分は工夫が必要です．よく見る例を挙げます．
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2}x\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{1-\cos2x}{2}\,dx$
上のように，左の積分は半角(2倍角)の公式を使って次数を下げるのが必要です．
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{3}x\,dx=\int_{}^{} \ (t^{2}-1)\,dt$
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{-1}{1+t}\,dt$
$3$ 乗(奇数乗)，$f(\cos x)\sin x$ の積分は，$t=\cos x$ とした置換積分が有効です．
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin 5x\cos 2x\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}(\sin7x+\sin3x)\,dx$
積の形で表された場合，積和変換公式で和の形にするのが有効です．
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{\sin x}\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{-1}{1-t^2}\,dt$
分数関数となった場合も，$t=\cos x$ とした置換積分が有効で，置換積分のページでも扱っています．
三角関数の有利関数表示を使う積分
以下は稀に見る発展で，余裕がある人向けです．
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{13\sin x+5}\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{2}{(5t+1)(t+5)}\,dt$
三角関数で表された関数の場合，$\boldsymbol{t=\tan \dfrac{x}{2}}$ とした置換積分が有効です．
※ ここに詳しくは書けませんが有理関数は少なくとも大学範囲の知識を使えば必ず積分できるので，三角関数を有利関数表示をすることに意味があります．
例題と練習問題
例題
例題
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2}x\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{3}x\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ \sin 5x\cos x\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{13\sin x+5}\,dx$ (発展)
講義
上の章にある解法通りに変形します．(5)は検定教科書のレベルを少し逸脱しているので初学者は飛ばしてもいいと思います．
解答
以下 $C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{2}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx$ ←半角(2倍角)の公式
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+C}$
(2)
$\cos x=t$ とおくと
$-\sin x\, dx=dt$
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{3}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ ( 1-\cos^{2}x)\sin x\,dx$ ←相互関係
$\displaystyle =\int_{}^{} \ ( 1-t^{2})(-1)\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{1}{3}t^{3}-t+C$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\cos^{3}x-\cos x+C}$
別解
$\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$
$\Longleftrightarrow \ \sin^{3}x=\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{1}{4}\sin 3x$
を使って
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin^{3}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{1}{4}\sin 3x\right)\,dx$
$=\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}\cos x+\dfrac{1}{12}\cos 3x+C}$
(3)
$\cos x=t$ とおくと
$-\sin x\, dx=dt$
積分範囲は
| $x$ | $0 \ \to \ \dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|
| $t$ | $1 \ \to \ 0$ |
となるので
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{1}^{0}\dfrac{-1}{1+t}\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+t}\,dt$
$\displaystyle =\Bigl[\log |1+t|\Bigr]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\log2}$
(4)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin 5x\cos x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}(\sin6x+\sin4x)\,dx$
$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{12}\cos 6x-\dfrac{1}{8}\cos4x+C}$
(5)
$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと
$\sin x$
$=\dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\cos^{2}\dfrac{x}{2}+\sin^{2}\dfrac{x}{2}}$
$=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1+\tan^{2}\dfrac{x}{2}}$
$=\dfrac{2t}{1+t^2}$
また
$\dfrac{1}{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}\, dx=dt$
$dx=\dfrac{2}{1+t^2}\, dt$
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{13\sin x+5}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{\dfrac{26t}{1+t^{2}}+5}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{2}{(5t+1)(t+5)}\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{1}{12}\int_{}^{} \ \left(\dfrac{5}{5t+1}-\dfrac{1}{t+5}\right)\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{1}{12}\left(\log|5t+1|-\log|t+5|\right)+C$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}\log\left|\dfrac{5\tan\dfrac{x}{2}+1}{\tan\dfrac{x}{2}+5}\right|+C}$
練習問題
練習
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \cos^{2}x\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{}^{} \ \cos^{3}x\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos x}\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ \cos 4x\cos 2x\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{3}\pi}\dfrac{1}{2+\cos x}\,dx$ (発展)
解答
以下，$C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \cos^{2}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1+\cos 2x}{2}\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin2x+C}$
(2)
$\sin x=t$ とおくと
$\cos x\, dx=dt$
$\displaystyle \int_{}^{} \ \cos^{3}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ ( 1-\sin^{2}x)\cos x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ ( 1-t^{2})\,dt$
$\displaystyle =t-\dfrac{1}{3}t^{3}+C$
$=\boldsymbol{\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^{3}x+C}$
別解
を使って
$\displaystyle \int_{}^{} \ \cos^{3}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(\dfrac{1}{4}\cos 3x+\dfrac{3}{4}\cos x\right)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}\sin 3x+\dfrac{3}{4}\sin x+C}$
(3)
$\sin x=t$ とおくと
$\cos x\, dx=dt$
積分範囲は
| $x$ | $\dfrac{\pi}{6} \ \to \ \dfrac{\pi}{4}$ |
|---|---|
| $t$ | $\dfrac{1}{2} \ \to \ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
となるので
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x}{1-\sin^{2} x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\dfrac{1}{1-t^{2}}\,dt$
$\displaystyle =\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\Bigl[-\log |1-t|+\log |1+t|\Bigr]_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$=\boldsymbol{\log\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}}$
(4)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \cos 4x\cos 2x\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}(\cos6x+\cos2x)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}\sin 6x+\dfrac{1}{4}\sin2x+C}$
(5)
$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと
$\cos x$
$=\dfrac{\cos^{2}\dfrac{x}{2}-\sin^{2}\dfrac{x}{2}}{\cos^{2}\dfrac{x}{2}+\sin^{2}\dfrac{x}{2}}$
$=\dfrac{1-\tan^{2}\dfrac{x}{2}}{1+\tan^{2}\dfrac{x}{2}}$
$=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
また
$\dfrac{1}{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}\, dx=dt$
$\, dx=\dfrac{2}{1+t^2}\, dt$
積分範囲は
| $x$ | $0 \ \to \ \dfrac{2}{3}\pi$ |
|---|---|
| $t$ | $0 \ \to \ \sqrt{3}$ |
となるので
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{3}\pi}\dfrac{1}{2+\cos x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{1}{2+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{2}{t^{2}+3}\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{2}{3\tan^{2}u+3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^{2}u}\,du$ ( $\sqrt{3}\tan u=t$ とおく)
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi}$