和積(積和)変換公式
三角関数(教科書範囲) ★★★
三角関数の和積変換公式，積和変換公式について扱います．
数学Ⅱだと発展的内容になりますが，数学Ⅲの三角関数の積分で登場しよく使用する公式です．
和積(積和)変換公式
任意の実数$\alpha$，$\beta$ に対して以下が成り立つ．
和積変換公式
(ⅰ) $\boldsymbol{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta}$
(ⅱ) $\boldsymbol{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta}$
(ⅲ) $\boldsymbol{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta}$
(ⅳ) $\boldsymbol{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta}$
積和変換公式
(ⅰ) $\boldsymbol{\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}}$
(ⅱ) $\boldsymbol{\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\}$
(ⅲ) $\boldsymbol{\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}}$
(ⅳ) $\boldsymbol{\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}}$
本質は加法定理をただ組み合わせただけです．
和→積に変える和積変換公式の証明は，加法定理を適用するだけで簡単なので割愛します．覚えるのではなく，導けるようにします．
積→和に変える積和変換公式は，和積変換公式の同じ式番号をただ両辺入れ替えて $2$ で割っただけです．これも覚えるのではなく，導けるようにします．
例題と練習問題
例題
例題
次の三角関数が和の形であれば積に，積の形であれば和に変形せよ．
(1) $\sin4\theta+\sin2\theta$
(2) $\cos6\theta+\cos2\theta$
(3) $\sin5\theta\cos\theta$
(4) $\sin4\theta\sin2\theta$
講義
(1)(2)は和積変換公式そのままです．2つの角度の平均からのずれで加法定理を適用します．
(3)(4)は親となる加法定理を思い浮かべます．
解答
(1)
$\sin4\theta+\sin2\theta$
$=\sin(3\theta+\theta)+\sin(3\theta-\theta)$ ←角度の平均は $3\theta$ でずれが $\theta$
$=\sin3\theta\cos\theta+\cos3\theta\sin\theta+\sin3\theta\cos\theta-\cos3\theta\sin\theta$
$=\boldsymbol{2\sin3\theta\cos\theta}$
(2)
$\cos6\theta+\cos2\theta$
$=\cos(4\theta+2\theta)+\cos(4\theta-2\theta)$ ←角度の平均は $4\theta$ でずれが $2\theta$
$=\cos4\theta\cos2\theta-\sin4\theta\sin2\theta+\cos4\theta\cos2\theta+\sin4\theta\sin2\theta$
$=\boldsymbol{2\cos4\theta\cos2\theta}$
(3)
$\sin5\theta\cos\theta$ ←これが出る加法定理を考える
$=\dfrac{1}{2}\{\sin(5\theta+\theta)+\sin(5\theta-\theta)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}(\sin6\theta+\sin4\theta)}$
(4)
$\sin4\theta\sin2\theta$ ←これが出る加法定理を考える
$=-\dfrac{1}{2}\{\cos(4\theta+2\theta)-\cos(4\theta-2\theta)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}(\cos2\theta-\cos6\theta)}$
練習問題
練習
次の三角関数が和の形であれば積に，積の形であれば和に変形せよ．
(1) $\cos3\theta+\cos5\theta$
(2) $\sin4\theta-\sin3\theta$
(3) $\sin6\theta\cos4\theta$
(4) $\cos5\theta\cos3\theta$
練習の解答
(1)
$\cos3\theta+\cos5\theta$
$=\cos(4\theta-\theta)+\cos(4\theta+\theta)$
$=\boldsymbol{2\cos4\theta\cos\theta}$
(2)
$\sin4\theta-\sin3\theta$
$=\sin\left(\dfrac{7}{2}\theta+\dfrac{1}{2}\theta\right)-\sin\left(\dfrac{7}{2}\theta-\dfrac{1}{2}\theta\right)$
$=\boldsymbol{2\cos\dfrac{7}{2}\theta\sin\dfrac{1}{2}\theta}$
(3)
$\sin6\theta\cos4\theta$
$=\dfrac{1}{2}\{\sin(6\theta+4\theta)+\sin(6\theta-4\theta)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}(\sin10\theta+\sin2\theta)}$
(4)
$\cos5\theta\cos3\theta$
$=\dfrac{1}{2}\{\cos(5\theta+3\theta)+\cos(5\theta-3\theta)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}(\cos8\theta+\cos2\theta)}$