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3倍角の公式

三角関数(入試の標準) ★★


アイキャッチ

三角関数の3倍角の公式を扱います.

共通テストレベルまで必要の人であれば覚えなくてもいいと思いますが,難関大学受験者は暗記しておきましょう.



3倍角の公式と覚え方

ポイント

3倍角の公式と覚え方

$\boldsymbol{\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta}$

サンシャイン引いて司祭が参上す

サンシャイン引いて司祭が参上す

$\boldsymbol{\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta}$

よい子のみんなで引っ張る神輿みこし

よい子のみんなで引っ張る神輿

色々と語呂合わせや覚え方があり,好きなもので覚えればいいと思いますが,当サイトはこの語呂合わせを紹介します.

司祭というのは宗教を布教させる人のことですね.

3倍角の公式の導出

ポイント

証明

 $\sin 3\theta$

$=\sin(\theta+2\theta)$

$=\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta$ ←加法定理

$=\sin\theta(1-2\sin^{2}\theta)+\cos\theta\cdot2\cos\theta\sin\theta$ ←2倍角の公式

$=\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2(1-\sin^{2}\theta)\sin\theta$

$=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$


 $\cos 3\theta$

$=\cos(\theta+2\theta)$

$=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta$ ←加法定理

$=\cos\theta(2\cos^{2}\theta-1)-\sin\theta\cdot2\sin\theta\cos\theta$ ←2倍角の公式

$=2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2(1-\cos^{2}\theta)\cos\theta$

$=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$


加法定理2倍角の公式を使います.

試験中にこれを導いている時間はないと思うので,暗記をするのが望ましいですが,最低1度は経験しておきたい式変形です.

例題と練習問題

例題

例題

$\theta=\dfrac{\pi}{5}$ のとき,$\sin3\theta=\sin2\theta$ が成り立つことを示し,$\cos\dfrac{\pi}{5}$ を求めよ.


講義

$\cos\dfrac{\pi}{5}$ や $\cos\dfrac{\pi}{7}$ に関する問題では3倍角の公式が必要になることが多いので,関連問題として取り上げました.


解答

$\theta=\dfrac{\pi}{5}$ のとき,$5\theta=\pi \ \Longleftrightarrow \ 3\theta=\pi-2\theta$ より

$\sin3\theta=\sin(\pi-2\theta)=\sin2\theta$

となる.これを変形すると

$3\sin\theta-4\sin^{3}\theta=2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\neq 0$ より,両辺 $\sin\theta$ で割ると

$3-4\sin^{2}\theta=2\cos\theta$

$\Longleftrightarrow \ 3-4(1-\cos^{2}\theta)=2\cos\theta$

$\Longleftrightarrow \ 4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-1=0$

$\therefore \ \cos\theta=\cos\dfrac{\pi}{5}=\boldsymbol{\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}} \ \left(\because \cos\dfrac{\pi}{5}>0\right)$

※ 余裕がある人向けですが $\cos\dfrac{\pi}{5}$ の値のみであれば,黄金三角形を暗記して出すのもありです.

練習問題

練習

(1) 角 $\theta$ (ラジアン)が

$\cos3\theta=\cos4\theta$

をみたすとき,解の1つが $\cos\theta$ であるような4次の方程式を求めよ.

(2) $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ が解の1つであるような3次の方程式を求めよ.

(3) $\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}$ と $\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{6\pi}{7}$ の値をそれぞれ求めよ.

練習の解答 出典:2008東京慈恵会医大改

(1)

 $\cos4\theta$

$=\cos2(2\theta)$

$=2\cos^{2}2\theta-1$

$=2(2\cos^{2}\theta-1)^{2}-1$

$=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1$

よって

$\cos3\theta=\cos4\theta$

$\Longleftrightarrow \ 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1$

$\Longleftrightarrow \ 8\cos^{4}\theta-4\cos^{3}\theta-8\cos^{2}\theta+3\cos\theta+1=0$

これより,解の1つが $\cos\theta$ であるような4次の方程式は

$\boldsymbol{8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0}$


(2) $\cos3\theta=\cos4\theta$ に $\theta=\dfrac{2\pi}{7}$ を代入すると

(左辺) $=\cos\dfrac{6\pi}{7}$

(右辺) $=\cos\dfrac{8\pi}{7}=\cos\left(2\pi-\dfrac{8\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{6\pi}{7}$

より,$\theta=\dfrac{2\pi}{7}$ は $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので,$\cos\dfrac{2\pi}{7}$ は $8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$ の解である.

一方で $\theta=0$ も $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので,$\cos0=1$ も $8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$ の解である.

$8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$

$\Longleftrightarrow \ (x-1)(8x^{3}+4x^{2}-4x-1)=0$

$\cos\dfrac{2\pi}{7}\neq 1$ より $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ が解の1つであるような3次の方程式は

$\boldsymbol{8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0}$


(3) $\cos3\theta=\cos4\theta$ に $\theta=\dfrac{4\pi}{7}$ を代入すると

(左辺) $=\cos\dfrac{12\pi}{7}$

(右辺) $=\cos\dfrac{16\pi}{7}=\cos\left(4\pi-\dfrac{12\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{12\pi}{7}$

より,$\theta=\dfrac{4\pi}{7}$ は $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので,$\cos\dfrac{4\pi}{7}$ も $8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$ の解である.

また,$\cos3\theta=\cos4\theta$ に $\theta=\dfrac{6\pi}{7}$ を代入すると

(左辺) $=\cos\dfrac{18\pi}{7}$

(右辺) $=\cos\dfrac{24\pi}{7}=\cos\left(6\pi-\dfrac{18\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{18\pi}{7}$

より,$\theta=\dfrac{6\pi}{7}$ は $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので,$\cos\dfrac{6\pi}{7}$ も $8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$ の解である.つまり,$8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$ の解は $\cos\dfrac{2\pi}{7}$,$\cos\dfrac{4\pi}{7}$,$\cos\dfrac{6\pi}{7}$ の3つの値であるので,解と係数の関係から

$\begin{cases} \cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}} \\ \cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{6\pi}{7}=\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}\end{cases}$

※ 解きやすそうに見えるように問題の文を原題(2008東京慈恵会医大)と少し変更しました.