3倍角の公式
三角関数(入試の標準) ★★
3倍角の公式を扱います．
3倍角の公式と覚え方
3倍角の公式と覚え方
$\boldsymbol{\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta}$
サンシャイン引いて司祭が参上す
$\boldsymbol{\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta}$
よい子のみんなで引っ張る
※ 司祭というのは宗教を布教させる人のことですね．
証明
$\sin 3\theta$
$=\sin(\theta+2\theta)$
$=\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta$ ←加法定理
$=\sin\theta(1-2\sin^{2}\theta)+\cos\theta\cdot2\cos\theta\sin\theta$ ←2倍角の公式
$=\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2(1-\sin^{2}\theta)\sin\theta$ ←相互関係
$=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$
$\cos 3\theta$
$=\cos(\theta+2\theta)$
$=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta$ ←加法定理
$=\cos\theta(2\cos^{2}\theta-1)-\sin\theta\cdot2\sin\theta\cos\theta$ ←2倍角の公式
$=2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2(1-\cos^{2}\theta)\cos\theta$ ←相互関係
$=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$
導けるのが1番大切ですが，難関大学受験者ならば暗記推奨です．
ちなみに，4倍角以上の暗記はキリがないのでもし出題されたら加法定理を用います．
例題と練習問題
例題
例題
$\theta=\dfrac{\pi}{5}$ のとき，$\sin3\theta=\sin2\theta$ が成り立つことを示し，$\cos\dfrac{\pi}{5}$ を求めよ．
講義
$\cos\dfrac{\pi}{5}$ や $\cos\dfrac{\pi}{7}$ に関する問題では3倍角の公式が必要になることが多いので，関連問題として取り上げました．
解答
$\theta=\dfrac{\pi}{5}$ のとき，$5\theta=\pi \ \Longleftrightarrow \ 3\theta=\pi-2\theta$ より
$\sin3\theta=\sin(\pi-2\theta)=\sin2\theta$ ←還元公式
$3\sin\theta-4\sin^{3}\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\sin\theta\neq 0$ より，両辺 $\sin\theta$ で割ると
$3-4\sin^{2}\theta=2\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ 3-4(1-\cos^{2}\theta)=2\cos\theta$
$\Longleftrightarrow \ 4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-1=0$
$\therefore \ \cos\theta=\cos\dfrac{\pi}{5}=\boldsymbol{\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}} \ \left(\because \cos\dfrac{\pi}{5}>0\right)$
※ 余裕がある人向けですが $\cos\dfrac{\pi}{5}$ の値のみであれば，黄金三角形を暗記して出すのもありです．
練習問題
練習
(1) 角 $\theta$ (ラジアン)が
$\cos3\theta=\cos4\theta$
をみたすとき，解の1つが $\cos\theta$ であるような4次の方程式を求めよ．
(2) $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ が解の1つであるような3次の方程式を求めよ．
(3) $\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}$ と $\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{6\pi}{7}$ の値をそれぞれ求めよ．
練習の解答 出典：2008東京慈恵会医大改
(1)
$\cos4\theta$
$=\cos2(2\theta)$
$=2\cos^{2}2\theta-1$ ←2倍角の公式
$=2(2\cos^{2}\theta-1)^{2}-1$ ←2倍角の公式
$=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1$
よって
$\cos3\theta=\cos4\theta$
$\Longleftrightarrow \ 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1$
$\Longleftrightarrow \ 8\cos^{4}\theta-4\cos^{3}\theta-8\cos^{2}\theta+3\cos\theta+1=0$
これより，解の1つが $\cos\theta$ であるような4次の方程式は
$\boldsymbol{8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0}$
(2) $\cos3\theta=\cos4\theta$ に $\theta=\dfrac{2\pi}{7}$ を代入すると
(左辺) $=\cos\dfrac{6\pi}{7}$
(右辺) $=\cos\dfrac{8\pi}{7}=\cos\left(2\pi-\dfrac{8\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{6\pi}{7}$
より，$\theta=\dfrac{2\pi}{7}$ は $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので，$\cos\dfrac{2\pi}{7}$ は $8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$ の解である．
一方で $\theta=0$ も $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので，$\cos0=1$ も $8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$ の解である．
$8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$
$\Longleftrightarrow \ (x-1)(8x^{3}+4x^{2}-4x-1)=0$
$\cos\dfrac{2\pi}{7}\neq 1$ より $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ が解の1つであるような3次の方程式は
$\boldsymbol{8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0}$
(3) $\cos3\theta=\cos4\theta$ に $\theta=\dfrac{4\pi}{7}$ を代入すると
(左辺) $=\cos\dfrac{12\pi}{7}$
(右辺) $=\cos\dfrac{16\pi}{7}=\cos\left(4\pi-\dfrac{12\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{12\pi}{7}$
より，$\theta=\dfrac{4\pi}{7}$ は $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので，$\cos\dfrac{4\pi}{7}$ も $8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$ の解である．
また，$\cos3\theta=\cos4\theta$ に $\theta=\dfrac{6\pi}{7}$ を代入すると
(左辺) $=\cos\dfrac{18\pi}{7}$
(右辺) $=\cos\dfrac{24\pi}{7}=\cos\left(6\pi-\dfrac{18\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{18\pi}{7}$
より，$\theta=\dfrac{6\pi}{7}$ は $\cos3\theta=\cos4\theta$ の解なので，$\cos\dfrac{6\pi}{7}$ も $8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$ の解である．つまり，$8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$ の解は $\cos\dfrac{2\pi}{7}$，$\cos\dfrac{4\pi}{7}$，$\cos\dfrac{6\pi}{7}$ の3つの値であるので，解と係数の関係から
$\begin{cases} \cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}} \\ \cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{6\pi}{7}=\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}\end{cases}$
※ 解きやすそうに見えるように問題の文を原題(2008東京慈恵会医大)と少し変更しました．