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3倍角の公式の導出と覚え方

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

三角関数の3倍角の公式の導出と覚え方を紹介し,演習問題を用意しました.

文系でセンター試験レベルまで必要の人であれば覚えなくてもいいと思いますが,理系の人または難関大学受験者は暗記しておきましょう.





3倍角の公式と覚え方

ポイント

3倍角の公式と覚え方

$\boldsymbol{\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta}$

サンシャイン引いて司祭が参上す

サンシャイン引いて司祭が参上す

$\boldsymbol{\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta}$

よい子のみんなで引っ張る神輿みこし

よい子のみんなで引っ張る神輿

色々と語呂合わせや覚え方があり,好きなもので覚えればいいと思いますが,当サイトはこの語呂合わせを紹介します.

司祭というのは宗教を布教させる人のことですね.




3倍角の公式の導出

ポイント

証明

 $\sin 3\theta$

$=\sin(\theta+2\theta)$

$=\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta$ 加法定理

$=\sin\theta(1-2\sin^{2}\theta)+\cos\theta\cdot2\cos\theta\sin\theta$ 2倍角の公式

$=\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2(1-\sin^{2}\theta)\sin\theta$

$=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$


 $\cos 3\theta$

$=\cos(\theta+2\theta)$

$=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta$ ←加法定理

$=\cos\theta(2\cos^{2}\theta-1)-\sin\theta\cdot2\sin\theta\cos\theta$ ←2倍角の公式

$=2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2(1-\cos^{2}\theta)\cos\theta$

$=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$


加法定理2倍角の公式を使います.

試験中にこれを導いている時間はないと思うので,暗記をするのが望ましいですが,最低1度は経験しておきたい式変形です.




例題と練習問題

例題

例題

$\theta=\dfrac{\pi}{5}$ のとき,$\sin3\theta=\sin2\theta$ が成り立つことを示し,$\cos\dfrac{\pi}{5}$ を求めよ.


講義

$\cos\dfrac{\pi}{5}$ や $\cos\dfrac{\pi}{7}$ に関する問題では3倍角の公式が必要になることが多いので,関連問題として取り上げました.


解答

$\theta=\dfrac{\pi}{5}$ のとき,$5\theta=\pi \ \Longleftrightarrow \ 3\theta=2\pi-2\theta$ より

$\sin3\theta=\sin(2\pi-2\theta)=\sin2\theta$

となる.これを変形すると

$3\sin\theta-4\sin^{3}\theta=2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\neq 0$ より,両辺 $\sin\theta$ で割ると

$3-4\sin^{2}\theta=2\cos\theta$

$\Longleftrightarrow \ 3-4(1-\cos^{2}\theta)=2\cos\theta$

$\Longleftrightarrow \ 4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-1=0$

$\Longleftrightarrow \ 4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-1=0$

$\therefore \ \cos\theta=\cos\dfrac{\pi}{5}=\boldsymbol{\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}} \ \left(\because \cos\dfrac{\pi}{5}>0\right)$

※ 余裕がある人向けですが $\cos\dfrac{\pi}{5}$ の値のみであれば,黄金三角形を暗記して出すのもありです.



練習問題

練習

(1) 角 $\theta$ (ラジアン)が

   $\cos3\theta=\cos4\theta$

をみたすとき,解の1つが $\cos\theta$ であるような4次の方程式を求めよ.

(2) $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ が解の1つであるような3次の方程式を求めよ.

(3) $\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}$ と $\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{6\pi}{7}$ の値をそれぞれ求めよ.

練習の解答



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