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2倍角の公式と半角の公式

三角関数(教科書範囲) ★★

アイキャッチ

2倍角の公式と半角の公式を扱います.

加法定理から導けることが重要です.

2倍角の公式

2倍角の公式

 $\boldsymbol{\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta}$

 $\boldsymbol{\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta}$ ( $\sin$ 表示)

    $\boldsymbol{=2\cos^{2}\theta-1}$ ( $\cos$ 表示)

 $\boldsymbol{\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}}$

※ $\sin$ 表示 $\cos$ 表示は当サイトの便宜的な呼称です.


証明

 $\sin 2\theta$

$=\sin(\theta+\theta)$

$=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta$ ←加法定理

$=2\sin\theta\cos\theta$


 $\cos 2\theta$

$=\cos(\theta+\theta)$

$=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$ ←加法定理

$=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$

$=2\cos^{2}\theta-1$ ←相互関係

$=1-2\sin^{2}\theta$ ←相互関係


 $\tan 2\theta$

$=\tan(\theta+\theta)$

$=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\cdot \tan\theta}$ ←加法定理

$=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$


上のように加法定理から導けることが重要です.導ければ暗記していなくても安心ですが,頻繁に登場するので覚えてしまうと思います.

$\cos2\theta$ は臨機応変に使いやすい方を使います.

半角の公式

2倍角の公式をただ変形しただけの公式が以下の半角の公式です.

半角の公式

 $\boldsymbol{\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}}$

 $\boldsymbol{\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}}$

 $\boldsymbol{\tan^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$


証明

2倍角の公式の $\cos 2\theta$ の $\sin$ 表示を変形する.

 $\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$

$\Longleftrightarrow \ 2\sin^{2}\theta=1-\cos2\theta$

$\Longleftrightarrow \ \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2} \ \cdots$ ①

実質これが公式として終えてもいいのですが,半分の角度の三角関数の値が出せることを強調するために,①の $\theta$ の代わりに $\dfrac{\theta}{2}$ を代入すると

$\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$


続いて2倍角の公式の $\cos 2\theta$ の $\cos$ 表示を変形する.

 $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$

$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta=1+\cos2\theta$

$\Longleftrightarrow \ \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2} \ \cdots$ ②

こちらもこれが公式として終えてもいいのですが,半分の角度の三角関数の値が出せることを強調するために,②の $\theta$ の代わりに $\dfrac{\theta}{2}$ を代入すると

$\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$


最後に

$\tan^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}}{\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$


上の流れをよく見るとわかりますが,2倍角の公式と半角の公式は本質的には同じ公式です.

将来半角の公式を頻繁に使う機会は,数学Ⅲの積分で訪れますが,①,②の形の方が使いやすいです.

三角関数公式全体の概観

オリジナル教材にある三角関数公式連関表に三角関数の諸公式をまとめましたので,是非pdfを利用してみてください.

三角関数公式連関表

例題と練習問題

例題

例題

(1) $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,$\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ のとき,$\cos2\alpha$,$\sin2\alpha$,$\cos\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めよ.

(2) $\sin \dfrac{\pi}{8}$ を求めよ.

(3) $0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,$\sin2\theta+\sqrt{2}\sin\theta=0$ を解け.


講義

2倍角の公式と半角の公式を使う練習です.


解答

(1)

$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=\dfrac{9}{25}$ より

$\cos\alpha=-\dfrac{3}{5} \ \ \left(\because \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$

となるので

$\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=\boldsymbol{-\dfrac{7}{25}}$

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\boldsymbol{-\dfrac{24}{25}}$

$\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1}{5}$ より

$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} \ \ \left(\because \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < \dfrac{\pi}{2}\right)$


(2)

$\sin^{2}\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\therefore \ \sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


(3)

$\sin2\theta+\sqrt{2}\sin\theta=0$

$\Longleftrightarrow \ 2\sin\theta\cos\theta+\sqrt{2}\sin\theta=0$

$\Longleftrightarrow \ \sqrt{2}\sin\theta(\sqrt{2}\cos\theta+1)=0$

$\Longleftrightarrow \ \sin\theta=0$ または $\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=0,\dfrac{3\pi}{4},\pi,\dfrac{5\pi}{4}}$

練習問題

練習

(1) $\cos \dfrac{3}{8}\pi$ を求めよ.

(2) $0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,$\cos2\theta\leqq 3\sin\theta+2$ を解け.

(3) $0\leqq \theta \leqq \dfrac{5}{6}\pi$ のとき,関数 $y=\cos2\theta-2\cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ.

練習の解答

(1)

$\cos^{2}\dfrac{3}{8}\pi=\dfrac{1+\cos\dfrac{3}{4}\pi}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\therefore \ \cos\dfrac{3}{8}\pi=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


(2)

$\cos2\theta\leqq 3\sin\theta+2$

$\Longleftrightarrow \ 1-2\sin^{2}\theta\leqq 3\sin\theta+2$

$\Longleftrightarrow \ 0\leqq 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta+1$

$\Longleftrightarrow \ 0\leqq (2\sin\theta+1)(\sin\theta+1)$

$\Longleftrightarrow \ \sin\theta\leqq-1$ または $-\dfrac{1}{2} \leqq \sin\theta$

練習(1)

$\therefore \ \boldsymbol{0\leqq \theta \leqq \dfrac{7\pi}{6},\theta=\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{11}{6}\pi \leqq \theta < 2\pi}$


(3)

 $y$

$=2\cos^{2}\theta-1-2\cos\theta$

$=2(\cos^{2}\theta-\cos\theta)-1$

$=2\left(\cos\theta-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{3}{2} \ \ \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leqq \cos\theta \leqq 1\right)$

以上より

$\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \Longleftrightarrow \ \theta=\dfrac{5}{6}\pi$ のとき最大値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}}$

$\cos\theta=\dfrac{1}{2} \ \Longleftrightarrow \ \theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最小値 $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$