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2倍角の公式と半角の公式

三角関数(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

三角関数の2倍角の公式と半角の公式を紹介し,演習問題を用意しました.

これらは加法定理から導けることが重要ですが,頻繁に登場するので是非覚えましょう.



2倍角の公式と導き方

ポイント

2倍角の公式

 $\boldsymbol{\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta}$

 $\boldsymbol{\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta}$ ( $\sin$ 表示)

    $\boldsymbol{=2\cos^{2}\theta-1}$ ( $\cos$ 表示)

 $\boldsymbol{\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}}$

※ $\sin$ 表示 $\cos$ 表示は当サイトの便宜的な呼称です.


$\cos2\theta$ は臨機応変に使いやすい方を使います.

導き方

加法定理から導きます.導けるようにしておけば上の公式を忘れても安心ですね.

証明

 $\sin 2\theta$

$=\sin(\theta+\theta)$

$=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta$ ←加法定理

$=2\sin\theta\cos\theta$


 $\cos 2\theta$

$=\cos(\theta+\theta)$

$=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$ ←加法定理

$=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$

$=2\cos^{2}\theta-1$ ← $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$

$=1-2\sin^{2}\theta$ ← $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$


 $\tan 2\theta$

$=\tan(\theta+\theta)$

$=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\cdot \tan\theta}$ ←加法定理

$=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$

半角の公式と導き方

ポイント

半角の公式

 $\boldsymbol{\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}}$

 $\boldsymbol{\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}}$

 $\boldsymbol{\tan^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$


結論から言うと,2倍角の公式と半角の公式は本質的には同じ公式です.

$\cos 2\theta$ の $\cos$ 表示と $\sin$ 表示を変形して作るだけです.

導き方

証明

$\cos 2\theta$ の $\sin$ 表示を変形する.

 $\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$

$\Longleftrightarrow \ 2\sin^{2}\theta=1-\cos2\theta$

$\Longleftrightarrow \ \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2} \ \cdots$ ①

実質これが公式として終えてもいいのですが,半分の角度の三角関数の値が出せることを強調するために,①の $\theta$ の代わりに $\dfrac{\theta}{2}$ を代入すると

$\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$


続いて $\cos 2\theta$ の $\cos$ 表示を変形する.

 $\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$

$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta=1+\cos2\theta$

$\Longleftrightarrow \ \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2} \ \cdots$ ②

こちらもこれが公式として終えてもいいのですが,半分の角度の三角関数の値が出せることを強調するために,②の $\theta$ の代わりに $\dfrac{\theta}{2}$ を代入すると

$\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$


最後に

$\tan^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}}{\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$


将来半角の公式を頻繁に使う機会は,数学Ⅲの積分で訪れますが,寧ろ①,②の形の方が使いやすいです.

三角関数公式全体の概観

オリジナル教材にある三角関数公式連関表に三角関数の諸公式をまとめましたので,是非pdfを利用してみてください.

三角関数公式連関表

例題と練習問題

例題

例題

(1) $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,$\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ のとき,$\cos2\alpha$,$\sin2\alpha$,$\cos\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めよ.

(2) $\sin \dfrac{\pi}{8}$ を求めよ.

(3) $0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,$\sin2\theta+\sqrt{2}\sin\theta=0$ を解け.


講義

2倍角の公式と半角の公式を使う練習です.


解答

(1)

$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=\dfrac{9}{25}$ より

$\cos\alpha=-\dfrac{3}{5} \ \ \left(\because \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$

となるので

$\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=\boldsymbol{-\dfrac{7}{25}}$

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\boldsymbol{-\dfrac{24}{25}}$

$\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1}{5}$ より

$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} \ \ \left(\because \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < \dfrac{\pi}{2}\right)$


(2)

$\sin^{2}\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\therefore \ \sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


(3)

$\sin2\theta+\sqrt{2}\sin\theta=0$

$\Longleftrightarrow \ 2\sin\theta\cos\theta+\sqrt{2}\sin\theta=0$

$\Longleftrightarrow \ \sqrt{2}\sin\theta(\sqrt{2}\cos\theta+1)=0$

$\Longleftrightarrow \ \sin\theta=0$ または $\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=0,\dfrac{3\pi}{4},\pi,\dfrac{5\pi}{4}}$

練習問題

練習

(1) $\cos \dfrac{3}{8}\pi$ を求めよ.

(2) $0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,$\cos2\theta\leqq 3\sin\theta+2$ を解け.

(3) $0\leqq \theta \leqq \dfrac{5}{6}\pi$ のとき,関数 $y=\cos2\theta-2\cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ.

練習の解答

(1)

$\cos^{2}\dfrac{3}{8}\pi=\dfrac{1+\cos\dfrac{3}{4}\pi}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\therefore \ \cos\dfrac{3}{8}\pi=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


(2)

$\cos2\theta\leqq 3\sin\theta+2$

$\Longleftrightarrow \ 1-2\sin^{2}\theta\leqq 3\sin\theta+2$

$\Longleftrightarrow \ 0\leqq 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta+1$

$\Longleftrightarrow \ 0\leqq (2\sin\theta+1)(\sin\theta+1)$

$\Longleftrightarrow \ \sin\theta\leqq-1$ または $-\dfrac{1}{2} \leqq \sin\theta$

練習(1)

$\therefore \ \boldsymbol{0\leqq \theta \leqq \dfrac{7\pi}{6},\theta=\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{11}{6}\pi \leqq \theta < 2\pi}$


(3)

 $y$

$=2\cos^{2}\theta-1-2\cos\theta$

$=2(\cos^{2}\theta-\cos\theta)-1$

$=2\left(\cos\theta-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{3}{2} \ \ \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leqq \cos\theta \leqq 1\right)$

以上より

$\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \Longleftrightarrow \ \theta=\dfrac{5}{6}\pi$ のとき最大値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}}$

$\cos\theta=\dfrac{1}{2} \ \Longleftrightarrow \ \theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最小値 $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$