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基本的な関数の積分

タイプ:教科書範囲 レベル: 


アイキャッチ

数学Ⅲの積分の最初のページで,基本的な関数(後に登場する複雑なタイプでないもの)の積分を扱います.



基本的な関数の積分公式

まず確認として,数学Ⅱで学習した積分の性質はすべて数学Ⅲでも使います.詳しくは不定積分定積分をご覧ください.

その上で,数学Ⅲの微分法で学習した内容を踏まえ,基本的な関数の積分公式を記載します.

ポイント

基本的な関数の積分

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ x^{\alpha}\,dx=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \ (\alpha\neq-1)}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \dfrac{1}{x}\,dx=\log|x|+C}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \sin x\,dx=-\cos x+C}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \cos x\,dx=\sin x+C}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ a^{x}\,dx=\dfrac{a^x}{\log a}+C}}$

 ↓ 特に $a=e$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ e^{x}\,dx=e^{x}+C}}$

すべて $C$ は積分定数.


すべて右辺を微分することで確認ができますね.

なお,分数関数(有利関数)三角関数で構成された関数の積分は複雑ですのでこのページでは扱いません.

例題と練習問題

例題

例題

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \sqrt{x}(x^{2}-1)\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{(x+1)^{2}}{x}\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{0}^{1}5^{x}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{0}^{2}e^{x}\,dx$


講義

(1)(2)は展開してから積分をします.


解答

(1)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ \sqrt{x}(x^{2}-1)\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ (x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{1}{2}})\,dx$

$=\boldsymbol{\dfrac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}-\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}+C}$ ( $\boldsymbol{C}$ は積分定数)


(2)

 $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{(x+1)^{2}}{x}\,dx$

$\displaystyle =\int_{1}^{2}\left(x+2+\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\log|x| \right]_{1}^{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}+\log 2}$


(3)

 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[-\cos x-\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{2}$


(4)

 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[\tan x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$=\boldsymbol{\sqrt{3}}$


(5)

 $\displaystyle \int_{0}^{1}5^{x}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{5^x}{\log 5}\right]_{0}^{1}$

$=\boldsymbol{\dfrac{4}{\log 5}}$


(6)

 $\displaystyle \int_{0}^{2}e^{x}\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[e^{x}\Bigr]_{0}^{2}$

$=\boldsymbol{e^{2}-1}$

練習問題

練習

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{(\sqrt[3]{x}+1)^{3}}{2x}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin 2x+\cos x)\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{\cos^{2}2x}\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ \pi^{5x}\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx$

練習の解答