基本的な関数の積分
積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★
数学Ⅲの積分の最初のページで，基本的な関数(後に登場する複雑なタイプでないもの)の積分を扱います．
このページでは不定積分と定積分を同時に扱います．
基本的な関数の積分公式
まず確認として，数学Ⅱで学習した積分の性質はすべて数学Ⅲでも使います．詳しくは不定積分，定積分をご覧ください．
その上で，数学Ⅲの微分法で学習した内容を踏まえ，基本的な関数の積分公式を記載します．
基本的な関数の積分
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ x^{\alpha}\,dx=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \ (\alpha\neq-1)}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \dfrac{1}{x}\,dx=\log|x|+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \sin x\,dx=-\cos x+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \cos x\,dx=\sin x+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ a^{x}\,dx=\dfrac{a^x}{\log a}+C}}$
↓ 特に $a=e$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ e^{x}\,dx=e^{x}+C}}$
すべて $C$ は積分定数．
すべて右辺を微分することで確認ができますね．
なお，分数関数(有理関数)の積分，三角関数で構成された積分は複雑ですのでこのページでは扱いません．
例題と練習問題
例題
例題
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \sqrt{x}(x^{2}-1)\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{(x+1)^{2}}{x}\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{0}^{1}5^{x}\,dx$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{2}e^{x}\,dx$
講義
(1)(2)は展開してから積分をします．
解答
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \sqrt{x}(x^{2}-1)\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ (x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{1}{2}})\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C}$ ( $\boldsymbol{C}$ は積分定数)
(2)
$\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{(x+1)^{2}}{x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{1}^{2}\left(x+2+\dfrac{1}{x}\right)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\log|x| \right]_{1}^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}+\log 2}$
(3)
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[-\cos x-\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}$
$=\boldsymbol{2}$
(4)
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[\tan x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
$=\boldsymbol{\sqrt{3}}$
(5)
$\displaystyle \int_{0}^{1}5^{x}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{5^x}{\log 5}\right]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{4}{\log 5}}$
(6)
$\displaystyle \int_{0}^{2}e^{x}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[e^{x}\Bigr]_{0}^{2}$
$=\boldsymbol{e^{2}-1}$
練習問題
練習
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{(\sqrt[3]{x}+1)^{3}}{2x}\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin 2x+\cos x)\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\cos^{2}2x}\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ \pi^{5x}\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx$
解答
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{(\sqrt[3]{x}+1)^{3}}{2x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{x+3x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+1}{2x}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}x^{-\frac{1}{3}}+\dfrac{3}{2}x^{-\frac{2}{3}}+\dfrac{1}{2x}\right)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{4}x^{\frac{2}{3}}+\dfrac{9}{2}x^{\frac{1}{3}}+\dfrac{1}{2}\log |x|+C}$ ( $\boldsymbol{C}$ は積分定数)
(2)
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin 2x+\cos x)\,dx$
$\displaystyle =\left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\boldsymbol{2}$
(3)
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\cos^{2}2x}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}\tan 2x\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
(4)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \pi^{5x}\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{\pi^{5x}}{5\log \pi}+C}$ ( $\boldsymbol{C}$ は積分定数)
(5)
$\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{1-e^{-1}}$