直線に関して対称な点
図形と方程式(教科書範囲) ★★
直線に関して対称な点の座標の求め方について扱います．
直線に関して対称な点の座標の求め方
ほぼ中学数学の知識で対応できるのですが，当サイトとしての解法を以下に紹介します．
直線に関して対称な点の座標の求め方
点 $\rm A$ の直線 $\ell$ に関して対称な点 $\rm B$ の座標の求め方は
STEP1：直線 $\rm AB$ ( $\rm A$ を通る直線 $\ell$ に垂直な直線)を求める．
STEP2：直線 $\ell$ と直線 $\rm AB$ を連立して交点 $\rm M$ の座標を求める．
STEP3：$\rm A$ と $\rm M$ の座標から $\rm B$ の座標を求める．
検定教科書の方法と違い，何かを文字で設定する必要はありません．
下の問題で具体的に解説します．
例題と練習問題
例題
例題
点 ${\rm A}(5,13)$ の直線 $\ell:2x-3y+3=0$ に関して対称な点 $\rm B$ の座標を求めよ．
講義
直線に関して対称な点の座標の求め方に沿って求めていきます．
解答
$2x-3y+3=0 \Longleftrightarrow \ y=\dfrac{2}{3}x+1$ より
直線 $\rm AB$ は
$y=-\dfrac{3}{2}(x-5)+13=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{41}{2}$
直線 $\ell$ と直線 $\rm AB$ の交点 $\rm M$ は
$\dfrac{2}{3}x+1=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{41}{2}$
これを解くと $x=9$ より ${\rm M}(9,7)$
点 $\rm B$ の $x$ 座標は $9+(9-5)=13$
点 $\rm B$ の $y$ 座標は $7+(7-13)=1$
$\boldsymbol{{\rm B}(13,1)}$
※ $\rm A$ から $\rm M$ まで増えた座標分だけそれを $\rm M$ に足して求めます．
練習問題
練習
(1) 点 ${\rm A}(a,b)$ の直線 $\ell:y=x$ に関して対称な点 $\rm B$ の座標を求めよ．
(2) 直線 $\ell:y=2x+1$ 上を動く点 $\rm P$ と点 ${\rm A}(-8,0)$，${\rm B}(2,7)$ に関して．$\rm PA+PB$ を最小にする点 $\rm P$ の座標を求めよ．
練習の解答
(1)
直線 $\rm AB$ は
$y=-(x-a)+b=-x+a+b$
直線 $\ell$ と直線 $\rm AB$ の交点 $\rm M$ は
$x=-x+a+b$
$\therefore \ x=\dfrac{a+b}{2}$，${\rm M}\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$
点 ${\rm B}(x_{B},y_{B})$ とおくと，点 $\rm A$，$\rm B$ の中点が $\rm M$ なので
$\begin{cases}\dfrac{x_{B}+a}{2}=\dfrac{a+b}{2} \\ \dfrac{y_{B}+b}{2}=\dfrac{a+b}{2}\end{cases}$
解くと $x_{B}=b$，$y_{B}=a$ より
$\boldsymbol{{\rm B}\left(b,a\right)}$
(2)
点 ${\rm A}$ の直線 $\ell$ に関して対称な点を $\rm A'$ とすると
$\rm PA+PB=PA'+PB \geqq A'B$
つまり求める点 $\rm P$ は直線 $\rm A'B$ と直線 $\ell$ の交点．まず直線 $\rm AA'$ は
$y=-\dfrac{1}{2}(x+8)=-\dfrac{1}{2}x-4$
直線 $\ell$ と直線 $\rm AA'$ の交点 $\rm M$ は
$2x+1=-\dfrac{1}{2}x-4$
これを解くと $x=-2$ より ${\rm M}(-2,-3)$
点 $\rm A'$ の $x$ 座標は $-2+(-2-(-8))=4$
点 $\rm A'$ の $y$ 座標は $-3+(-3-0)=-6$
直線 $\rm A'B$ は
$y=-\dfrac{13}{2}(x-4)-6=-\dfrac{13}{2}x+20$
直線 $\ell$ と直線 $\rm A'B$ の交点 $\rm P$ は
$2x+1=-\dfrac{13}{2}x+20$
これを解くと $x=\dfrac{38}{17}$ より
$\boldsymbol{{\rm P}\left(\dfrac{38}{17},\dfrac{93}{17}\right)}$