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正弦定理

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

正弦定理とその証明を紹介します,後半で関連問題を扱います.





正弦定理とその証明

ポイント

正弦定理

$\triangle \rm{ABC}$ において

正弦定理

$\boldsymbol{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R}$


証明ですが,$A$ の角度に応じて場合分けをします.円周角の定理が活躍します.


証明

証明

$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ を示せばいい.

(ⅰ) $A<90^{\circ}$ のとき

証明の図

$\rm{A'B}=2R$ となるように $\rm A'$ をとると

$\sin A=\sin A'=\dfrac{a}{2R}$

$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$


(ⅱ) $A=90^{\circ}$ のとき

証明の図

$a=2R$ かつ $\sin A=1$ より

$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$


(ⅲ) $A>90^{\circ}$ のとき

証明の図

$\rm{A'B}=2R$ となるように $\rm A'$ をとると

$\sin A=\sin (180^{\circ}-A)=\sin A'=\dfrac{a}{2R}$

$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$


以上より,$A$ に関わらず,$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ が成り立つ.同様に考えて

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$




例題と練習問題

例題

例題

$\triangle \rm{ABC}$ において,外接円の半径を $R$ とする.

(1) $b=12$,$B=60^{\circ}$,$C=75^{\circ}$ のとき,$a$ と $R$ を求めよ.

(2) $b=\sqrt{2}R$,$C=25^{\circ}$ のとき,$A$ を求めよ.


講義

正弦定理

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

を使って,未知のものを探します.


解答

(1)

$A=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}$.

正弦定理より

$\dfrac{a}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{12}{\sin 60^{\circ}}=2R$

これより

$a=\dfrac{12}{\sin 60^{\circ}}\cdot \sin 45^{\circ}=\boldsymbol{4\sqrt{6}}$

$R=\dfrac{12}{2\sin 60^{\circ}}=\boldsymbol{4\sqrt{3}}$


(2)

正弦定理より

$\dfrac{\sqrt{2}R}{\sin B}=2R$

$\therefore \ \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

これより

(ⅰ) $B=45^{\circ}$ のとき

$A=180^{\circ}-45^{\circ}-25^{\circ}=\boldsymbol{110^{\circ}}$

(ⅱ) $B=135^{\circ}$ のとき

$A=180^{\circ}-135^{\circ}-25^{\circ}=\boldsymbol{20^{\circ}}$



練習問題

練習

$\triangle \rm{ABC}$ において,外接円の半径を $R$ とする.

(1) $a=3\sqrt{2}$,$b=\sqrt{6}$,$A=120^{\circ}$ のとき,$C$ と $R$ を求めよ.

(2) $\sin^{2}A=\sin^{2}B\cos^{2}C-\cos^{2}B\sin^{2}C$ が成り立つとき,$\triangle \rm{ABC}$ の形を答えよ.

練習の解答



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