正弦定理
タイプ：教科書範囲 レベル：★★
正弦定理とその証明を紹介します，後半で関連問題を扱います．
正弦定理とその証明
ポイント
正弦定理
$\triangle \rm{ABC}$ において
$\boldsymbol{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R}$
証明ですが，$A$ の角度に応じて場合分けをします．円周角の定理が活躍します．
証明
証明
$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ を示せばいい．
(ⅰ) $A<90^{\circ}$ のとき
$\rm{A'B}=2R$ となるように $\rm A'$ をとると
$\sin A=\sin A'=\dfrac{a}{2R}$
$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$
(ⅱ) $A=90^{\circ}$ のとき
$a=2R$ かつ $\sin A=1$ より
$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$
(ⅲ) $A>90^{\circ}$ のとき
$\rm{A'B}=2R$ となるように $\rm A'$ をとると
$\sin A=\sin (180^{\circ}-A)=\sin A'=\dfrac{a}{2R}$
$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$
以上より，$A$ に関わらず，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ が成り立つ．同様に考えて
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
例題と練習問題
例題
例題
$\triangle \rm{ABC}$ において，外接円の半径を $R$ とする．
(1) $b=12$，$B=60^{\circ}$，$C=75^{\circ}$ のとき，$a$ と $R$ を求めよ．
(2) $b=\sqrt{2}R$，$C=25^{\circ}$ のとき，$A$ を求めよ．
講義
正弦定理
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
を使って，未知のものを探します．
解答
(1)
$A=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}$．
正弦定理より
$\dfrac{a}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{12}{\sin 60^{\circ}}=2R$
これより
$a=\dfrac{12}{\sin 60^{\circ}}\cdot \sin 45^{\circ}=\boldsymbol{4\sqrt{6}}$
$R=\dfrac{12}{2\sin 60^{\circ}}=\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
(2)
正弦定理より
$\dfrac{\sqrt{2}R}{\sin B}=2R$
$\therefore \ \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
これより
(ⅰ) $B=45^{\circ}$ のとき
$A=180^{\circ}-45^{\circ}-25^{\circ}=\boldsymbol{110^{\circ}}$
(ⅱ) $B=135^{\circ}$ のとき
$A=180^{\circ}-135^{\circ}-25^{\circ}=\boldsymbol{20^{\circ}}$
練習問題
練習
$\triangle \rm{ABC}$ において，外接円の半径を $R$ とする．
(1) $a=3\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$，$A=120^{\circ}$ のとき，$C$ と $R$ を求めよ．
(2) $\sin^{2}A=\sin^{2}B\cos^{2}C-\cos^{2}B\sin^{2}C$ が成り立つとき，$\triangle \rm{ABC}$ の形を答えよ．
練習の解答