正弦定理
三角比(教科書範囲) ★★
正弦定理を扱います．
余弦定理と並び三角比分野で重要な定理です．
正弦定理
正弦定理
$\triangle \rm{ABC}$ において，外接円の半径を $R$ とすると以下が成立．
$\boldsymbol{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R}$
証明
$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ を示せばいい．
(ⅰ) $A<90^{\circ}$ のとき
$\rm{A'B}=2R$ となるように $\rm A'$ をとると，円周角の定理より
$\sin A=\sin A'=\dfrac{a}{2R}$
$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$
(ⅱ) $A=90^{\circ}$ のとき
円周角の定理より $a=2R$ かつ $\sin A=1$ より
$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$
(ⅲ) $A>90^{\circ}$ のとき
$\rm{A'B}=2R$ となるように $\rm A'$ をとると，還元公式，円に内接する四角形の対角の和が $180^{\circ}$ より
$\sin A=\sin (180^{\circ}-A)=\sin A'=\dfrac{a}{2R}$
$\therefore \ \dfrac{a}{\sin A}=2R$
以上より，$A$ に関わらず，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ が成り立つ．同様に考えて
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
余弦定理と比べ，角度が多くわかってる場合や外接円の半径が扱われている場合，正弦定理を使用することが多いです．
例題と練習問題
例題
例題
$\triangle \rm{ABC}$ において，外接円の半径を $R$ とする．
(1) $b=12$，$B=60^{\circ}$，$C=75^{\circ}$ のとき，$a$ と $R$ を求めよ．
(2) $b=\sqrt{2}R$，$C=25^{\circ}$ のとき，$A$ を求めよ．
講義
正弦定理
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
を使って，未知のものを探します．
解答
(1)
$A=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}$．
正弦定理より
$\dfrac{a}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{12}{\sin 60^{\circ}}=2R$
これより
$a=\dfrac{12}{\sin 60^{\circ}}\cdot \sin 45^{\circ}=\boldsymbol{4\sqrt{6}}$
$R=\dfrac{12}{2\sin 60^{\circ}}=\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
(2)
正弦定理より
$\dfrac{\sqrt{2}R}{\sin B}=2R$
$\therefore \ \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
これより
(ⅰ) $B=45^{\circ}$ のとき
$A=180^{\circ}-45^{\circ}-25^{\circ}=\boldsymbol{110^{\circ}}$
(ⅱ) $B=135^{\circ}$ のとき
$A=180^{\circ}-135^{\circ}-25^{\circ}=\boldsymbol{20^{\circ}}$
練習問題
練習
$\triangle \rm{ABC}$ において，外接円の半径を $R$ とする．
(1) $a=3\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$，$A=120^{\circ}$ のとき，$C$ と $R$ を求めよ．
(2) $\sin^{2}A=\sin^{2}B\cos^{2}C-\cos^{2}B\sin^{2}C$ が成り立つとき，$\triangle \rm{ABC}$ の形を答えよ．
練習の解答
(1)
正弦定理より
$\dfrac{3\sqrt{2}}{\sin 120^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sin B}=2R$
これより
$\sin B=\dfrac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}\cdot \sin 120^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
から $B=30^{\circ}$ ( $B<60^{\circ}$ )より，$C=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=\boldsymbol{30^{\circ}}$
$R=\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sin 120^{\circ}}=\boldsymbol{\sqrt{6}}$
(2)
$\sin^{2}A$
$=\sin^{2}B(1-\sin^{2}C)-(1-\sin^{2}B)\sin^{2}C$
$=\sin^{2}B-\sin^{2}C$
正弦定理より，$\sin A=\dfrac{a}{2R}$ から
$\dfrac{a^2}{4R^{2}}=\dfrac{b^2}{4R^{2}}-\dfrac{c^2}{4R^{2}}$
$\therefore \ a^{2}+c^{2}=b^{2}$
つまり $\boldsymbol{B=90^{\circ}}$ の直角三角形．